非交叉近似方法中数值计算问题的研究 云南大学物理系 虎志明

一、历史回顾 1、平衡态Kondo效应 . 2、非平衡态Kondo效应 . 严格求解的方法有： . 严格求解的方法有： . a)数值重整化群方法（NRG） . (K.G.Wilson,Rev.Mod.Phys.47,773 (1975）) b)Bethe Ansatz方法(N.Andrei,Phys.Rev.Lett.45,379(1980)) P.B.Wiegmann,Sov.Phys.JETP Lett.31,392(1980)) . c)共形场理论的方法(I.Affleck,Nucl.Phys.B336,517(1990)) 2、非平衡态Kondo效应 . a)只能严格求解基态（T=0K）的情形（SBMF） . b)对于非零温只能近似求解，常用方法有EOM和NCA方法。

二、非平衡Kondo问题 在量子点体系中实现 量子点是指固体材料中的一类人造微结构，其典型的物理尺度在纳米到微米的量级。半导体、正常金属、超导体和碳纳米管等材料都能构成量子点结构。在半导体材料制造的量子点中，从一个到几千个电子被约束于一个“盒子”中。从宏观尺度的整个器件来看，这个“盒子”可看成是一个“点”。“点”中的电子的运动在整个三维空间都受到限制。类比于块体材料中的电子的运动自由度是三维的，界面处的电子的运动自由度是二维的，有时也把这类量子点结构称为“零维”的材料。

(a)空轨道区； (b)和(c)混价区； (d)近藤(Kondo)区。 模型哈密顿量为（Anderson单杂质模型） 当EFL≠EFR时，为非平衡系统

三、非交叉近似(NCA)方法 是为处理Kondo问题而发展起来的方法 是基于奴隶波色子表象和大N展开的Feynman图的理论方法 处理非平衡的Kondo问题时要使用Keldysh非平衡格林函数的方法 是自洽的、非微扰的方法

1、奴隶玻色子表象 在实际的系统中，U～1eV, |εd| ～0.1eV, |V|2 ～0.1eV. 所以U→∞是一个很好的近似。 Barnes和Coleman引入辅助的玻色子算符b/b+和辅助的费米 子算符fσ /fσ+: dσ =b+ fσ , d+σ = fσ+b. 则原哈密顿量表述为 和约束条件 S.E.Barnes, J.Phys.F 6,1375 (1976) P.Coleman, Phys. Rev. B 29, 3035 (1984)

2、奴隶玻色表象下算符的平均值 体系配分函数为 这里TrQ=1是指求迹是在满足约束条件 的子空间中进行的。任意算符O的平均值可以写为（ ） 由于约束条件Q=1的存在，使得Wick定理仍然无法使用。为了解 决这一困难，可以先使用Wick定理求出算符O在整个（没有约束 条件的）Hilbert空间的平均值，然后再将结果投影到满足约束条 件Q=1的子空间去。 具体作法是，在满足条件Q=1的子空间中的求迹，可以通 过插入算符等式 而扩展到没有约束条件的Hilbert空间中去。引入复的化学势iλ后

我们可以将算符o的平均值改写为 这里， ，λ是一个任意的数，其量纲为能量。将最 后一行中被积函数乘以 ，再对λ积分后，我们得到 这里， 是指仅保留该表达式中含有 一次幂项的系 数。重要的是，现在我们可以利用常规的Feynman图展开的方法 计算括号内的配分函数和平均值了。

对于非平衡的情况，要注意的是在求平均值时，是沿Keldysh 围道进行的，例如，我们有 这里， 为哈密顿量中去掉巡游电子与局域电子之间杂化相互作用 的部分，而 则是体系沿Keldysh围道从 时的初态 到 时的末态的S矩阵。令 为描写巡游电子与局域电子之 间杂化相互作用的哈密顿量，则S矩阵可写为

3、非交叉近似方法 在处理Kondo问题的大N展开方法中，N指的是磁杂质轨道或 是量子点上局域磁矩所具有的分量，N=2j+1。之所以这样做，就是 要人为地引进一个控制微扰展开的小参数1/N。因此我们可以将体 系的编时格林函数按照1/N的幂次做展开，并保留其最低(正比于 O(1/N))的阶的贡献。由于在用这一方法得到的Feynman图中，所 有只到1/N阶的子图都没有赝费米子算符 传播子与奴隶玻色子 算符 传播子的交叉线（这样的线仅出现在对应于 阶或更 高阶贡献的图中），因此这个又被称为非交叉近似方法。 上述事实，可以用下面的近似公式来表达。准确到1/N阶时， 我们有 （参见N.E.Bickers, Rev. Mod. Phys. 59, 845 (1987)； 田光善， 《奴隶玻色子与非交叉近似讲义》（2004）。）

四、运用：电子能谱中van Hove奇异性对量子点Kondo区输运性质的影响 我们采用紧束缚模型来描述量子点系统： 傅立叶变换后得到 这里， 是导线α中的电子能量。 与前人工作不同的是，由于我们考虑了导线中电子能谱的色 散关系，许多重要的物理量在布里渊区中某些点(van Hove奇异点) 处的发散性就显现出来了。例如，线宽函数现在可写作

显然，当 时， 是发散的。而在宽带近似中，这个 函数被假设为一个常数。 我们可以利用公式 计算通过处于Kondo区的量子点的电流。然后再通过定义 为导线上的偏压），求得通过该量子 点的微分电导。 由此我们看到，量子点上的电子推迟格林函数 是首先 要计算的量。由该量可以定义量子点上电子的态密度

这里我们利用了算符O的平均值 比值 由约束条件 得到，即 若保留到 阶的项而忽略 及以上的项，我们利用非交叉 近似得到 最后一行中的格林函数定义为

| D>i+1-D>i|<ε 很明显，想通过上面这些方程解析地计算格林函数 和 完全是没有希望的。为此我们不得不利用数值计算的方 法。 0 i , D>i (ω) i＋1 i, D>i+1 D>i 、 D>i+1(ω) No | D>i+1-D>i|<ε Yes 输出终值D>(ω)

用同样的方法我们可以数值地计算出格林函数 和 。然后我们就可以得到量子点态密度，电流和微分电导。 结果和讨论 1、van Hove奇异性对量子点在Kondo区的输运性质的影响很小， 可以忽略。从下面两个图可以看出。

2、NCA方法给出和实验符合得很好的结果； 3、我们用两次数值积分的计算方法所得到的计算精度，比文献 （N.S.Wingreen and Y.Meir, Phys. Rev. B 49, 11040 (1994), 只使用一次数值积分的方法）的要高。该文献的计算 的相对误差低于0.5%;而我们的计算的相对误差低于0.1%。

例如，对于对于方程 的计算，我们的结果在下面的表格中给出 4、自洽方程都在五次左右就很快收敛；但代价是格点要取得足 够多。

五、展望 1、挑战： 发展有限互作用U的非交叉近似方 法。 目前只是在“对称化的有限U非交叉近 似”（SUNCA）的研究方面已经有了一些进 展。 2、发展以NAC方法为基础的动力学平均场理论 （DMFT）。

谢谢！