第五章 相似理论与量纲分析 流体力学的研究方法主要有三种： 理论分析、实验研究、数值模拟 第五章 相似理论与量纲分析 流体力学的研究方法主要有三种： 理论分析、实验研究、数值模拟 其中，流体力学实验是发展流体力学理论，验证流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重要手段。 本章将探讨流体力学实验的基础理论： 相似理论 量纲分析

§5.1 相似理论 5.1.1 流动相似 为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。

一、几何相似 几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。

式中kl称为长度比尺，则 面积比尺 体积比尺

二、运动相似 运动相似：指模型和原型流动的速度场相似，即两个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。 式中ku称为速度比尺。

由于各对应点速度成同一比例，相应断面的平均速 度必然有同样的比尺 式中 称为时间比尺。 同理，其它运动学物理量的比尺 v的单位是m/s a的单位是m/s2 Q的单位是m3/s 的单位是m2/s

三、动力相似 动力相似：指模型和原型流动对应点处质点所受同名力的方向相同，大小成同一比例。

所谓同名力，指具有相同物理性质的力，如粘滞力T、压力P、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和Tp、Pp、Gp，则 式中F为合外力，kF称为力的比尺。将F＝ma＝ρVa代入上式，得

因 所以 （5－1） 同样，可写出其它力学量的比尺，如

模型和原型流动只要满足上述的几何相似、运动相似和动力相似条件，则两流动相似。而动力相似又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，换句话说，两流动在几何相似、运动相似的条件下，满足各相似准则，则模型和原型流动相似。

5.1.2 相似准则 根据几何相似、运动相似和动力相似的定义，得到长度比尺、速度比尺、力的比尺等，由力学基本定律，这些比尺之间具有一定的约束关系，这些约束关系称为相似准则。 一、雷诺相似准则 当流动受粘滞力T作用时，由动力相似条件有

粘滞力 代入上式整理，约简后得 式中 为无量纲数，即前已介绍过的雷诺数Re。上式用雷诺数表示为 上式称为雷诺相似准则，该式表明两流动的粘滞力 相似时，模型与原型流动的雷诺数相等。因惯性力I ＝－F，故雷诺数反映了流动中惯性力和粘滞力之比。

二、弗劳德相似准则 当流动受重力G作用时，由动力相似条件有 重力 代入上式整理，约简后得 令 为无量纲数，称为弗劳德数。

上式可用弗劳德数表示为 当流动受压力P作用时，由动力相似条件 上式称为弗劳德相似准则，该式表明两流动重力相 似时，模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数 的物理意义在于它反映了流动中惯性力和重力之比。 三、欧拉相似准则 当流动受压力P作用时，由动力相似条件 压力

代入上式整理，约简后得 令 为无量纲数，称为欧拉数。在有压流动中，起作用的是压差Δp，故 前式可用欧拉数表示为

上式称为欧拉相似准则，该式表明两流动压力相似时，模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的物理意义在于它反映了流动中所受压力和惯性力之比。 四、韦伯相似准则 当流动受表面张力S作用时，由动力相似条件 表面张力 代入上式整理，约简后得

上式称为韦伯相似准则，该式表明两流动表面张力相似时，模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和表面张力之比。 令 为无量纲数，称为韦伯数。上式可用韦伯数表示为 上式称为韦伯相似准则，该式表明两流动表面张力相似时，模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和表面张力之比。

五、柯西相似准则与马赫相似准则 当流动受弹性力E作用时，由动力相似 弹性力 代入上式整理，约简后得 式中：K称为流体的体积弹性模量。

令 为无量纲数，称为柯西数。上式可用柯西数表示为 上式称为柯西相似准则，该式表明两流动弹性力相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。对于液体，柯西相似准则只应用在压缩性显著起作用的流动中，例如水击现象。

气体体积弹性模量 令 为无量纲数，称为马赫数。上式可用马赫数表示为 令 为无量纲数，称为马赫数。上式可用马赫数表示为 上式称为马赫相似准则。当可压缩气流流速接近 或超过声速时，实现流动相似要求相应的马赫数 相等。

5.1.3 模型实验 模型实验是根据相似原理，制成与原型几何相似的模型进行实验研究，并以实验结果预测原型将要发生的流动现象。 1. 模型律的选择 要使模型和原型流动完全相似，要求各相似准则同时满足。但要同时满足各相似准则很困难，甚至是不可能的。比如，要同时满足雷诺相似准则和弗劳德相似准则，要求

