第九章 动态数列分析 统计学原理（第八讲） 罗洪群

本章教学目的和要求: 本章阐述动态数列编制和动态数列指标的计算和应用等问题。学习本章,要求掌握: 1.从数量方面研究社会经济现象发展变化过程和发展趋势是统计分析的一种重要方法。 2.动态数列编制的基本要求。 3.水平和速度两方面动态分析指标的计算和应用。 4.长期趋势分析和预测的方法。

本 章 主 要 内 容 第一节 动态数列的意义和种类 第二节 现象发展的水平指标 第三节 现象发展的速度指标 第四节 现象变动的趋势分析

第一节 动态数列的意义和种类 一、动态数列的概念 教材P368 动态数列由两部分构成 时间 指标数值 例如：某企业各年生产总值资料如下： 第一节 动态数列的意义和种类 一、动态数列的概念 教材P368 动态数列由两部分构成 时间 指标数值 例如：某企业各年生产总值资料如下： 500 2000 330 1999 100 1997 160 生产总值 （万元） 1998 年 份

二、动态数列的种类 教材P369 时 间 240 229 238 230 某企业某年职工人数统计表 时期数列 1、总量指标动态数列 特点？ 时点数列 间隔相等时点数列 间断时点数列 连续时点数列 间隔不等时点数列 12月底 八月底 三月底 一月底 时 间 240 229 238 230 职工人数（人） 某企业某年职工人数统计表

168 三月 170 二月 160 一月 月 份 68 三月 70 二月 60 一月 月 份 120 三月 105 二月 98 2、相对指标动态数列 3、平均指标动态数列 相对指标和平均指标动态数列的形成 168 三月 170 二月 160 工人劳动生产率 （件/人） 一月 月 份 68 三月 70 二月 60 工人占全部职工 比重（%） 一月 月 份 120 三月 105 二月 98 计划完成程度（%） 一月 月 份

第二节 现象发展的水平指标 一、发 展 水 平 反映现象发展的水平指标 动态分析的指标两类 反映现象发展的速度指标 第二节 现象发展的水平指标 反映现象发展的水平指标 动态分析的指标两类 反映现象发展的速度指标 一、发 展 水 平 发展水平就是动态数列中的每一项具体指标数值。其数值可以表现为绝对数、相对数或平均数。 根据各发展水平在动态数列中所处的地位和作用不同 例如：某商业企业1月份销售额500万元；完销售计划的120%。 最初水平 最末水平 发展水平 报告期水平 基期水平

二、平均发展水平 （一）平均发展水平的含义：教材P375 注意动态平均数与静态平均数的区别： 主要区别：序时平均数所平均的是某一指标在不同 时间上的指标数值，反映该指标在不同时间下达到的一般水平。而静态平均数所平均的是某一数量标志在总体各单位的数量表现——标志值，反映该数量标志的标志值，在同一时间下在总体各单位达到的一般水平。

（二）平均发展水平的计算 360 5月 a5 310 4月 a4 300 3月 a3 240 2月 a2 320 1月 a1 销售额 月 份 1、由总量指标动态数列计算序时平均数 （1）由时期数列计算序时平均数 公式 例：某商业企业1—5月份商品销售资料如下：单位万元 360 5月 a5 310 4月 a4 300 3月 a3 240 2月 a2 320 1月 a1 销售额 月 份 则：1—5月份平均每月的销售额为：

106 6日 108 5日 101 4日 99 3日 100 2日 98 1日 日 期 （2）由时点数列计算序时平均数 ①由连续时点数列计算序时平均数 以天为瞬间单位， 每天都进行登记， 形成的时点数列。 例如：有某企业1号—6号每天的职工人数资料： 106 6日 a6 108 5日 a5 101 4日 a4 99 3日 a3 100 2日 a2 98 1日 a1 职工人数（人） 日 期 则：1—6号平均每天的职工人数为：

108 16日—30日 105 102 1日—8日 日 期 例如：有某企业1号—30号每天的职工人数资料： a3 9日—15日 a2 a1 职工人数（人） 日 期 则：1号至30号平均每天的职工人数为：

104 4月初 108 3月初 105 2月初 102 1月初 时 间 ②由间断时点数列计算序时平均数 A、间隔相等时点数列 a4 a3 职工人数（人） 时 间 则：一季度平均每月的职工人数为：

