弱导光纤：线偏振模 弱导条件：n1n2 n 弱导光的特点： 光线与纤轴的夹角小； 芯区对光场的限制较弱； 消逝场在包层中延伸较远。 HEl+1,m模式与EHl-1,m色散曲线相近； 场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量； 可以在直角坐标系中讨论问题 可以得到简化的本征解与本征值方程。

HEl+1,m与EHl-1,m模式的色散曲线相近 LP01 LP11 HEl+1,m+EHl-1,m=LPlm EH0m=TE0m/TM0m EH-1m不存在 LP21 LP02 LP31 LP12

线偏振模LPlm的场分量 LPlm模由HEl+1,m模式与EHl-1,m迭加构成。 LPlm模只有四个不为零的场分量,可以是Ey、Hx、Ez和Hz；也可以是与之正交的Ex、Hy、Ez和Hz。它们分别沿y方向和x方向偏振。

线偏振模LPlm 的构成(0<r<a)

线偏振模LPlm 的构成(r>a)

线偏振模LPlm 的简并 当l0时，每一个LPlm模式有四重简并： 径向两种模式：沿x或y方向偏振； 角向两种变化：coslf 或 sinlf 当l=0时，LP0m模式只有两重简并

本征值方程 在r=a处，由 Ez 连续，有：

LPlm模的偏振态: LPlm模的简并态是以光纤的弱导近似为前提的。实际上,n1和n2不可能相等,因此HEl+1,m模与EHl-1,m模的传播常数β不可能绝对相等,即两者的相速并不完全相同。随着电磁波的向前传播,场将沿z轴作线偏振波－椭圆偏振波－园偏振波－椭园偏振波－线偏振波的周期性变化。场形变化一周期所行经的z向距离,即差拍距离为: L＝2π/(β1-β2) β1与β2分别为两精确模式的Z向传播常数。

LPlm模式本征值 模式的截止与远离截止: 截止与远离截止条件: 模式本征值: Uc<U<U∞ 临近截止: W=0 , 场在包层中不衰减 远离截止: W→∞, 场在包层中不存在 截止与远离截止条件: 模式 临近截止 远离截止 l=0(LP0m): J1(Uc)＝0 J0(U∞)＝0 l=1(LP1m): J0(Uc)＝0 J1(U∞)＝0 l>1(LPlm): Jl-1(Uc)＝0 Jl(U∞)＝0 *除了LP0m模式以外,U不能为零 模式本征值: Uc<U<U∞

SIOF中的线偏振模式 # 给定 V 值，SIOF中的导模数目近似等于V2/2, 所含线偏振模式可根据导模截止与远离 截止条件确定。

SIOF中的模式数目 在光纤中传播的模式绝大多数都满足W＞＞1,或远离截止条件。因此远离截止条件Jl(U∞)＝0的根的数目也就近似等于光纤中允许传输的导模数目。 当宗量U∞很大时,由Jl的大宗量近似式得: cos(U∞-π/4 －lπ/2)＝0 或：U∞-π/4 -lπ/2 ＝(2m-1)π/2, (m＝1,2,3...) 另一方面， U∞  V, 因此有：(l+2m-1/2)  2V/p 在l-m平面，上式构成三角形， 三角形中每一个整数坐标点即 对应一个模式，三角形面积的 4倍为导模数目：M=4V2/p2V2/2 m V/p l 2V/p

导模场分布图 如果E出现零值，则对应于光场分布的暗线（环） 以沿y方向偏振的LPlm模为例,研究导模场沿横截面的分布。这时,纤芯中的场分布为: (Ey)lm＝A[Jl(Ulmr/a)/Jl(Ulm)]·coslφ Ulm的取值在Jl-1(Uc)＝0 和Jl(U∞)＝0 第m个非零根之间。 如果E出现零值，则对应于光场分布的暗线（环）

LP21导模场分布图 LP21模: (Ey)21＝A[J2(U21r/a)/J2(U21)]·cos2φ 3.823＜U21＜5.136; 0＜U21r/a＜5.136 (0<r<a) J2(U21r／a)与J2(U21)均大于零,即场沿径向无零点,沿角向场分布为cos2φ,当φ＝p/4, 3p/4, 5p/4 以及7p/4 时出现零点, 即场沿角向有两条暗线,将光场分为四个亮斑。 LPlm模沿径向的亮斑数为m,沿角向的亮斑数为2l.

