（Chapter 7 Mechanics of a rigid body） 第七章 刚体力学 （Chapter 7 Mechanics of a rigid body） 前言 刚体运动的描述 刚体的动量和质心运动定理 刚体定轴转动的角动量 • 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理 刚体平面运动的动力学 刚体的平衡 自转与旋进

前 言 一、本章的基本内容及研究思路 前面几章讨论了质点和质点系的运动规律，本章将讨论具有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体的运动一般是较复杂的，它可以平移、转动，还可能发生形变。为了使问题简化，一般假定物体无论受多大外力或转动得多快都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学（对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力学时，设想将它分割成许多部分，每一部分都小到可看作质点，叫作刚体的“质元”，对于刚体，它的任意两质元之间的距离保持不变，因此，刚体就像是一个冻结的质点系，由于每个质元服从质点力学规律，由此出发，就能推演出刚体的运动规律。

二、本章的基本要求 三、本章的思考题及练习题 这是刚体力学研究的基本方法。 理解描写刚体定轴转动的物理量（角坐标、角位移、角速度和角加速度）并掌握角量与线量的关系； 理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量； 掌握刚体定轴转动的动力学规律； 了解刚体平面平行运动的特点。 三、本章的思考题及练习题 思考题：教材251--252 练习题：7.1.4 7.2.2 7.3.1 7.3.3 7.3.5 7.3.6 7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1

§1 刚体运动的描述 刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算完整描述了刚体的运动。 一、刚体的平动 如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞的往返等都是平动。 O

由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想到一个代表性的质元——质心。 二、刚体的转动 如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转动，这直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。 分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间

不同位置质元在 时间内的角位移 都相同，可见， 描述的是整个刚体转过的角度，故称为刚体转动的角位移。 z 的夹角θ就能完全确定在空间的位置， θ称为角坐标，规定逆时针方向转动的θ为正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转动的运动学方程。 转轴 P r x θ O 参考方向 转动平面 不同位置质元在 时间内的角位移 都相同，可见， 描述的是整个刚体转过的角度，故称为刚体转动的角位移。 式中 称为刚体转动角速度。面对 z 轴观察， ，刚体逆时针转动； ，刚体顺时针转动。

三、角速度矢量 式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。 式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。 注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 内走过的弧长虽不同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平面图很容易得到线量与角量的关系。 可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。 三、角速度矢量 对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转轴的方位，可以统一地用角速度矢量 来描述。 的大小是 ，

作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量： 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用 将刚体上任一质点 P 的速度 表示为 。 圆周运动中 与 的关系 原点不在圆心的情况 作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：

四、刚体的平面运动 角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为 其中 刚体作定轴转动时，可令 z 轴与转轴重合，则 ，故 。前文定轴转动中讲到的 和 正是这里的 与 ，它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转轴（即 z 轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影，均附以角标。 四、刚体的平面运动 刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面平行，称作刚体作平面运动，其特点是，刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状况都相同。根据此特点，可利用与

固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形。此平面图形的位置一经确定，刚体的位置便确定了。今后说到“刚体”的时候，其实指的就是剖面。在平面平行运动中，刚体内各点的位移、速度和加速度是各不相同的，因此根本谈不上什么刚体的位移、速度和加速度。应当将“刚体的运动”与“刚体内各点的运动”区分开来。 建立坐标系 O-xyz，使平面图形在Oxy面内，如图所示，z 轴与纸面垂直，在平面上任选一点B，称作基点，其位置矢量为 还不足以确定刚体位置，因平面图形还可绕B点转动。建立以基点B为原点，坐标轴与O-xyz系各相应轴保持平行的坐标系 。若能指出平面图形绕 B 点或刚体绕 轴转动的角坐标 ，即图中任意点 A 的位置矢量 与 轴的夹角，刚体位置便可

唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出 即需要三个标量函数才能描述刚体的平面运动， 与 反映任意选定的基点的运动， 刻划刚体绕通过基点轴的转动，在运动学中，基点的选择是任意的。 现在来研究刚体位置的改变。在时刻 t ，刚体的位置为 ABC；过了一些时间，到了 时刻，刚体的位置变为 。刚体位置的改变可以这样来描述：刚体先随基点A平动，位移为 ，再绕基点A转一定的角度 。

既然基点的选取是任意的，我们完全可以选取另一点，例如C，作为基点。刚体随 C 点平动，再绕 C 点转动。刚体随 C 点平动的位移 不同于它随 A 点平动的位移 ，刚体绕 C 转动的角度则同于刚体绕A转动的角度。就图而言，不论取 A 点或取 C 点为基点，刚体都是逆时针转90°。这是毫不奇怪的，不论随 A点平动或随 C 点平动，刚体都保持着原来的方位，将它从这种方位转到新的方位所需要转过的角度自然是一定的。 令 ，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚体随着基点 A 以速度 平动（ 即基点A的速度），并以角速 ω绕基点 A 转动，平动的速度 即基点的速度，与基点的选取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。 基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。 下面讨论作平面运动的刚体上任一点的速度，以 A 点为例：

此即作平面运动的刚体上任一点的速度公式。 在每一瞬时，刚体中总有这么一点，其即时速度为零。既然基点的选取是任意的，我们当然可以选速度为零的这一点C为基点，此时刚体的运动情况的描述颇为简便，其它各点只是简单绕这基点转动。C点称为瞬时转动中心，通过C点而垂直于所研究剖面的直线称为瞬时转动轴线。 怎样寻找瞬心？ 1、只要知道刚体内任意两点的瞬时速度的方向，即可找到瞬心； 2、有些情况，一眼就可看出。例如行驶中的轮轮，若不滑动，则轮的着地点的即时速度为零（如果不为零，则着地点必相对于地面滑动）。在每一瞬时，轮都是绕着其着地点转动。轮心的速度为 这就是滚动着的物体不“打滑”的运动学判据。

一、刚体的质心 对于质点系，我们已经知道其质心坐标为 转动中心也可能在刚体的外面，可这样理解：这个在刚体外面的瞬心好象刚性地联结于刚体，而刚体则瞬时地绕它转动。 §2 刚体的动量和质心运动定理 动量是物理学中重要的守恒量，现将它运用于刚体。质点系的动量可表示为 。刚体为不变质点系，此二式仍适用。但因刚体内任意二质点距离不变，故质心相对于刚体的位置亦不变，对刚体说，用 表示动量更方便。现在先研究刚体质心，再讨论有关动量的规律。 一、刚体的质心 对于质点系，我们已经知道其质心坐标为

对于刚体当然适用，一般而言，刚体的质量是连续分布的。 积分遍及刚体体积V， 分几种情况： 1、刚体具有对称中心，质心就是对称中心； 2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体的质心。

[例题] 在半径为R的均质等厚度的大圆板的一侧挖掉半径为 R/2 的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。 y [解] 建立如图所示的坐标系，考虑对称性，余下部分质心一定在 x 轴上，即 按第2种情况考虑：整体=阴影+小圆，得 O x [例题] 半圆形均匀薄板（半径为R），试求其质心所在。 x y R O [解] 建立如图所示的坐标系，由对称性可知 xc=0, yc=? 将半圆划分为许多平行于 x 轴的窄条，每一窄条中各点具有相同的 y ，阴影部分面积

质点组质心的位置完全可以不与组内任一质点的位置重合；刚体质心的位置也就完全可以不与刚体内任一质点的位置重合，换句话说：刚体的质心完全可以在刚体之外！（如右图所示） C1 C2 C 由以上例子可看出，求质心时需建立适当的坐标系，令坐标轴沿对称轴且令原点位于其中某一部分质心处往往带来方便。 二、刚体的动量与质心运动定理 质点系所受外力矢量和为零，则动量守恒。刚体受到的外力矢量和为零，动量当然也守恒，即 p = mvc = 恒矢量。 将质心运动定理用于刚体，亦有 表示外力矢量和，ac 为质心加速度。

