12.1 双正交滤波器组 12.2 双正交小波 12.3 双正交小波的构造 12.4 双正交样条小波 12.5 正交小波包 第12章 双正交小波及小波包 12.1 双正交滤波器组 12.2 双正交小波 12.3 双正交小波的构造 12.4 双正交样条小波 12.5 正交小波包

引言 Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN，SymN ，CoifN )。但是，正交小波也有不

内容简介 先给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念

12.1 双正交滤波器组 方法：结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件 12.1 双正交滤波器组 方法：结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件 小波变换的需要 ：用 对 分解时需要将 和 的系数作时间上的翻转

（1） 分析下图中各信号之间的关系及实现PR的条件 根据两通道滤波器组的理论，有下式 （2） ↓2 ↑2 H0 (z) H1 (z-1) 图（1） 根据两通道滤波器组的理论，有下式 （1） （2） H0 (z-1) ↓2 ↑2 H0 (z) H1 (z-1) H1 (z)

将（1），（2）式带入，可得

显然，如果 则 从而实现了准确重建。

由此定理，可以得出双正交滤波器组中的若干基本关系 定理12.1 对前图所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号，其准确重建的充要条件是： (12.1.6a) 及 (12.1.6b) 由此定理，可以得出双正交滤波器组中的若干基本关系 （1） 去除混迭条件： （2） PR条件：

(3) 保证PR条件和滤波器均为FIR的情况下，四个滤波器在时域和频域的关系： （时域）

定理12.2 如果图12.1.1中的四个滤波器 ， ， 和 满足准确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则 是 中的双正交Riesz基。 注意: 在双正交滤波器中，我们并没有强调 和 之间的正交关系，而这一正交关系是共轭正交滤波器组中的基本关系。在小波的多分辨率分析中，使用正交滤波器组时，分解滤波器和重建滤波器是相同的，而在双正交小波分析中，分析滤波器是 和 ，而综合滤波器是它们的对偶，即 和 。

12.2 双正交小波 信号的离散小波变换 令 ，则称 为小波系数，也即 的DWT。 可由 重建 式中 是 的对偶小波

用于信号的分析，对偶小波 用于信号的综合。在正交小波的情况下， 。 在“双正交”的情况下，第七章及第十章所讨论的滤波器组及两尺度差分方程各增加了一套“对偶”，即 ， ； ， ； ， 和 ， 。

双正交小波基的存在性 定理12.3 假定存在两个恒正的三角多项式和，使得 (12.2.14a) (12.2.14b) 并假定 、 在 内非零，则 1、由(12.2.12)式定义的 和 属于 ，且满足双正交关系 (12.2.15) 2、两个小波函数序列 和 是 中的双正交Riesz基，即 (12.2.16)

有了 中的双正交基，我们可对 作如下的分解： 既然 ， 是 中的Riesz基，则必然存在数 ， ，使得 (12.2.18a) (12.2.18b)

在双正交的情况下，我们并不要求 和 之间是正交的，也不要求 和 之间，以及其对偶函数 和 之间是正交的，仅要求 和 之间以及 和 之间是正交的，也即(12.2.15)和(12.2.16)式。正交性的放宽是使 及 具 有线性相位，从而使 和 更具有对称性，从而减小了相位失真。

双正交小波下的快速算法和正交基小波下的快速算法基本相同，区别是在重建时使用的是对偶滤波器和。具体的分解方程和重建方程是： 式中 ， 分别是 ， 作二插值得到的序列

12.3 双正交小波的构造 双正交小波的构造包括 ， ， 及 的构造，而它们又都源于分解滤波器 、 及用于重建的对偶滤波器 和 。(12.1.14)式给出了 、 和 及 的关系，因此，双正交小波构造的核心问题是 和 的构造，这和正交小波的构造过程是一样的。

