等差数列

1+2+3+···+100=? 引例一 高斯 (1777—1855） 德国著名数学家 得到数列 1，2，3，4， … ，100

引例二 姚明刚进NBA一周训练罚球的个数： 得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000 第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000. 得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000

匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm） 引例三 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm） ，23， ，24， ，25， ，26， ，23， ，24， ，25， ，26， 得到数列

观察：以上数列有什么共同特点？ 发现？ 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 观察归纳 高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100 　姚明罚球个数的数列： 　6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 观察：以上数列有什么共同特点？ ，23， ，24， ，25， ，26 运动鞋尺码的数列 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*） 等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*） ①1，2，3,…,100； 公差d=1 公差d=500 ②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000 ，23， ，24， ，25， ，26 ③ 公差d=

注意 想一想 1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由 公差是-2 公差是0 不是 2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由 公差是0 3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由 不是 注意 公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0

已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d a2-a1=d 通项公式 已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d a2-a1=d （1） a3-a2=d （2） 累差迭加法 a4-a3=d （3） …… an-an-1=d （n-1） (1)式+(2)式+…+(n-1)式得： an=a1+（n-1）d an-a1=（n-1）d， 即

例题讲解 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得 8 + (20-1) × （－3） =-49 a20= (2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 得到这个数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得 －401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程， 得n＝100 即－401是这个数列的第100项。

例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1与公差d. 解： 由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3 点评：利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解

例３ 梯子的最高一级宽３３cm，最低一级１１０ cm， 中间还有１０级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度． 解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，　　　　a1＝３３，a１２＝１１０，n=12. 　　　　由通项公式，得a１２＝ a1＋（１２－１）d 　　　　　　 即１１０＝３３＋１１d　　d＝７ 　　　　　　因此a２＝３３＋７＝４０， a３＝４０＋７＝４７， 　　　　　　　a４＝５４， a５＝６１， a６＝６８， 　　　　　　　　a　７＝７５，a８＝８２， a９＝８９， 　　　　　　　　a１０＝９６ a＝１１ ＝１０３ 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是４０ cm ，４７ cm ，　　　５４ cm ，６１ cm ，６８ cm ，７５ cm ，８２ cm ， ８９ cm ，９６ cm ，１０３ cm

求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。 题后点评 求通项公式的关键步骤： 求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。

练一练 (1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知， 在等差数列{an}中， (1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知， a4=10＝a1+3d a1=1 解得: a7=19＝a1+6d d=3 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知， a3=9＝a1+2d a1=11 解得: d=-1 a9=3＝a1+8d 所以： a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？” 古题今解 我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？” 分析： 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3， ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。 点评：解等差数列有关问题时转化为 a1和d是常用的基本方法

C a2+a5=a1+d+a1+4d=4 ∴ , an=a1+(n-1)d=33 ∴n=50 接轨高考 （此题为2003年全国高考题） A.48 B.49 C.50 D.51 C a2+a5=a1+d+a1+4d=4 ∴ , an=a1+(n-1)d=33 ∴n=50

A=(a+b)/2 等 差 中 项 A为a,b的 新概念 在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？ 解: 依题得, A-a=b-A 所以, A为a,b的 等 差 中 项

本节课主要学习： 要点扫描 一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2

课后作业 如何解决 1+2+3+···+100=? 预习：等差数列的前n项和

1.已知a1=3,2an=Sn·Sn-1,求证：数列 是等差数列，并求出公差d. 课堂练习 课后作业 能力提升 1.已知a1=3,2an=Sn·Sn-1,求证：数列 是等差数列，并求出公差d.

an=a1+(n-1)d 由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*） a2-a1=d a2=a1+d 方法二 由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*） 可得: a2-a1=d a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a3-a2=d a4=a3+d=a1+3d a4-a3=d …… …… 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d an-an-1=d an=a1+(n-1)d 当n=1时，等式也成立。