第七章 定积分 §7.1 定积分的概念 §7.2 定积分的基本性质 §7.3 定积分计算基本公式 §7.4 定积分基本积分方法 §7.5 广义积分 §7.6 定积分的应用

一、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o

显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积． 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．

曲边梯形如图所示， b, x a b] [a, n 1 2 = < - L 个分点， 内插入若干 在区 间

曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为

实例2（收益问题） 思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加，便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量的无限细分过程求得收益的精确值．

（1）分割 （2）近似 部分收益值 某销售量时的价格 （3）求和 （4）取极限 收益的精确值

二、定积分的定义 定义

记为 积分和 积分上限 被积表达式 积分变量 被积函数 积分下限

注意：

三、存在定理 定理 定理1 定理2

对定积分的补充规定: 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 说明

四、定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

几何意义：

例1 利用定义计算定积分 解

五、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 求和 积零为整 取极限 取极限 精确值——定积分

思考题 将和式极限： 表示成定积分.

思考题解答 原式

§7.2 定积分的基本性质

证明：由定积分的定义， 所以

补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）

证明：

性质7的推论： （1） 证

性质7的推论： （2） 证 说明： 可积性是显然的.

例1.估计积分值: 解 在[1,4]上的最小值、最大值分别为： 所以

在区间 上的平均值

积分中值定理的几何解释：

例2.比较大小: 解（1） 因为在[1，2]上， （2）因为在[1，2]上，

例3.利用积分中值定理求极限 解：由积分中值定理知，在闭区间 上存在 使得 当 时 故必有

解

解 由积分中值定理知有 使

练习 解：由积分中值定理知，存在 使得 另一方面，注意到上式左边是非负的，而右边的项趋于0， 由夹逼定理知

7.1 第4题 在 证明：由于 上连续，故必有最大值和最小值， 不妨设 分别是 上的最大值和最小值， 则 由此立刻得到 由闭区间上的连续函数的介值定理知，存在 使得

即

二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 §7.3 定积分计算基本公式 一、积分上限函数及其导数 二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式

一、积分上限函数及其导数

积分上限函数的性质 证

由积分中值定理得

例1 . 例2 . 例3 .

解：令 则 例4 .

证

例5 .

二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 定理 3（微积分基本公式） 证

令 令

核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数， 则可以轻易地求出定积分的值，即原函数在积分 区间上的增量。 注意

例7. 例8. 例9 .

例10 计算 其中 解 例11. 设 且 求 解：方程两边积分，得

例12. 求

, 求 例13.设 在[0,2]上的表达式, 并讨论 在(0,2)内的连续性. 解. 当 时, 当 时, 综上, 在x=1处, 1 解. 当 时, 当 时, 综上, 在x=1处, 在(0,2)内连续. 所以

问题： 在 是否可导？

例13. 下列做法是否有问题 由于被积函数在积分区间上存在第二类间断点，不满足 Newton—Leibniz定理之条件，故不可用这一公式。 强调：在利用Newton—Leibniz定理的时候，验证定理条件 是否满足是必要的！

小结 1.积分上限函数的性质，其导数的计算； 2.牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式的证明及应用

§7.4 定积分基本积分方法 一、直接积分法

二、 定积分的换元积分法

练习 解：作代换 则它是单值函数，有连续 导数，且当 时 当 故有

说明： 1.这里的换元法实际上相当于不定积分的第二换元法， 常用的有根式代换、三角代换、倒代换； 2.换元必换限，即在做变量代换后，积分上下限要做相应的改 变 ，然后直接求出结果，不必回带，这是与不定积分的不同 之处。

例1 计算 解 设 当 时, ;当 时, 于是,

例2计算 解 设

注意 换元公式也可逆过来使用.即 这就是凑微分法。

例3计算 解：由于 令 则 原式=

结论 例3 证明若 为偶函数 为奇函数 则有 证 (1) 若 为偶函数, 则 (2) 若 为奇函数, 则 例如,

例4 若 证明 并计算 证 (1) 设 (2) 设

例5 证明 证明

例6设 函数 计算 解 设

周期函数的定积分：设 是周期为 的函数，即 则对任意的 有 证明：

三、分部积分法 定理2 设函数 在 上有连续导数，则 定积分的分部积分公式 难 易 与不定积分的分部积分公式对比：

例1 计算 例2 计算 解

例3. 计算 例4. 计算 解 令

例5. 已知 求 解： 例6. 求定积分： 解：令 则

所以 例5. 已知 求

例6. 设 试证：

递推公式 ?

例7. 设 试证： 连续， 证明： 在第二项中作代换 则得到

P91 第5题：

小结： 1.计算定积分的基本方法：直接积分法、换元法、分部积 分法； 2.常用的技巧：解方程、递推、利用被积函数的性质（奇偶性、周期性等）； 3.利用定分求极限：关键在于将极限与定积分的定义联 系起来。

P71 第5题：

P121 第13题：

§7.5 反常积分(广义积分) 一、无穷区间上的反常积分 二、 无界函数的反常积分(瑕积分）

引例 它的积分区间是无限长的，通常意义下的积分不存在，称之 为无穷区间上的反常积分。 这一个积分虽然积分区间是有限的，但是它在区间端点处不 连续，而且函数值趋于无穷大，故通常意义下的积分不存 在，称之为无界函数的反常积分。

