CH1 复数及复变函数 1、复数及其代数运算 2、复数的表示方法 3、复数的乘幂与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限与连续性

§1复数及其代数运算 1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数

1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi为复数. 复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 判断复数相等 一般任意两个复数不能比较大小.

2. 代数运算 四则运算定义 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)

运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即： z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

3.共轭运算 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. (conjugate) 共轭复数的性质

例1

§2 复数的表示方法 §3 复数的乘幂与方根 1. 代数形式 2. 几何形式 3. 三角形式 4. 指数形式

1. 代数形式（点表示） 点的表示： 数z与点z同义.

2. 几何形式（向量表示） 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) o x y (z) P(x,y) 

辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 计算 argz(z≠0) 的公式

当z落于一,四象限时，不变. 当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .

由向量表示法知 o x y (z) z1 z2 z1+z2 z2- z1

3. 三角形式 ⑴ 乘积与商 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2) 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2

几何意义： 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍. o x y (z) z1z2 z2 定理1可推广到n 个复数的乘积.

⑵复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）. 设z=r(cos nθ+isin nθ) ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos nθ+isin nθ). 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ ----棣模佛(De Moivre)公式. 定义

⑶复数的方根（开方）－乘方的逆运算 问题 给定复数z，求所有的满足ωn=z 的复数ω. 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点. x y o

4. 指数表示法 一个辐角 模

注意： 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要. 例1 例2 例3

例4

(j=1,2)的直线； 半径为2的圆. （-∞<t <+∞） 此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形. o x y (z) L z1 z2 z 例5 用复数方程表示: （1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线； （2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆. 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）

x y (z) O (0, -1) 2

例6

§4 区 域 1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域

1. 区域的概念 邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点 的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 . 记为Ｕ(z0 ,δ) 即， 说明

内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点. 外点 内点 设G是一平面上点集 界点 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 　　域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点. 外点 若存在某邻域Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻域内的 所有点都不属于G，则称z 0是G的外点. 界点 对于z0的任意邻域Ｕ(z 0 ,δ)中既有属于G的 　　点，又有不属于G的点，则称z 0是G的界点.

边界与边界点 对于点集D，若点P的任何邻域中 都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点； 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集. 外点 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域. 内点 P D-区域 连通是指 边界与边界点 对于点集D，若点P的任何邻域中 都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点； D的所有边界点组成D的边界.

闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 有界区域与无界区域 若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界.

2. 简单曲线（或Jardan曲线) 令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.

重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点. 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 . z(a)=z(b) 简单闭曲线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线

简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， t∈[a，b]，把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 z(a)=z(b) 内部 外部 边界

3. 单连通域与多连通域 定义 复平面上的一个区域 B ， 如果B内的任何简单闭曲线的 内部总在B内，就称 B为单连通 域；非单连通域称为多连通域. 单连通域 多连通域

例如 |z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的. 多连通域 单连通域 单连通域

§5 复变函数 1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射

1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似 定义

例1 例2

2. 映射的概念 z ——复变函数的几何意义 在几何上， w=f(z)可以看作： 定义域 函数值集合 o x y (z) o u v (w) G* G G w=f(z) z

复变函数的几何意义是一个映射（变换） 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观. 以下不再区分函数与映射（变换）.

u v (w) o o x y (z) 图1-1 x、u y、v (z)、(w) o x、u y、v (z)、(w) o 图1-2 图2

例3 o x y (z) o u v (w) o u v (w) o x y (z) R=4 R=2

3. 反函数或逆映射 例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射 ∴为多值函数,2支. 定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G* 则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.

例4 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象. 例5

§6 复变函数的极限与连续性 1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性

1. 函数的极限 x y u v 定义 (z) o (w) o 几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中 x y (z) o u v (w) o A

(1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. (3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.

2. 运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1

定理2 以上定理用极限定义证!

例1 例2 例3

3.函数的连续性 定义 定理3

例4 证明f (z)=arg z 在原点及负实轴上不连续. x y (z) o z z

定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数. 有界性：

本章作业 1.（3）； 4.（4）； 8.（4），（5）； 14.（2），（4）； 16.； 21.（4） ，（6），（8），（10） ； 22.（6），（7），（10）； 26.（4）； 31.或 32.

复球面与扩充复平面 (1) 复球面 南极、北极的定义

复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 ，因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.

不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. (2) 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.