（1）若模型与原型采用同种流体，温度也相同。则 ，代入上式得 模型和原型的尺寸一样，实验失去了意义。 （2）若模型和原型采用不同流体，长度比尺 则 若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的 1/31.62的流体作为实验流体，这样的流体是很难找 到的。

模型律的选择：选择一个合适的相似准则来进行模型设计，模型律选择的原则就是保证对流动起主要作用的力相似，而忽略次要力的相似。 例如：堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动、自然界中的江、河、溪流等，重力起主要作用，应按弗劳德数相似准则设计模型；有压管流、潜体绕流以及流体机械、液压技术中的流动，粘滞力起主要作用，应按雷诺数相似准则设计模型；对于可压缩流动，应按马赫相似准则设计模型。

2. 模型设计 进行模型设计，通常是先根据原型要求的实验范围、现有实验场地的大小、模型制作和量测条件，定出长度比尺kl。再根据对流动受力情况的分析，满足对流动起主要作用的力相似，选择模型律，并按所选择的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。

例5-1 已知直径为15cm的输油管，流量0. 18m3/s，油的运动 粘度νp=0 例5-1 已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动 粘度νp=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度 νm=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流 动相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水 头差 ，试求100m长的输油管两端的压强差？ 解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷 诺相似准则 因 ，上式可简化为

流量比尺 ，所以模型中水的流量为 （2）流动的压降满足欧拉准则 因 ，则5m长输油管两端的压强差为 （油柱） 100m长的输油管两端的压强差

§5.2 量纲分析 5.2.1 量纲和谐原理 1. 量纲分析的基本概念 （1）量纲 流体力学中涉及到许多物理量都由两个因素构成：一是自身的物理属性，二是量度单位。我们把物理量的属性称为量纲或因次，通常用[x]表示物理量x的量纲。 （2）基本量纲和导出量纲

基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲共有三个：长度量纲L、时间量纲T和质量量纲M。 导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为导出量纲。 任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三个基本量纲的指数乘积来表示，即

（3）无量纲量 各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理量 ，则称x为无量纲量。 阐述无量纲量的特点 2. 量纲和谐原理 量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的。 5.2.2 量纲分析法 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种为瑞利法；一种为π定理。

1. 瑞利法 若某一物理过程与n个物理量有关，即 由于所有物理量的量纲均可表示为基本量纲的指数乘积形式，因此上式中任一物理量xi可以表示为其它物理量的指数乘积形式，即 式中k为常数，a1、a2……为待定指数。上式的量纲式为

根据量纲和谐原理，确定待定指数a1、a2……，即可求得该物理过程的方程式。 2. π定理 π定理的基本内容：若某一物理过程包含有n个物理量，存在函数关系 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由（n－m）个无量纲项所表达的关系式来描述。即

式中 为（n－m）个无量纲数，因为这些无量纲数是用π来表示的，所以称此定理为π定理。 π定理的应用步骤 （1）确定物理过程的有关物理量 （2）从n个物理量中选取m个基本量。对于不可压缩流体运动，一般取m = 3。设x1、x2、x3为所选的基本量，由量纲公式，可得

满足x1、x2、x3量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于零 。 （3）基本量依次与其余物理量组成（n－m）个无量纲π项

（4）根据量纲和谐原理，确定各π项基本量的指数ai、bi、ci，求出π1、π2、…πn－3。 （5）整理方程式 。

例5-3 不可压缩粘性流体在水平圆管内流动，试用π定理导出其压强损失Δp的表达式。 （1）确定有关物理量。根据实验可知，压强损失Δp与管径d，管长l，管壁粗糙度Δ，断面平均流速v，流体的动力粘度µ和管内流体密度ρ有关，即 （2）选取基本量。在有关物理量中选取d、v、ρ为基本量，它们的指数行列式不等于零，符合基本量条件。 （3）组成π项，应有n－m = 7－3 = 4个π项。即

（4）确定各π项基本量的指数，求π1、π2、π3、π4。 （5）整理方程式。 实验证明，沿程水头损失hf与管长l成正比，与管径d成反比，故

令 ，则 上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式。