直线与平面垂直 吴县中学数学组 赵永
问题情境 虎丘塔
师生互动 观察圆锥的形成过程 问题1：PO与底面内的任一条半径垂直吗？ 问题2:圆锥轴PO与平面α内的直线是否垂直呢？
建构数学 直线与平面垂直的定义—— 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线a与平面α 垂直. 文字语言 m是平面a内任意一条直线 符号语言 平面 的垂线 垂足 直线 a 的垂面
直线与平面垂直的图形语言 l l 注：画直线与平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形一边垂直。
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直. 练习：判断下列说法是否正确. ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直. ②如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线.
“任意”不等价于“无数” A a
直线与平面垂直定义 m是平面a内任意一条直线 定义的双重功效 定义 线线垂直 线面垂直 a 性质 m
数学探究1 工人要在水平地面上竖起一根旗杆，怎么检验它是否与地面垂直呢？ 定义的操作性不强 用定义？
建构数学
数学探究2
建构数学 线不在多，相交则行 a 直线与平面垂直的判定定理—— 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. 文字语言 线不在多，相交则行 a 图形语言 符号语言 A n m (线线垂直→线面垂直)
数学应用 如果一条直线垂直于桌面，那么与它平行的 直线也垂直于桌面，也就是说。平移不改变 它与平面之间的垂直关系。 b⊥a a∥b，a⊥a， 例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 已知： b⊥a a∥b，a⊥a， 求证： a b 如果一条直线垂直于桌面，那么与它平行的 直线也垂直于桌面，也就是说。平移不改变 它与平面之间的垂直关系。
数学应用 垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 否定结论 “空间”转化为“平面” 正确推理 α 导出矛盾 肯定结论 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b 垂直于同一个平面的两条直线平行 证明：假设 a与b不平行. 反证法 设直线b和α的交点为o, 则过O点可作 b’∥a. 否定结论 “空间”转化为“平面” 直线b和b’确定平面β， 设α∩β=c b’ α a b 正确推理 A o 导出矛盾 肯定结论
建构数学 空间的问题”转化为“平面的问题” 直线与平面垂直的性质定理—— 如果两条直线垂直于同一平面, 那么这两条直线平行. 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直 线线平行 空间的问题”转化为“平面的问题”
α 解决问题 将一根高8米的旗杆PO竖立在操场上用于 悬挂国旗,它的顶端P 悬挂一条长10米的绳子. 现有一条皮尺,请你检验一下旗杆是否与地面 垂直？ P 10米 10米 8 米 O α B A
2、本节课体现了哪些重要的数学思想或方法？ 1、本节课学习探究了哪些基本知识点？ 线面垂直的定义、判定定理和性质定理； 2、本节课体现了哪些重要的数学思想或方法？ 类比、化归思想(转化) 判定定理 3.方法:线线关系 线面关系 性质定理