第1章 晶体结构 第2章 晶体的结合 第3章 晶格的热振动 第4章 金属电子论 第5章 能带论 第6章 半导体电子论 第7章 固体磁性 第8章 固体超导 1 电子的费米分布 2 电子输运

2 电子输运 经典：Drude模型 量子：Sommerfeld模型 非平衡处理方法：玻尔兹曼方程 还是得使用半经典 居然得到雷同的结论！？

理解固体中的电流现象 经典Drude-Lorentz模型 半经典Drude-Sommerfeld模型 量子模型： 无相互作用：自由费米子统计模型 + 碰撞 有相互作用：线性响应的久保（Kubo）公式

Drude模型 1897年Thomson发现电子（阴极射线） Drude（1863-1906）意识到金属的导电（热）性质可能与电子有关 量子力学尚未建立，仅有经典物理可供选择 尚无能带概念，如何避免无限加速？

Drude模型 独立电子近似：电子与电子无相互作用 自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用 弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次碰撞的次数为1/τ 避免电子被无限加速 碰撞后失去原来速度记忆 ——引入散射机制, Markovian过程

Drude模型的基础是一个非常简单的想法：把金属中的电子看做气体。基于此，Drude提出了如下假设。 金属由两部分组成，一是可以自由运动的电子，二是固定不动的离子实，这些可以自由运动的电子使金属导电的成分。 将自由电子看做带电的小硬球，它们的运动遵循牛顿第二定律。在忽略电子-电子和电子-离子间电磁相互作用（内场）的情况下，它们在金属中运动或并发生碰撞。这一假设被称为独立自由电子气假设。事实上，后来的研究证明，忽略电子间的相互作用对实验结果影响并不大，但大多数情况下，电子-离子相互作用是不能忽略的。 Drude模型中的碰撞遵循经典碰撞模型，具有瞬时性的特点。事实上电子在金属中的散射机制非常复杂，但在此我们不考虑这些散射机制的详细原理，只关心电子会发生碰撞并在碰撞瞬间改变速度。接下来的两条假设将会更具体的对碰撞进行描述。 假设电子在金属中的碰撞遵循泊松过程。每个电子在单位时间内碰撞的概率是\frac{1}{\tau} ，即在dt时间内发生碰撞的概率为\frac{dt}{\tau}，其中\tau被称为弛豫时间（又叫平均自由时间），其意义是在任意一个粒子距离下一次碰撞（或上一次碰撞）发生的时间的平均值。这是Drude模型最中最重要的概念。 假设电子只能通过碰撞才能与周围环境达到热平衡（事实上这也是自由独立粒子假设的必然结果），即是说每次碰撞的结果都是随机的，与碰撞前电子的状态没有任何关系，只于碰撞发生地点的温度有关。

Paul Drude, German physicist, 1863-1906

然后可以做准经典近似：将动量换成能带准动量！

Thinking in a random way will drive you mad !

补充：非平衡玻尔兹曼方程 量子Sommerfeld模型 平衡分布函数 非平衡分布函数 k空间的流体力学连续性方程 目标：欧姆定律（线性响应） 漂移因素处理 碰撞因素处理

分布函数和玻耳兹曼方程 1 电子输运过程中的分布函数 平衡态下电子的费密分布函数 —— 相当于经典统计中的麦克斯韦－玻耳兹曼分布 内的粒子数 在电子能带情况中，dk内的状态数 平衡态下电子的费密分布函数

dk内的电子数 对于单位体积

在无外场时 —— k 空间导带中的电子对称分布 —— 对电流的贡献为零 在有外场时 —— k 空间导带中的电子的分布发生变化 —— 形成电流 服从欧姆定律 —— 稳恒电流的形成意味着在k空间电子的分布达到 一个新的定态统计分布 —— 用 分布函数描写 ?

单位体积在dk内的电子数 对电流的贡献 所有状态的电子对电流的贡献 —— 非平衡分布函数

分布函数的物理意义 —— 欧姆定律的物理基础  (1) 金属中的电子在外场作用下加速运动  (2) 电子由于碰撞失去定向运动 分布函数的物理意义 —— 金属能带理论 外场中电子状态变化基本公式 在k空间电子状态移动的速度

—— 外场的作用使得原来的对称分布偏向一边 电子的碰撞又使得分布恢复平衡 —— 假定电子有一定的碰撞自由时间 —— 在碰撞自由时间里所有的电子一同遭遇碰撞 —— k空间电子的分布从非平衡 状态 (2) 回到平衡状态 (1) —— 在外场作用下又偏离平衡 状态，这样一直循环下去

—— 电子分布平衡状态 到非平衡状态的偏离长度

2 电子输运过程中的玻耳兹曼方程 —— 分布函数的变化来自两个方面 (1) 漂移项 外场引起的分布在k空间的漂移 —— 分布函数漂移 (2) 碰撞项 电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射

(1) 外场引起的分布在k空间的漂移 —— 分布函数漂移 电子的状态变化 —— 将k空间电子分布函数看作是一种流体的分布

—— 流体力学连续性原理 外加电磁场引起分布函数的变化 —— 漂移项

—— 金属中存在温度梯度时 在k和r构成的相空间，分布函数 漂移项 ——

(2) 碰撞项 电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射 单位时间电子状态 从 变化到 —— 用跃迁几率函数 描写 —— 只考虑电子自旋不变的跃迁 —— dk内电子数 的变化

—— dk内电子数 的变化 1) t时间内，dk’的空出的状态数 t时间, dk内电子跃迁到dk’的数目

t时间内，dk内电子发生跃迁的总数目 2) t时间内，从其它状态跃迁到dk内的电子总数目 dk内电子数 的变化

dk内电子数 的变化 —— 碰撞项

玻耳兹曼方程 定态问题 —— 恒定电磁场或温度梯度时 —— 定态玻耳兹曼方程

—— 定态玻耳兹曼方程 定态导电情况 —— 分布函数与位置无关

驰豫时间近似和导电率公式 —— 玻耳兹曼方程 —— 一个积分 － 微分方程

1 驰豫时间近似 采取近似方法 —— 假定碰撞项表示为 —— 碰撞促使系统趋于平衡 只有碰撞的情形 驰豫时间 —— 反映了分布函数恢复平衡所需的时间

玻耳兹曼方程 2 欧姆定律 —— 求解玻耳兹曼方程得到 —— 可以将分布函数按电场强度的幂级数展开 —— 第一、第二、第三项 分别是电场强度的零次、一次、二次幂

—— 方程两边同次幂的项相等

—— 在一般电导问题中 电流与电场成正比，只考虑分布函数中电场的一次项

电流密度 第一项 —— 平衡分布时，积分结果为零 欧姆定律

3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量

—— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献 —— 是关于E-EF的一个函数 积分的贡献主要来自 E=EF 附近 —— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献 45

各向同性的固体 —— 导带中的电子具有单一的有效质量电子的能量 电子的能量 电子的速度分量

—— 各向同性下，驰豫时间 与 无关 —— 只要 —— 积分中其余的因子都是球对称__积分内函数为奇函数 导电率

各向同性

导电率 —— 对比金属电子总数的积分式和结果___不计

导电率 —— —— 在k空间的等能面是球面 ——等能面内的状态数 电子密度 导电率

有更高级的理论吗？ 除了换成有效质量，居然和经典的一样！ 非平衡格林函数（闭路格林函数） 那得先搞清楚格林函数……..