104 年底 108 9月初 105 3月初 102 1月初 时 间 B、间隔不等时点数列 a4 a3 a2 a1 职工人数（人） 时 间 则：该年平均每月的职工人数为：

C、间隔相等时点数列与间隔不等时点数列的关系 当 f1= f2 … = fn-1 时，上式可变为：

2、由相对指标或平均指标动态数列计算序时平均数 a 数列的序时平均数 基本公式 b 数列的序时平均数 公式表明：相对指标或平均指标动态数列的序时平均数，是由a、b两个数列的序时均数对比得到的。 因为a、b两个数列都是总量指标动态数列，所以ab两个数列的序时平均数，可根据数列的性质，分别采用相应的公式来计算。

64 1650 四月 65 1050 三月 60 1440 二月 1200 一月 例如：有某企业产量和职工人数资料如下： 项目 时间 产 量（件） 一月 月初人数（人） 项目 时间 要求：计算该企业一季度平均每月的劳动生产率。 时期指标 时点指标 ∴产量为 a 数列，人数为 b 数列

即： 其中： 所以：

75 150 45 240 六月 55 200 五月 四月 例题：某商业企业商品销售额和库存额资料如下： 七 月 商品销售额（万元） 月初库存额（万元） 项目 时间 要求：根据资料计算二季度每月的商品流转次数。 提示：

解： 平均每月的商品流转次数 即：二季度的商品库存额平均每月周转3.69次。

320 304 255 256 250 例：某地区某年各季度末零售网点和职工人数资料如下： 2536 四季末 2520 三季末 2479 二季末 256 2408 一季末 250 2400 上年末 零售企业数（个） 职工人数（人） 要求： 根据资料计算该地区平均每季度每网点职工人数。

解：平均每季度每个零售网点的职工人数为： 即：该地区该年平均每个零售网点约9名职工。

发展速度 增长量 增长百分之一的绝对值 平均发展速度和平均增长速度 第三节 现象发展的速度指标 第三节 现象发展的速度指标 现象发展变化的速度指标反映了现象在不同时间上发展变化的程度。主要包括以下指标： 发展速度 增长量 增长速度 增长百分之一的绝对值 平均发展速度和平均增长速度

一、发 展 速 度 发展速度是两个不同时间上的发展水平之比，反映现象报告期比基期发展变化的相对程度。 基本公式 根据采用基期的不同 环比发展速度 定基发展速度

环比发展速度与定基发展速度的关系 各期环比发展速度的连乘积等于定基发展速度 相邻两个时期的定基发展速度之商等于相应的环比发展速度

例：已知1997年、1998年、1999年三年的环比发展速度分别为110%、150%、180%，试计算 1998年和1999年的定基发展速度。 解：根据环比发展速度与定基发展速度之间的关系 1998年的定基发展速度 = 110%×150% = 165% 1999年的定基发展速度 = 110%×150%×180% = 297%

例：已知1995年—1998年的发展速度为180%，1985年—1999年的发展速度为200%，试计算1999年的环比发展速度。 解：因为相临的两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度，所以： 1999年的环比发展速度 =

二、 增 长 量 根据采用基期的不同分为 增长量是以绝对数形式表示的速度分析指标 基本公式： 增长量 = 报告期水平 －基期水平 1、逐期增长量 = 报告期水平 －报告期前一期水平 符号表示： 2、累计增长量 = 报告期水平 －固定基期水平 符号表示：

3、逐期增长量与累计增长量的关系 ： 4、平均增长量的计算 计算方法 (n代表动态数列的项数)

三、 增 长 速 度 增长速度是反映现象数量增长方向和程度的动态相对指标。计算方法有两种： 第一种方法： 第二种方法： 三、 增 长 速 度 增长速度是反映现象数量增长方向和程度的动态相对指标。计算方法有两种： 第一种方法： 第二种方法： 增长速度 = 发展速度－1 当计算结果为正值，表示现象报告期比基期的增长程度。 当计算结果为负值，表示现象报告期比基期的降低程度。