导模纵向功率流 导模远离截止:导模功率几乎全部集中在纤芯中传输。 导模邻近截止: 对于低阶模，导模功率几乎全部在包层之中传输； 对于高阶模(l＞1)，仍有相当大一部分功率在纤芯中传输。

模组和主模标号 当光纤中传输的模式较多,且大多数模式满足远离截止条件时,模式Ulm值近似为U∞。又据贝塞尔函数大宗量近似式,当U∞>>1时,有近似式: U∞≈(l＋2m－1/2)π/2 l＋2m值相同,则U∞相同,与之对应的传播常数βlm也相同,这样一组模式是简并的，具有相同的传播常数βp，p= l＋2m ； 在一定的βp值下,共有p/2个LPlm模,而每个LPlm模含四重简并,故对应于βp的模式一共有2p个。定义这样一组模式为"模群",并以p作为模群标号,又称为"主模标号"。l与m则分别为径向与角向模式标号。

模式的输出特性 第p群模的Up值近似为: Up≈pπ/2 由此可求出对应的传播常数βp为: βp＝n1k0cosθp＝√n12k02－Up2/a2 其中,θp是第p群模的模角,定义为波矢K与z轴夹角。由上式可得: n1sinθp＝Up/ak0≈pλ0/4a 即模式的出射角与主模标号成正比,并与模式群序号一一对应,高阶模出射角大,低阶模出射角小

渐变折射率分布光纤中的场解 抛物线分布光纤的场解 一般分布：WKB法 单模光纤

波导场方程 采用与阶跃型光纤类似的处理方法,可将渐变型光纤中的场分为角向函数ej lf与径向函数F(r)的乘积; F(r)满足的方程为:

渐变折射率分布 渐变折射率分布光纤的纤芯中,折射率n(r)是径向距离r的函数； g=1: 三角分布 g=2: 平方率分布 g=： 阶跃分布 实际使用的光纤绝大多数 是弱导光纤,纤芯中折射率 变化很缓慢； 

平方率分布光纤中的场解 折射率分布： 波导场方程：

本征值与本征解 本征值方程: 本征解：高斯函数与拉盖尔多项式之积,即拉盖尔-高斯函数：

模式数目 弱导光纤中存在线偏振模 主模式标号p=2m+l+1 最高阶导模主模式标号pmax近似对应于光纤中的导模数目。而pmax对应于b=n2k0, 利用 得到： pmax= V/2 ，或 导模数目： N= 4(1/2)(V/2)(V/4) = V2/4 m V/4 l V/2

基模场分布与模场半径 基模为 LP00, 此时L00=1, 则场分布为： E00  exp(-r2/W02)

WKB近似分析法 对于折射率分布不为平方律分布的光纤 ,不可能通过严格求解波导场方程获得解析解。为此,人们提出了多种近似求解方法, WKB 法就是最常用的一种近似分析方法，由Wentzel, Kramers 和 Brillouin提出； WKB法基本思想: WKB法实际上是一种介于几何光学与波动光学方法之间的近似方法, 它 认为在光纤中传播的导模场分布的变化主要体现在相位的变化上，因此可以将场解分解为 缓慢变化的振幅函数与快速变化的相位函数的乘积，将F(r)的求解归结于求光程函数表达式,使问题得以简化。 同时利用相位匹配条件求取本征值。

场解的基本特性 折射率分布： 波导场方程： 令：F(r) = r-1/2F(r),将波导场方程改写为： d2F(r)/dr2+g2(r)F(r)=0 g2(r)=n2(r)k20 -b2 -(l2-1/4)/r2 g2(r)>0: 振荡型传播场； g2(r)<0: 衰减型消逝场。

三类模式 导模条件： 漏模条件： 辐射模条件：

导模的场解 折射率分布： 波导场方程： 分离变量： 导模场解(径向坐标函数)：

本征值方程 从r1到r2场的相位变化应为2p的整数倍： 传播常数：

比较：平方率分布光纤 精确解： WKB近似：

导模数目 M=V2[g/(2(g+2)] g=2: M=V2/4 g=: M=V2/2

场的输出特性 模角： 输出近场图： 输出远场图：