刚体转动惯量的测定 主讲人：张晓 大家好，本次实验为刚体转动惯量的测定。

单位：kg·m2 刚体转动惯量是刚体绕定轴转动时惯性大小的量度，也是描述刚体转动特性的一个重要的物理量。 物理概念：转动惯量 定轴 ri dmi or 单位：kg·m2 刚体转动惯量是刚体绕定轴转动时惯性大小的量度，也是描述刚体转动特性的一个重要的物理量。 把刚体看作质点的集合,其绕定轴转动时的转动惯量J等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。如果刚体的质量分布连续，就可以表示为积分运算。可见，刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布情况及转轴的位置都有关系。转动惯量的单位是：千克二次方米。

实 验 背 景 对于形状规则、质量分布连续且均匀的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定轴的转动惯量。 转轴通过中心与环面垂直 R内 R外 实 验 背 景 对于形状规则、质量分布连续且均匀的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定轴的转动惯量。 对于任意刚体，通常需要用实验的方法来测定其转动惯量。 对于形状规则、质量分布连续且均匀的刚体，比如这样一个圆环，可以通过数学方法计算出它绕定轴的转动惯量。 但对于形状不规则，或质量分布不连续不均匀的任意刚体，其转动惯量通常就只能用实验的方法测定。

实 验 背 景 平行轴定理： 某一刚体，绕过质心轴z转动的转动惯量JZ与绕偏心轴z’转动的转动惯量轴JZ’ 之间的关系可以由平行轴定理来描述：即：JZ’等于JZ加ML2。可见对于某个特定的刚体，它绕偏心轴转动的转动惯量比绕过质心轴转动的转动惯量要大，大多少取决于刚体的质量M和转轴偏离质心的距离L。

本次实验有两个实验目的：1.用刚体转动惯量实验仪测量铝环的转动惯量，并与理论公式计算出来的结果进行比较，验证方法的正确性，2是验证平行轴定理 实 验 目 的 1、学习使用刚体转动惯量实验仪测定铝环的转动惯量； 2、用实验的方法验证平行轴定理； 本次实验有两个实验目的：1.用刚体转动惯量实验仪测量铝环的转动惯量，并与理论公式计算出来的结果进行比较，验证方法的正确性，2是验证平行轴定理

实 验 仪器 电脑毫秒计 刚体转动实验仪 待测刚体:小钢柱 待测刚体:铝环 可编程式计算器 本次实验所用的实验仪器，包括刚体转动实验仪、待测模块(一个铝环和两个小钢柱)、一个电脑毫秒计和一个可编程式计算器。转动实验仪主要由乘物台和绕线塔轮组成，乘物台用于放置待测刚体，其四个方向上分别设有五个等间距的小孔，用于将两个小刚柱安放在不同的位置上测量。塔轮备有5个不同半径的绕线轮，将弦线绕在某一层绕轮上，弦线另一端通过滑轮连接砝码，松手后，砝码开始下落，同时转动体系开始转动，直到弦线绕完从塔轮脱落。 乘物台转动时，固定在其下方的两根相隔180度的遮光细棒会依次通过光电门，并产生计时触发脉冲，与光电门相连的电脑毫秒计依据此脉冲计数、计时，数值会实时显示在这两个窗口。遮光细棒第一次通过光电门时，电子毫秒计两个窗口的显示均为“0”，从此时开始计时计数，此后每转过半圈，即每转过一个π的角位移，计数值增加1。因此，计数值显示是几，就意味着从0时刻算起的角位移是几π，对应的时间显示就是转过该角位移时所用的时间。电脑毫秒计最多可以存贮64个时刻的计数和时间值，以供回查。 可编程计算器的功能是，在需要用同一公式进行多次计算时，只需将公式输入一次，相当于编好程序，通过改变公式中参数的赋值就能方便、高效的完成所有的计算。

实 验 原 理  转动定律 合外力矩 角加速度 M＝J β 转动惯量 测量转动惯量的实验方法有很多，比如动力法、扭摆法、和复摆法，本次实验用动力法。由转动定律可知，刚体绕定轴转动的角加速度与其所受的合外力矩M成正比，与转动惯量J成反比。

M＝J β 实 验 原 理 砝码脱落后 砝码脱落前 F 很显然，实验中砝码脱落前后转动体系所受力矩的情况是不同的。砝码脱落前，系统受两个力矩的作用：一个是动力矩M’，即弦线张力力矩；另一个是阻力矩Mμ，即轴承的摩擦力矩，转动系统做加速运动，角加速度为正，用β表示。动力矩为弦线张力F乘以塔轮半径为r，下面来分析弦线张力F。我们以下落中的砝码为研究对象，它受两个力的作用：向下的重力mfg和向上的弦线张力F，设其下落加速度为a, 根据牛顿第二定律，有mfg-F=mfa，由于实验设计上保证了a<<g,所以有F约等于mfg，动力矩就约等于mfgr。砝码脱落后，动力矩不复存在，仅剩阻力矩Mμ，此时做减速运动，角加速度为负，用βμ表示，将动力矩与阻力矩代入第一个方程，经过整理，就得到动力法测量转动惯量的计算公式。式中，mf,g,r均为已知，需要测出两个角加速度β和βμ。 由于动力矩近似恒定，假设阻力矩也恒定，这样砝码脱落前的加速运动和砝码脱落后的减速运动就都可以看做是匀变速运动。 mfg