§3 刚体定轴转动的角动量 • 转动动能 与转动惯量 §3 刚体定轴转动的角动量 • 转动动能 与转动惯量 一、刚体定轴转动对轴上一点的角动量 请大家现在阅读教材201-203页！ 动量总沿速度方向，而上例表明，当刚体绕固定轴转动时，刚体的角动量矢量并不一定沿角速度方向，它可能和角速度 成某一角度。从这两个最简单的例子推而广之，不难想到质量分布与几何形状有共同对称轴的刚体，当绕该对称轴转动时刚体对轴上任一点的角动量与角速度方向相同。但就一般情况，刚体定轴转动对轴上一点的角动量并不一定沿角速度 的方向，而是与之成一定夹角。

二、刚体定轴转动动能与转动惯量 整个刚体的动能是所有各质点的动能之和，即 括号内的量常用 I 来表示，叫做刚体对给定 z 轴的转动惯量。 通过上面讨论还知道：

与平动公式相比较，可知转动惯量相当于平动时的质量，是物体在转动中惯性大小的量度。 转动惯量定义式： 刚体的转动惯量决定于刚体各部分质量距转轴远近的分布情况。因此质量大的刚体不一定有较大的转动惯量，另外，就一定的刚体来说，对不同转轴，各质元距轴的距离不同，转动惯量也可能不同，因此，一谈到转动惯量，必先明确是哪一个刚体对哪一转轴的转动惯量。下面举几个简单而又非常重要的例子。 [例题] 均匀细棒绕垂直于通过质心转轴的转动惯量。 [解] 任取一质元 x dx l/2 O

[例题] 均匀薄圆环绕垂直于环面通过中心转轴的转动惯量。 [解] 由于所有质元都离轴等远 R [例题] 均匀圆盘绕垂直盘面通过中心转轴的转动惯量。 参考教材P204页，求得 此结论也适用于圆柱体。 注意：转动惯量是可加的。即刚体对某轴的转动惯量等于其各个部分对同一转轴转动惯量的和。这一点可从定义式直接看出来。

例如，求空心圆柱绕中心轴的转动惯量 = 大圆柱转动惯量 －小 圆柱转动惯量 = 教材224页表中结果要能推出并记住！ 以上例子中转轴都是通过刚体质心的对称轴，若转轴平移，转动惯量如何变化？下面两个定理对于转动惯量的计算往往很有帮助，特别是定理一。 [定理一]平行轴定理：设刚体绕通过质心转轴的转动惯量为 Ic ，将轴朝任何方向平行移动一个距离 d ，则绕此轴的转动惯量 ID为 ID=Ic+md2 [证] C D Ic ID d

[定理二]垂直轴定理：设刚性薄板平面为 xy 面，z 轴与之垂直，则对于任何原点O绕三个坐标轴的转动惯量分别为

三、刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 应用它很容易求出圆环或圆盘绕直径的转动惯量。 提一个问题：通过刚体中的某个点，可以引很多轴线，怎样求刚体对于通过某个点各根轴线的转动惯量？ 在理论力学中我们可以找到一个一般的公式——用到张量的概念。 三、刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 根据质点系对 z 轴的角动量定理及 刚体定轴转动对轴的角动量定理： ——用冲量矩表示的角动量定理 对一定轴线 I 为常量：

它表明：刚体绕固定轴转动时，刚体对该转动轴线的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于外力对此转动轴线的合力矩——刚体定轴的转动定理。 m1 m2 T1 T2 a1 a2 x [例题] 如图所示的装置叫做阿特伍德（Atwood）机，用一细绳跨过定滑轮，而在绳的两端各悬质量为 m1 和 m2 的物体，其中 m1>m2 ，求它们的加速度及绳两端的张力 T1 和 T2 ，设绳不可伸长，质量可忽略，它与滑轮之间无相对滑动；滑轮的半径为 R，质量为 m ，且分布均匀。 [解] 选取固定于地面的坐标系，令 x 轴坚直向上，取逆时针方向为正的转动方向。列运动方程式： mg N

