（Chapter 11 Fluid Mechanics） 第十一章 流体力学 （Chapter 11 Fluid Mechanics） 前言 理想流体 静止流体内的压强 流体运动学的基本概念 伯努利方程 流体的动量和角动量 粘性流体的运动 固体在流体中受到的阻力 机翼的升力

前 言 一、本章的基本内容及研究思路 流体力学是研究流体（液体和气体）平衡和运动的规律以及流体与固体之间相互作用的科学。 前 言 一、本章的基本内容及研究思路 流体力学是研究流体（液体和气体）平衡和运动的规律以及流体与固体之间相互作用的科学。 流体最鲜明的特征是它的流动性，这是区别于固体的一个根本性质，其次，流体还具有粘滞性、可压缩性（与气体相比，液体的可压缩性是很小的）。 由于流体力学研究的是流体的机械运动，因此，反映机械运动共同本质的质点、质点组力学规律，对流体也同样适用。另一方面，流体还具有本身所特有的规律，如连续性原理、伯努利方程等。 本章分为两大部分，第一部分讨论流体静力学问题，如静止流体的压强、压强的传递、压强的分布、浮力等；第二部分

二、本章的基本要求 分讨论流体动力学，着重讨论理想流体的连续性原理和伯努力方程，至于粘滞流体的运动、运动流体对物体的作用等也作了一定的介绍。 1、理解流体力学中的几个基本概念：流体内一点的压强、理想流体、流线、流管、流动性、粘滞性、可压缩性、稳定流动、层流、湍流等。 2、掌握并会应用在重力作用下静止流体压强分布规律和帕斯卡定律。 3、掌握连续原理和理想流体的伯努利方程，并能熟练应用。 4、理解流体运动的内摩擦力，了解运动流体对物体的作用。

三、本章思考题及练习题 5、了解湍流现象和机翼的举力公式。 思考题：教材413---416页 练习题：11.2.6 11.2.10 11.4.1 11.4.3

§1 理想流体 实际流体都是可压缩的。就液体来说，压缩一般都很小，气体的压缩性比较大，但它的流动性也很大， 只要有很小的压强差就足以使气体迅速流动起来，各处密度差异并不大。因此在研究气体流动的许多问题中，压缩性是可以忽略的。即 实际流体流动中，流体各层有相对滑动时，相邻两层之间存在摩擦力，这种力阻碍流体各部分间的相对滑动，流体的这种性质，称为粘滞性，在很多情况下，粘滞性可以忽略不计。一般在我们研究的问题中，压缩性和粘滞性是影响流体运动的次要因素，只有流动性才是决定运动的主要因素。为了突出流体的这一主要特征，我们引入理想流体这一模型： 完全不可压缩又无粘性的流体叫做理想流体。本章基本上只讨论理想流体。

§2 静止流体内的压强 一、静止流体内一点的压强 §2 静止流体内的压强 一、静止流体内一点的压强 对流体来说，首要的概念是压强，它体现了流体中 各部分 的相互作用。 ，“某一点的压强”怎么理解？ O 设想在静止液体内部的某点 O 取一个很小的面积 ，静止的情况下，在 一侧的液体必定有力 作用在 上，以防止另一侧的液体流过来。 的方向一定和面 垂 直。因为，如果压力 的方向不跟面 垂直，就会产生一个跟随面 平行的分力，这个分力会使液体沿着 流动起来。现在液体既然是静止的，就可以断定这个分力不存在。

所以压力 一定是与面 垂直的。 作用在面积 上，平均每单位面积所受压力的大小 称为平均压强， 趋近于零时，平均压强的极限值，就称为液 体内部该点的压强，用 P 表示，即 流体内部某点的压强是和面 方位无关的。即“向各个方向的压强都相等”，它是各向同性的。为了证明这一点，在流体中取直角三角柱体元。

二、静止流体内不同空间点压强的分布 根据平衡条件有： 因为在推证中， 角可取任意值，对棱柱的方位又未加任何限制，故说明在静止液体内任一点“向各个方向的压强都相等” 。 二、静止流体内不同空间点压强的分布 1、等高的地方压强相等