根据采用基期的不同增长速度分为两种 环比增长速度 环比发展速度－1（100%） 定基增长速度 定基发展速度－1（100%）

四、增长百分之一的绝对值 增长百分之一的绝对值是速度指标与水平指标相结合运用的统计指标。它能够对现象发展变化规律作出更加深刻的分析。 计算方法

单位：万元 548 519 447 例：已知某企业1995年—2000年生产总值资料如下： 783 2000 703 1999 1998 1997 447 1996 343 1995 生产总值 年 份 要求： 1、计算各年的逐期增长量和累计增长量 2、计算各年的环比发展速度和定基发展速度 3、计算各年的环比增长速度和定基增长速度 4、计算各年的增长百分之一的绝对值 5、计算1995年—2000年生产总值的平均发展速度和平均增长速度。

783 703 548 519 343 年 份 30 160 解：列表计算如下： 逐期增长量（万元） 累计增长量（万元） 环比发展速度 % 环比增长速度 % 定基发展速度 % 定基增长速度 % 增长百分之一 的 绝 对 值（万元） 783 2000 703 1999 548 1998 519 1997 447 1996 343 1995 生产总值（万元） 年 份 — 104 72 29 155 80 360 440 — 104 176 205 130 116 106 128 111 100 — 30 16 6 28 11 100 130 151 160 205 228 — 30 51 60 105 128 — 3.43 4.47 5.19 5.48 7.03

五、平均发展速度和平均增长速度 平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度。 平均速度是各期环比速度的平均数，说明现象在较长时期内速度变化的平均程度。 平 均 速 度 平均发展速度反 映现象逐期发展 变化的平均速度 平均增长速度反 映了现象逐期递 增的平均速度 平均增长速度 = 平均发展速度 －1（100%）

几何平均法 平均发展速度的计算方法 这是计算平均发展速度的基本方法 因为，平均发展速度是对各期的环比发展速度求平均数，对不同时期的环比速度求平均需采用几何平均法。公式为： （1） 平均发展速度 公式中：x1…xn表示各期环比发展速度

因为各期环比发展速度的连乘积等于定基发展速度，所以可以推导出计算平均发展速度的第二个公式： （2） 即平均发展水平为动态数列的最末水平与最初水平之比的n次根。

因为某一时期的定基发展速度就是这个时期现象发展的总速度，所以根据第二个公式可以推导出第三个公式： 平均发展速度 （3） 公式中：R 代表现象在某一时期内发展变化的总速度

例如：已知1996年至2000年各年生产总值的环比发展速 度分别为130%、116%、106%、128%和110%，试计算1996年至2000年平均每年的发展速度。 解： 根据公式（1）计算如下： 即96年至2000年生产总值平均每年的发展速度为125.66%。

例如：某企业生产的某种产品2000年产量为500吨，根据对市场需求情况进行预测，预计 2005年市场需求量将达到5000吨。为满足市场需求，问该产品产量每年应以多大的速度增长？ 解： 已知 则：平均增长速度

例如：某企业2000年生产总值为574.8万元，若预计每年平均增长13%，问2006年生产总值可达到多少万元？ 解： 已知 ？ 求 根据公式 可知 即按此速度增长，2006年产值可达到1196.7万元。

例如：某企业计划2005年产量要比2000年增长2倍，问平均每年增长百分之几才能完成预计任务？ 解： 因为2005年产量比2000年增长2倍，即2005年产量为2000年的3倍 所以，2000年至2005年产量总速度为300% 则平均增长速度 = 即每年平均增长25%，才能完成预计任务。

第四节 现象变动的趋势分析 现象变动的趋势分析就是对影响动态数列变化的各种因素进行分析，目的是发现影响现象变化的原因，掌握现象发展变化的规律，为预测和决策提供依据。 长期趋势 季节变动 影 响 动 态 数 列变动的因素 循环变动 不规则变动 （教材P396）

长期趋势的测定 一、时 距 扩 大 法 二、移 动 平 均 法 三、数 学 模 型 法

直线趋势的测定方法 三、数 学 模 型 法 数学模型法是根据动态数列的资料配合一个方程式，据以计算各期的趋势值。 如果动态数列逐期增长量相对稳定，则采用直线作为趋势线，来描述动态数列的趋势变化，并进行预测。 直线趋势方程为： yc 因变量，代表所研究现象的预测值 公式中： t 自变量，代表时间的序号 a、b为方程参数