由于绳子不可伸长且不打滑 ， 因不计绳的质量 上述方程联立求解可得： 本题有利于理解“理想滑轮”的条件。

[例题] 如图所示，一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后，棒的角速度 ，已知棒长为 l ，质量为 M. [解] 以 f 代表棒对子弹的阻力，对于子弹有 子弹对棒的反作用力 对棒的冲量矩为

R 思考题（一）： 1、此题可否用子弹和棒的总角动量守恒来作？ 2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？ 3、若将杆换成软绳系一质量为M的重物，在水平 方向上动量是否守恒？ 4、机械能是否守恒？ 思考题（二）： 若刚体车轮在地面上不作纯滚动，试判断轮与地面的滑动 摩擦力方向。设轮的半径、角速度和质心的速度分别为 R

§4 刚体定轴转动的动能定理 一、刚体的重力势能 §4 刚体定轴转动的动能定理 在某些问题中，应用动能定理及其在特殊情况下的表达式，即机械能守恒定律或功能原理，常使问题解决得简便迅速。 为了阐述的方便，与教材顺序不一样。 一、刚体的重力势能 当把刚体和地球视作一系统时，则可考虑该系统的重力势能或简称刚体的重力势能 = 各质元重力势能之和。 ——它决定于刚体质量和其质心距离势能零点的高度，亦即，相当于总质量 m 集中在质心 C 的高度 yc 上。

二、刚体的动能 三、力矩的功 刚体绕固定轴转动的动能等于刚体对此轴的转动惯量与角 速度平方乘积之半。 刚体绕固定轴转动的动能等于刚体对此轴的转动惯量与角 速度平方乘积之半。 三、力矩的功 设 是作用在质元 上的外力，则在时间间隔 内，外力对定轴转动刚体所作的元功为 由于功是用力矩和角位移表示，所以叫力矩的功，本质上仍然是力作功，是在刚体转动情况下力作功的表现形式。

四、刚体定轴转动的动能定理 将质点系动能定理 应用于刚体定轴转动，由于刚体内力作功的代数和为零，即得刚体定轴转动的功能定理 将质点系动能定理 应用于刚体定轴转动，由于刚体内力作功的代数和为零，即得刚体定轴转动的功能定理 刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和，这就是刚体定轴转动的动能定理。 [例题] 长为 l 的均匀细杆，绕过其一端 O 并与杆垂直的水平轴转动。设杆从水平位置由静止释放，求当杆与水平线成 角时，杆的质心的速度，设转轴光滑。 [解]解法一：应用刚体定轴转动的动能定理 以杆为研究对象，它受到重力 mg 和转轴的作用力 N 。由

于转轴光滑，N不作功，所以只有 mg 作功。当杆从水平位置落至题设的位置时，重力作功为 O N 在此期间，杆的动能的增量 由动能定理 质心的速度为

解法二：应用刚体定轴转动的机械能守恒定律 以杆和地球为一系统。 由于轴光滑，使作用于杆的外力N不作功，而地球和杆的相互作用力为保守内力，所以杆的机械能守恒。选择水平位置为杆的势能零点，开始时 至杆与水平线夹角为 时 所以

[例题] 如图所示，一匀质细棒可绕水平轴 O 转动，已知棒长为 l ，质量为 m ，开始时将棒置于水平状态，然后由静止摆下，求棒摆到竖直的瞬间： （1）棒的角速度； （2）棒的转动动能； （3）质心的加速度（不计摩擦阻力）。 c O Fy Fx c O

[解] （1）棒的角速度 对转轴 O ，细棒除受重力矩外不受其他外力矩（O 轴上的反力通过轴），故细棒的机械能守恒。 设细棒在水平位置时的重力势能为势能零点，则总机械能 细棒摆到竖直位置时的角速度设为 ，则机械能