如果 和 都是FIR滤波器，由(12.2.3)和(12.2.4)式 ， ， ， 及将都具有有限支撑。若 和 支撑范围 如果 和 都是FIR滤波器，由(12.2.3)和(12.2.4)式 ， ， ， 及将都具有有限支撑。若 和 支撑范围分别是 ， ，则 和 的支撑范围分别是和 ， 。 而小波函数 和 的支撑范围分别是 和 它们的长度都是

消失矩 和 消失矩的数目取决于 和 在 处零点的数目。由定理11.1，若 在 处有 阶零点，则 有 阶消失矩。同理，若 在 处有 阶零点，则 有 阶消失矩。因此，在构造 和 时，应尽量让它们在 处有高阶的重零点。

规则性 此处不再详细讨论，其一般结论是： 由(12.2.4a)式， 和 有着相同的规则性； 和 的规则性随着 在 处零点数的增加而增加； 和 的规则性也是随着 在 处零点数的增加而增加； 如果 和 在 处有不同的零点数，则 和 的规则性也不相同。

之所以使用双正交小波，其目的是使 ， 对称性 及其对偶滤波器具有线性相位，同时也使 之所以使用双正交小波，其目的是使 ， 及其对偶滤波器具有线性相位，同时也使 和 都具有对称性。除Haar 小波外，在正交小波的情况下，上述对称性是不可能实现的。 如果 ， 具有奇数长且以 为对称，则 和 是以 为对称的，而 和 是相对位移位中心为对称的。如果 ， 具有偶数 长且以 为中心作对称，则 和 是以 为中心作对称，而 和 以其位移中心作反对称。

显然，若 ， 是对称的， ， 都可改记为 和 ，也即在对 作分解时无需再将 和 翻转。

及 的构造 双正交条件 两边取共轭 (12.3.4) 不同类型的双正交小波的结构方法 1、令 固定，假定 是(12.3.4)式的解，若 ，则

2、因为 、 是实序列， 、 满足式 ， ，所以 、 均应是实系数的三角多项式 3、将下面四式

分别代入(12.3.4)式，有 通过三角变换，再令 则有

(12.3.10) 4、令 ，则前式又可表为如下的Bezout方程： 只要能求出 ，由(12.3.8)式，即可得到 和 ，从而可按(12.3.5)或(12.3.6)式构造出 和 。 5、(12.3.10)式的解由下式给出：

12.4 双正交样条小波 样条函数是分段光滑且在连结点处具有一定光滑性的一类函数，它在数值逼近方面获得了广泛的应用。其中基数B样条(Cardinal B-Spline)函数具有最小的支撑范围且又容易在计算机上实现，因此被认为是构造小波函数的最佳候选者之一。

次B样条函数 是一阶B样条函数 自身作 次卷积所得到的，而 正是Haar小波的尺度函数，即 所以

依次类推，有

令尺度函数 等于 。考虑到 往往以 为对称，所以令

时的如图所示。 由 得到尺度函数

由该图可以看出， 是不连续的， 连续但一阶导数不连续，而 的一阶导数是连续的，曲线已比较光滑。当 增大时， 会变得更光滑。 由该图可以看出， 是不连续的， 连续但一阶导数不连续，而 的一阶导数是连续的，曲线已比较光滑。当 增大时， 会变得更光滑。 很容易证明 的傅里叶变换是 而对移位后的 ，其傅里叶变换为

又因 满足我们在第十章所讨论的二尺度差分方程。同时，可求出 是有界的。 当 时， 同样也满足二尺度差分方程，同理可求出

因此，在 时不同 的可构成一个多分辨率分析。由正交基频域的性质， 的整数移位之间不构成正交基。我们可将 “正交化”，即令 对 作反变换，得尺度函数 ，则 ， 可形成一族正交基。再由第十章的方法可得到正交归一的小波函数。

在双正交的情况下，可不必对 作(12. 4. 14)式的正交化，而直接用 作适当移位后 的作为尺度函数，这样选定 后，令(12. 3 在双正交的情况下，可不必对 作(12.4.14)式的正交化，而直接用 作适当移位后 的作为尺度函数，这样选定 后，令(12.3.11)式中的 等于零，并令 。 ，从而得到了在双正交条件下样条小波分析滤波器 和重建滤波器的系数 ，即 ， ，