一、 无穷区间上的反常积分 取 若极限 存在， 则称此极限值为函数 在无穷区间 上的反常积分. 记作: 即 这时也称反常积分 收敛, 否则，发散. 定义6.1 上连续， 设函数 一、 无穷区间上的反常积分

注意：当且仅当右端两个反常积分都收敛时,左端的反常积分才收敛, 否则发散. 类似可定义, 设函数 在无穷区间 上连续， 设函数 在无穷区间 上连续， 其中 c 为取定的常数. 注意：当且仅当右端两个反常积分都收敛时,左端的反常积分才收敛, 否则发散.

x y o 1 A 例1.计算 解 另解

例2.计算 解 解

例3. 证明反常积分 当 时, 收敛于 当 时, 发散. 证 当 时, 当 时,

收敛于 当 时, 当 时, 发散.

例4. 考察下列函数的敛散性：

例5. 讨论反常积分 的敛散性。 解： 当 时，由于 故原反常积分发散。当 时， 对反常积分，只有在收敛条件下才能使用“偶倍奇零”的性质， 否则会出现错误

二、 无界函数的反常积分(瑕积分） 定义6.2 设函数 在 上连续， 且 若极限 存在, 称该极限值为函数 在 上的反常积分， 叫瑕点 二、 无界函数的反常积分(瑕积分） 定义6.2 设函数 在 上连续， 且 若极限 存在, 称该极限值为函数 在 上的反常积分， 叫瑕点 记作: 即 这时也称反常积分 收敛,否则发散.

注意：当且仅当右边两个反常积分都收敛时，左端的反常 类似，设函数 在 上连续， 且 定义 设函数 在 外连续， 上除点 定义 注意：当且仅当右边两个反常积分都收敛时，左端的反常 积分收敛，否则发散.

例1. 计算反常积分 解. 因 所以 另解

例2. 讨论反常积分 的敛散性. 且 解 在 外连续， 上除点 因 所以,原反常积分发散. 另解 因 所以,原反常积分发散.

例3.证明反常积分 当 时,收敛于 当 时,发散. 证. 当 时, 当 时, 得证.

注意对照！ 当 时,收敛于 时,发散.

当一题中同时含有两类反常积分时，应划分积分区间， 分别讨论每一区间上的反常积分 结论 当 时,收敛于 当 时,发散. 当一题中同时含有两类反常积分时，应划分积分区间， 分别讨论每一区间上的反常积分

例4. 计算 解 反常积分的换元法

例5. 计算 解 所以,

的敛散性 解： 由于

所以 反常积分 被称为 （Gamma，伽马）函数，其定义域为

一个非常有用的性质：

函数 当 时收敛。 ？

练习 求 解：

§7.6 定积分的应用 一、平面图形的面积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 三、旋转体的体积 四、经济方面的应用

o y a b x 定积分的元素法 面积表示为定积分的步骤：分割、近似、求和，取极限 面积元素 简言之： 即 (1)部分量—近似; (2)整体量—积分。

元素法的一般步骤 这个方法通常叫做元素法．

一. 平面图形的面积 o o

o o

X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； 上下结构 X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、

o Y---型区域 左右结构 Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个； b、

例１ 所围成图形的面积. 计算由 解 画草图. 得交点 (0, 0) 和 (1, 1) 解方程组 另解.

计算抛物线 与直线 所围成图形的面积. 例２ 解. 画草图. 由 -2 4 得交点 所求面积为: 另解.

例3 求椭圆 所围图形的面积. 解 设椭圆在第一象限部分的面积为 则整个椭圆的面积为 令 变到 0 t 由 当 x 由 0 变到 a 时，

二、平行截面面积为已知的立体的体积 设一立体界于过点 且垂直于 轴的两平面之间， 为 连续函数， 过 且垂直于 轴的截面面积 任意点 的已知 A(x) 求该立体的体积. 取 x 为积分变量, 积分区间为 体积元素为: 所求体积为:

例1. 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成 角 计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解 取平面与圆柱体的底面的交线为 x 轴,底面上过圆中心 且垂直于 x 轴的直线为 y 轴,则底圆的方程为 立体中过点 x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形, 两条直角边的长分别为: 截面积

二、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台

x y o 旋转体的体积为

总结: 绕轴旋转形成的立体体积计算步骤： 1 画出平面图并确定积分变量与积分区间； 2 确定半径函数； 3 求定积分。

1. 求由 围成的曲边梯形, 绕 轴旋转一周而成的立体的体积V. 以 为积分变量, 积分区间为 [a, b]; 2. 求由 围成的曲边梯形, 绕 轴旋转一周而成的立体的体积V. 以 为积分变量, 积分区间为 [c, d];

所给平面图形如下，需考虑内径与外径。 围成, 3. 求由 的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的立体的体积V. 以 为积分变量, 以 为积分变量, 积分区间为 [a, b]; 所给平面图形如下，需考虑内径与外径。 类似，由 围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的立体的体积V.

解

例2. 计算由椭圆 所围成的图形, 绕 x 轴旋转而成 的旋转体 (旋转椭球体) 的体积. 解 由对称性知，所求体积为： a=b 时, 得半径为 a 的球体的体积:

练习. P116 2(3)

四、经济方面的应用

P116 4. 解：（1）总成本函数为 总收益函数为 总利润函数为

（2） 此时