（2）棒的转动动能 必须注意，在这里不能把棒的动能写成 （3）质心的加速度 由线量和角量的关系可算出 又因棒在竖直位置时的角加速度 ，故

还可以由质心运动定律求出棒在竖直位置时，O 轴对棒的反力 Fx 和 Fy： 思考题： 利用刚体力学知识简要分析花样滑冰、跳水运动过程

§5 刚体平面运动的动力学 一、刚体平面运动的基本动力学方程 在运动学，可将刚体平面运动视作随任意选定的基点的平动和绕基点轴的转动。讨论动力学问题时，这基点选在质心上，以便应用质心运动定理和对质心的角动量定理。 在惯性系中建立直角坐标系 O-xyz，Oxy坐标平面与讨论刚体平面运动时提到的固定平面平行。又选择刚体质心为坐标原点，建立质心坐标系 ，二坐标系对应的坐标轴始终两两平行。一般说来，质心作变速运动，故质心系为平动的非惯性系。图中，两坐标标系的 z 和 轴均与纸面垂直且指向读者。 首先，在 O 系中对刚体应用质心运动定理， （1）

m 为刚体的质量。设作用于刚体的力均在 Oxy 坐标面内，得投影式 C （2） 再从 C 系研究刚体绕 轴的角动量对时间的变化率。将它投影于 轴，得 （3） 将它应用于刚体，刚体对 轴角动量对时间的变化率即 和 分别表示刚体对质心轴的转动惯量和角加速度。于是有 （4） 即作用于刚体各力对质心轴的合力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，这与惯性系中刚体定轴转动定理有完全

二、作用于刚体力的力（自学） 三、刚体平面运动的动能 相同的形式，叫作刚体对质心轴的转动定理。 （1）式给出了刚体随质心平动的动力学，（3）式描述刚体绕质心轴转动的动力学。两者合在一起称刚体平面运动的基本动力学方程。 二、作用于刚体力的力（自学） 产生两种效果：使质心作加速运动，使刚体产生角加速度。由此可判断作用于刚体的力是滑移矢量。 力偶和力偶矩。 三、刚体平面运动的动能 按克尼希定理，质点组的总动能 Ek 等于相对于质心系的动 能 ，加上整体随质心平动的动能 。

[例题] 如图所示，将一根质量为 m 的长杆用细绳从两端水平地挂起来，其中一根绳子突然断了，另一根绳内的张力是多少？ [解] 设杆长为2l ，质心运动定理和角动量定理给出绳断的一刹那的运动方程： 式中转动惯量 。因在此 时刻悬绳未断的一端加速度为0，从而在质心的加速度和角加速度之间有

[解] 由机械能守恒知，当杆与铅直线成 角时， 如下关系： 得绳中张力 [例题] 一质量为 m，长为 l 的匀质细杆，铅直地放置在光滑的水平地面上。当杆自静止倒下时，求地面对杆端的支撑力。 [解] 由机械能守恒知，当杆与铅直线成 角时， C N mg 由于没有摩擦力，质心 C 铅直下落。考察细杆着地点 A 的运动。它的运动可看成一方面随质心以速度 vc下

降，另一方面又以线速度 绕质心转动。后者在铅直方向上 的分量为 ，方向向上。实际上 A 点的运动限制在水平 面上，铅直速度为0，即上述两个铅直速度应相互抵消。故有

A 端受地面的支撑力为

§6 刚体的平衡（自学） §7 自转与旋进（自学） §6 刚体的平衡（自学） §7 自转与旋进（自学） 前面我们讨论的是刚体的定轴转动和平面平行运动。而刚体绕定点的运动一般是非常复杂的，在这里我们只就典型例子作些简单的分析。 由于现在并不是绕固定轴的转动，我们应当用转动方程作为研究的起点， 即 质点系对于参考点O的角动量随时间的变化率等于各质点所受外力对该点力矩的矢量和。 一、常平架回转仪（不受外力矩的回转运动） 均质刚体绕几何对称轴的转动，称自转或自旋，其角动量