用最小平方法求解方程参数 a、b： 例题：教材P403表9-18

用最小平方法求解方程参数 a、b 的简化公式 如果让时间序号的合计数等于零，即∑t = 0，则求解 a、b 的公式可以简化为：

令∑t = 0 的方法为： 当动态数列为奇数项时，可令数列的中间一项为原点，数列的前半部分序号从中间开始取负的1、2、3、…；数列的后半部分序号从中间开始取正的1、2、3、…。 例如教材P404 当动态数列为偶数项时，可令数列的中间两项的中点为原点，数列的前半部分序号从中间开始取负的1、3、5、7、…；数列的后半部分序号从中间开始取正的1、3、5、7、…。 例如教材P404

例题：某商业企业历年销售额资料如下：单位：万元 59 2000 56 1999 53 1998 55 1997 1996 1995 50 1994 48 1993 销售额 年 份 要求： 根据资料配合销售额的直线趋势方程，并预测2001年的销售额。

解题过程如下： 59 2000 56 1999 53 1998 55 1997 1996 1995 50 1994 48 1993 销售额 年 份 t -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 y t2 49 25 9 1 1 9 25 49 ty -336 -250 -159 -53 55 159 280 413 预测2001年的销售额，t = 9 则预测值为：

本章作业

判断题： 1.发展水平就是动态数列中每一项具体指标数值，它只能表现为绝对数。（ × ）

2.定基发展速度等于相应各环比发展速度的连乘积,所以,定基增长速度也等于相应各环比增长速度的连乘积.（ × ）

3.发展速度是以相对数形式表示的速度分析指标,增长量是以绝对数表示的速度分析指标.（ √ ）

4.定基发展速度和环比发展速度之间的关系是两个相邻时期的定基发展速度之积等于相应的环比发展速度.（ × ）

单项选择题 1.已知各期环比增长速度为2%、5%、8%、7%，则相应的定基增长速度的计算方法是( A )

2.平均发展速度是（C） Ａ.定基发展速度的算术平均数 Ｂ.环比发展速度的算术平均数 Ｃ.环比发展速度连乘积的几何平均数 Ｄ.增长速度加上100%

1.下面那几项是时期数列（BC） Ａ.我国近几年来的耕地面积 Ｂ.我国历年新增人口数 Ｃ.我国历年图书出版量 Ｄ.我国历年黄金储备量 多项选择题 1.下面那几项是时期数列（BC） Ａ.我国近几年来的耕地面积 Ｂ.我国历年新增人口数 Ｃ.我国历年图书出版量 Ｄ.我国历年黄金储备量 Ｅ.某地区国有企业历年资金利税率  

2.定基发展速度与环比发展速的关系是（ABD） C.定基发展速度的连乘积等于环比发展速度 D.相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度 E.相邻两个环比发展速度之商等于相应的定基发展速度

3.累积增长量与逐期增长量（ABCDE） A.前者基期水平不变，后者基期水平总在变动 B.二者存在关系式：逐期增长量之和等于相应的累积增长量 Ｃ.相邻的两个逐期增长量之和等于相应的累积增长量 Ｄ.根据这两个增长量都都可以计算较长时期内的平均增长量 Ｅ.这两个增长量都属于速度分析指标

填空题 1.动态数列按其指标表现形式不同分为总量指标动态数列、相对指标动态数列和平均指标动态数列三种。

2.发展速度由于采用基期不同，可分为定基发展速度和环比发展速度，这两个发展速度之间的关系为定基发展速度等于相应各期环比发展速度的连乘积。

3.增长量由于基期的不同可分为累计增长量和逐期增长量，两者的关系为逐期增长量之和等于累计增长量。。

4.增长速度的计算方法有两种：（1）增长量/基期水平；（2）发展速度-1。

5.平均发展速度是对各期环比发展速度求平均的结果，也是一种序时平均数。

问答题 1.动态数列的基本构成和编制原则是什么？ 2.时期数列与时点数列各有什么特点？ 3.序时平均数和一般平均数有何不同？

计算题 1.某地区1984年平均人口数为120万人，1995年人口变动情况如下： 月份 1 2 5 9 11 次年1月 月初人数 122 125 132 147 151 157 计算: (1)1995年平均人口数. (2)1984年—1995年该地区人口的平均增长速度. （3）假设从1995年起该地区人口以9‰的速度增长，则经过 多少年人口将达到180万？

2.某工厂第一季度工人数和工业总产值资料如下： 一月 二月 三月 四月 总产值（万元） 180 160 200 190 月初工人数（人） 600 580 620 600   试计算第一季度的平均月劳动生产率及第一季度平均劳动生产率。