如图(a)所示，设 A、B 两点等高，作以AB联线为轴、底面积为 的小柱体，该柱体水平方向的平衡条件为 （1） 2、高度相差 h 的两点间压强差为 如图(b)所示，设B、C两点在同一铅垂线上，作以BC联线为轴、底面积为 的小柱体，该柱体铅垂直方向的平衡条件为 A B C A B C (a) (b)

（2） 由于（1）式，此式对于不在同一铅垂线上的两点（例如A、C）也成立。 ● 帕斯卡原理：作用在密闭容器中流体上的压强等值地传到流体各处和器壁上去。该原理实质上是上述静液压强分布规律的推论。 ● 阿基米德原理：物体在流体中所受的浮力大小等于该物体排开同体积流体的重量。浮力是作用在被物体所排开的同体积的液块的质心（重心）上的，这个点称为浮体的浮心。只有浮心高于浮体的质心（重心）时，浮体的姿态才是稳定的。

§3 流体运动学的基本概念 三、相对于非惯性系静止的流体 一、流迹 • 流线和流管 对于相对非惯性系静止的流体微团还受到惯性力的作用。惯性力与重力、引力相似，属体积力。总体积力与液体表面垂直。 §3 流体运动学的基本概念 一、流迹 • 流线和流管 研究流体运动的方法有两种： 1、拉格朗日法：将流体分成许多无穷小的微元，求出它们各自的运动轨迹（称做迹线，path line）。这实际上是沿用质点组动力学的方法来讨论流体的运动。 2、欧勒法：把注意力集中到各空间点，观察流体微元经过每个空间点的流速 v ，寻求它的空间分布和随时间的演化规律。

二、定常流动 三、不可压缩流体的连续性方程 一般说来，流速场的空间分布是随时间而变化的，即 。在特殊情况下流速场的空间分布不随时间改变，即 ，这种情况称为流体的定常流动（steady flow）。 定常流动时，流体是在固定的流管中运动，而流管无限变细即成为流线，这就意味着流体微团是沿流线运动的，换句话说，定常流动时的流线与流迹相重合。 三、不可压缩流体的连续性方程 1、流量 在流速场中取任一假想的面元 dS，通过它的边界作一长度为 vdt 的流管（如图），管内流体的体积和质量分别为 。这也是在时间间隔 dt

内通过面元 dS 的流体体积和质量。称为体积（或质量）流量，记作 dQv（dQm）。按此定义，则有 为了把流量的表达式写得更简洁，我们引进面元矢量的概念：在面元 dS 的法线方向取一单位矢量 n ，面元矢量定义为 ，即 dS的大小等于dS ，方向沿法向 n 。这样一来，流量可以写为 n v dS vdt

通过有限曲面 S 的流量为 2、连续性原理 沿任意流管有 vds = 常量，在物理实质上体现了流体在流动中质量守恒。

§4 伯努利方程 研究流体力学问题，必须注意流体处于静止还是在流动。流体在流动中的压强分布与静液迥然不同。这里研究在惯性系中观察理想流体在重力场中作定常流动时一流线上的压强、流速和高度的关系，即伯努利方程。它是质点系动能定理在流体中的应用。 • 2 • 1 对于伯努利方程，应注意以下几点： 1、方程在惯性系中成立； 2、只有对同一条细流管（或同一条流线）上的各点才有方程所表明的关系；

3、对于不同的细流管或流线，方程的常量具有不同的值。 把伯努利方程运用于水平流管，或在气体中高度差效应不 显著的情况，则有 即高速则低压。 分析几个实际现象： ● 两张纸平行放置，用口向它们中间吹气。 ● 在船长的航海指南里，应当对两条同向并行船只的速度和容许靠近的距离，加以明确的规定。 ● 足球中的香蕉球。 [例题] 图所示是一虹吸现象示意图。把一根充满水的弯曲的粗细均匀的虹吸管插入水桶中，于是水就从虹吸管中流出。虹吸管的出口处比桶中水面低 H ，管 CD 比水面高 h 。设水桶很大而虹吸管很细，求虹吸管中水流的速度；以及B、C、D三点的压强。

E H h D C A B E F (a) (b)