实 验 原 理 砝码脱落前 砝码脱落后 匀变速运动 我们列出砝码脱落前，做匀加速运动的运动方程，ω0为计时起始时刻的初角速度，θ1为t1时刻的角位移，θ2为t2时刻的角位移.二式联立得到β的计算公式。同理，对砝码脱落后的匀减速运动，得到βμ的计算公式。注意到计算β和βμ的公式形式上完全相同的，但两式中与θ1、θ2对应的时间值tμ1、tμ2与t1、t2的值一定是不同的。考虑实验室仪器的具体情况，令θ1=2π, θ2=6π，代入后两个公式可以统一为这种形式。将这个公式输入前面介绍的可编程式计算器中，将t1、t2的值分别赋给A和B就得到β，将tμ1、tμ2的值分别赋给A、B就可以得到βμ。

1、测量铝环的转动惯量 a.将铝环放于承物台上 实验内容及操作步骤 1、测量铝环的转动惯量 a.将铝环放于承物台上 b.均匀绕线在第三个转轮（力臂等于转轮半径r＝2.5cm），记录t1、t2 和tμ1、tμ2 ，分别计算β和βμ，计算J铝环+乘物台 c. 取下铝环，重复步骤b ，计算J乘物台 本实验第一个内容是测量铝环的转动惯量，首先将铝环放在乘物台上，转轴通过质心位置，将弦线均匀绕在第三层塔轮上（力臂等于塔轮半径r＝2.5cm），记录t1、t2 和tμ1、tμ2 ，分别计算β和βμ，代入公式得到的转动惯量为铝环+乘物台的，并不是铝环本身的，因此还需要将铝环取下，重复步骤2再测一次，得到乘物台的转动惯量，二者之差才是铝环的转动惯量，这样就得到了实验值，再通过公式计算出该铝环转动惯量的理论值（铝环的质量及内外环半径都是已知的），求出相对误差进行比较验证。

2、验证平行轴定理 J2 -J1=2md2 a. 将两个质量均为m的小钢柱放在3，3′小孔位置，测量得到J1 实验内容及操作步骤 2、验证平行轴定理 J2 -J1=2md2 a. 将两个质量均为m的小钢柱放在3，3′小孔位置，测量得到J1 b. 将两个小钢柱放在1，5′小孔位置，测量得到J2 c. 计算2md2, 求与J2-J1 的相对误差 d=3.00cm 5′ 4′ 3′ 2′ 1′ 1 5 4 3 2 第二个内容是用实验的方法验证平行轴定理，首先注意到乘物台的转轴位置是固定的，因此我们需要改变待测对象的质心位置进行验证。先将两个小刚柱插放在乘物台3，3′小孔位置，此时两小刚柱关于转轴对称，转轴通过质心，测量得到J1 ；然后将两个小刚柱放于乘物台1，5′小孔位置，此时两小刚柱向同一方向移动了两个小孔间距，转轴不通过质心，与质心的距离就是两个小孔间距d=3.00cm，此时测量得到J2 ，根据平行轴定理， J2-J1 应该等于2md2, 求两者的相对误差进行验证。

操作视频 下面我们以两个小刚柱绕过质心轴的转动惯量的测定为例，讲解获取t1，t2，tμ1, tμ2的操作步骤。首先，将两个小钢柱插放在1,3’小孔位置，弦线先穿过小孔（特写），将弦线端部的线结卡在第三层绕轮上部或下部的狭缝中（特写），然后将线均匀的绕在第三层塔轮上（特写），注意弦线应水平且与小孔内缘不存在摩擦（特写））。我们将在同一次转动中，将t1、t2，tμ1、tμ2的值全部读出。下面请注意观察：将电子毫秒计打开，按下“待测”（特写），松手，乘物台开始转动，电脑毫秒计开始计时计数。观察到计数值超过6（特写），按下02，记录t1（特写）, 再按下06记录t2（特写）；此时，弦线已从塔轮脱落。立即复位清零（特写），按下“待测”（特写），使电脑毫秒计从零开始重新计时，计数，等待计数显示超过6，按照同样的方法，按下02，记录tμ1, 再按下06记录tμ2。

本次实验需要注意以下两点：1.弦线长度必须满足在电脑毫秒计计数脉冲到达6以后才脱离塔轮 实验注意事项 弦线长度必须满足在电脑毫秒计数值到达6以后才脱离塔轮 弦线脱落后，必须复位，重新计时计数，方能在同一次转动中读取tμ1、tμ2的值 本次实验需要注意以下两点：1.弦线长度必须满足在电脑毫秒计计数脉冲到达6以后才脱离塔轮 2.记下t1、t2的值后（通常此时弦线已脱落），必须复位清零，方能在同一次转动中继续读取tμ1、tμ2的值

课后请同学们思考这两个问题，并将思考结果写在报告册上。 思考题 1.转动惯量的测量结果比实际值偏大还是偏小，为什么? 2.如果弦线不水平、弦线与小孔边缘发生摩擦，或滑轮转动不畅，对测量结果分别会产生什么影响？ 课后请同学们思考这两个问题，并将思考结果写在报告册上。

实验拓展：用作图法确定转动惯量 除了前面讲述的方法之外，我们还可以用作图法计算刚体的转动惯量。 （图片出现）使乘物台在遮光细棒靠近光电管的位置从静止开始转动（图片消失），这样电脑毫秒计计时起始时刻乘物台的初角速度ω0就约等为零，这样角位移就可以写为 ，这样β就是，代入转动定律公式中，整理得到这个公式，对同一刚体，转轴位置固定时，J为一个定值，将角位移设定为一个固定的值，g,r,均为已知且恒定，这一项就可以表示成一个常数K，将Mμ看作恒定，这一项可以写成常数mμ，可见mf与1/t2成线性关系。通过改变砝码的质量mf，测量并记录与固定角位移对应的时间t的值，以1/t2为横坐标，mf为纵坐标，作图可以得到一条直线，由直线的斜率就可以得到J，求其截距还可以得到阻力矩Mμ的值。

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