由以上几式可以看出， 仅和 有关，而和 无关； 不但和 有关，而且还和 有关，也即 取决于 和 。 给定不同的 和 ，就可求出一对 和 。 ， ，

不同 和 组合情况下 、 、 、 、 和 的系数。 情况1. 令 ，则必有 ，有 所以 即 令 ，则必有 ，有

所以 即 在 时的尺度函数 即是Haar尺度函数，即 ， 对 ，其余为零。又由于在 时的 ， 必有 。

易知在该情况下的小波函数即是Haar小波，即 情况2： 令 ，则 ，有

再令 ，则 ，有 即 按此方法类推，不难得出在不同 和 的组合下的 及

在 时 取不同值, 和 长度不同的原因在于对的 分解，即(12. 4. 15)和(12. 4 在 时 取不同值, 和 长度不同的原因在于对的 分解，即(12.4.15)和(12.4.16)式是在假定 ， 情况下得到的。若对 作另外形式的分解，即 ， ， 然后将 和 分别代入(12.3.5)和(12.3.6)式，则可得到保证在双正交条件下且长度接近的 和 。

12.5 正交小波包 引言 多分辨率分析将空间 进行逐层分解， 这种分解具有恒 性质，即在高频端可获得很 12.5 正交小波包 引言 多分辨率分析将空间 进行逐层分解， 这种分解具有恒 性质，即在高频端可获得很 好的时域分辨率而在低频端可获得很好的频域 分辨率，因此，这种分解相对均匀滤波器组和 短时傅里叶变换有着许多突出的优点。但这种 分解仅是将 逐级往下分解。而对 不再作分 解。将 和 相比，显然，对应最好的时域分 辨率，但是有着最差的频域分辨率。这在既想 得到好的时域分辨率又想得到好的频域分辨率 的场合是不能满足需要的。

在多分辨率分解的基础上，我们可将空间再作分解: V0 V1(L) W1(H) V21(LL) W21(HL) V22(LH) W22(HH) W34(HHH) V34(HHH) V31(LLL) W31(HLL) W33(HLH) V33(LLH) W32(HHL) V32(LHL) 图12.5.1 空间的逐级分解

在该图的分解中，任取一组空间进行组合，如果这一组空间：①能将空间覆盖；②相互之间不重合，则称这一组空间中的正交归一基的集合构造了一个小波包(wavelet packet)。 小波包的选择不是唯一的，也即对信号分解的方式不是唯一的。如我们可选择 ① ， ， ， ， ， ， ， ； ② ， ， ， ， ； ③ ， ， 等不同空间来组合，它们都可覆盖 ，相互之间又不重合。 如何决定最佳的空间组合及寻找这些空间中的正交归一基便是小波包中的主要研究内容。

↓2 H0 H1 图12.5.2 图12.5.1的滤波器组实现

定理12.5 令 是空间 中的正交归一基， ， 是满足(12.5.3)式的一对共轭正交滤波器，令 (12.5.4a) (12.5.4b) 则 是中的正交归一基。

显然，令 ， 分别是 和 所产生的空间。自然有 例12.5.1 对Harr小波， ， ， 由(12.5.6)式，有

当 时， 当 时，

， 的宽度都是 ，而 的宽度为 。 时 的分别示于图12.5.3a，b和c 图12.5.3 由Harr小波生成的小波包 (a) ,

图12.5.3 由Harr小波生成的小波包 (b)

图12.5.3由Harr小波生成的小波包 (c)

定理12.6 在小波包的分解中，在结点 处的小波包系数由下式给出 (12.5.11a) (12.5.11b) 而在结点 处的小波包系数 可由下式重建： (12.5.12) 式中 和 分别是 和 每两个点插入一个零后所得到的序列。

“最佳小波包”的选择问题 一个最佳小波包的选择取决于三个因素： 信号本身的性质； 信号分解的目的； “最佳”原则的选择。