[解] 设水桶很大而虹吸管很细，则桶内水面下降速度很小，所以水的流动可以看作稳定流动。在流体中取一条流线 ABCDE，首先对 A、E 两点应用伯努利方程，由 并规定E点为势能零点得方程 （1） 为了求出 pE，要进行近似计算，如图（b）所示，近似认为小孔附近的流线是平行的并且是稳定流动，同一条流线的两点 E、F，可近似认为压强相等。 。将此代入（1） 式即可得到虹吸管出口处流速 为了求出 B、C、D 三点的压强，我们根据虹吸管的粗细是均匀的条件，由连续性方程可知虹吸管中 B、C、D 三点的流速亦为 ，这样对 B、C、D、E 四点应用伯努利方程就得到

结果表明，在粗细均匀的虹吸管中等高的 C、D 两点的压强是相等的： ；而 A、B 两点虽然是等高的，但由于 A 点在水桶水面上，而 B 点在虹吸管中，它们的压强却是不相等的：

水之所以能通过虹吸管源源不断地流出，是由于虹吸管外水桶中的水压比虹吸管内等高点的水压大，于是水在这个压强差的驱使下由水桶流向虹吸管，产生虹吸现象。有人在解释虹吸现象时认为：水之所以能从虹吸管中流出，是由于虹吸管中 C 点比等高的D 点的压强大。从上面的讨论中可以看出这个解释是错误的。当虹吸管的粗细均匀时，虹吸管中等高的 C、D 两点的压强是相等的。当虹吸管粗细不均匀时，如 D 点处虹吸管的截面比 C 点粗，则 D 点处的压强反而比 C 点大，尽管水是由 C 点流向 D 点的。

§5 流体的动量和角动量 管壁对流体的压力为 流体给管壁的作用力为 §5 流体的动量和角动量 管壁对流体的压力为 流体给管壁的作用力为 [例题] 求截面 S 均匀的90°弯管处流体给管壁的正压力。设流体不可压缩。 [解] 由于管道截面均匀，流速恒定，设为 v ，则流量为 ，流体给管壁的反作用力的大小为 方向沿45 °线向外。

§6 粘性流体的运动 现在讨论实际的流体，而不再是“理想流体”，我们知道，静止流体中是不存在剪切应力的，但当各层流体之间有相对滑动时，在它们之间有切向的摩擦力——粘滞力。 用固体之间“干摩擦”的语言来描述，就是流体之间的“湿摩擦”只有滑动摩擦，没有静摩擦。 一、粘性定律 在流体中取一假想截面，截面两侧流体沿截面以不同速度运动，即截面两侧的流体具有沿截面的相对速度，则两侧流体间将互相作用以沿截面的切向力，较快层流体对较慢层流体施加向前的“拉力”，较慢层对较快层施加“阻力”。这一对力相当于固体间的“动摩擦力”，因它是流体内部不同部分间的摩擦力，故称为内摩擦力，又称为粘性力。

设流体中相距为 的两个平面上流体的流速分别为 描述在 间流速对空间的平均变化率。 它反映了速度随空间位置变化缓急的情况。 实验表明，流体内面元两侧相互作用的粘性力 f 与面元面积 及速率梯度 成正比。

二、雷诺数 液体的粘滞系数随温度的升高而减小，气体则反之。 英国的雷诺于1883年提出用来比较粘性流体流动状态的 无量纲数 分别表示流体密度和粘性系数，v 表示特征流速， l 表示所讨论问题的长度。

三、层流与湍流 对于雷诺数有如下相似律：若两种流动边界状况或边界条件相似且具有相同的雷诺数，则流体具有相同的动力学特征。 例如新设计的飞机是要在风洞里做模拟实验的，模型飞机的尺寸 l 变小了，要保持 Re 不变，其它参量就得改变。 三、层流与湍流 即使在粘滞性极小的情况下，理想流体模型也未必给出比较符合实际的物理图象，因为出现了湍流。当雷诺数 Re 由小变大时，层流→湍流。 例如烟缕在随热气流加速上升的过程中，由层流变成湍流。 ● 泊肃叶公式： ● 了解粘性流体的伯努利方程（功能关系）

● 运动球体的阻力 （斯托克斯公式） ● 知道空气粘性产生环流是飞机获得升力的原因。