二、回转仪的旋进（受到外力矩作用所产生的效应） 为 。若丝毫不受外力矩作用，则角动量守恒不仅表现为转动快慢不变，也表现为角速度方向不变。因角速度沿转轴，故角动量守恒也表现于转轴不变方向。常平架回转仪利用了这一道理。若先使飞轮高速旋转，由角动量守恒可知，飞轮将保持自转轴的方向不变。即这时无论我们怎样去改变框架的方向，都不能使飞轮的转轴在空间的取向发生变化，利用这一特性，可应用在轮船，飞机或导弹上，以回转仪自转轴线方向为标准，加上控制设备可以随时纠正运行方向可能发生的偏离。 二、回转仪的旋进（受到外力矩作用所产生的效应） 由一个厚而重、形状对称的刚体绕对称轴高速自转的装置称为回转仪。 玩具陀螺是一种简单的回转仪，下面解释为什么高速旋转的陀螺能够立而不倒(或产生进动的原因)？

如图所示的玩具陀螺，如果陀螺不绕自身对称轴旋转，则它将在其自重力对支点 O 的力矩作用下翻倒，但是当陀螺以很高的转速绕自身对称轴旋转（自转或自旋）时，尽管陀螺仍然受重力矩的作用，陀螺却不会翻倒，而是在自转的同时，其自转轴又绕通过定点 O 的竖直轴沿着虚线所示的 L C mg O 锥面缓慢转动。这种刚体绕自身对称轴高速旋转时，其自转轴绕另一竖直轴的缓慢转动称为旋进（又称进动）。 下面利用角动量定理对陀螺的进动作简单分析。设陀螺自转角速度大小为 ，自转轴的旋进角速度大小为 ，陀螺对定点 O 的角动量 = 自转角动量 + 进动角动量。 式中 Ic是陀螺相对于自转轴的转动惯量，L 与 同方向，是沿

自转轴的， 陀螺受到的重力矩为 是质心 C 相对定点 O 的位矢， 方向垂直于 、mg 组成的平面，显然也垂直于角动量 L ，对于定点 O 应用 可见在极短时间 dt 内，角动量增量 也垂直于 L ，这表明，在 dt 时间内，重力矩 未改变角动量 L 的大小而只改变了 L 的方向，使 L 绕竖直轴转过于 角，由于 与 L 时刻保持垂直，故 L 方向不断发生改变，以致迫使陀螺的自转轴产生绕竖直轴的进动。

由上式可知，若陀螺自转角速度 保持不变，则旋进角速度 也应保持不变。实际上由于各种摩擦阻力矩的作用，将使 不断减小，与此同时 将逐渐增大，旋进将变得不稳定，最后会倒下来。 教材228页的杠杆陀螺仪，当它的自转轴正在进动的时侯，若我们加一水平力于杠杆之上，企图加速它的进动，结果杠杆又出乎意料地向下偏转。就这样，给陀螺仪铅直方向的力，结果它沿水平方向运动，而给水平方向的力，结果它沿铅直方向运动。陀螺仪的这种“不听话”的运动规律，同样可以利用角动量和力矩的矢量性来说明。请同学们思考！

三、章动 高速旋转的物体在外力矩作用下产生旋进效应（又称回转效应）有着十分广泛的应用。 陀螺仪“不屈服”于重力的作用而倾倒，无论怎样分析，总让人感到有点不自在。实际上它也不是完全不屈服。如图所示，如果先把一个快速旋转的陀螺仪两端都支撑起来，然后撤去一 端（A 点）的支持，首先出现的现象是这一端确实下沉。然而，此后就立刻在水平面内进动了，与此同时下沉运动放慢，直到A 点完全沿水平方向运动。但事情并不就此了结， 紧接着出现的是进动放慢，A 点重新 A O

抬起，在理想的情况下可以达到它的初始高度。这样的过程周而复始地继续下去，端点A 描绘出如图中所示的摆线轨迹。陀螺的这种运动叫做章动（nutation），拉丁语中是“点头”的意思。 地轴除进动外，也有章动。地轴的章动是英国天文学家布拉得雷（J.Bradley）于是1748年分析了20年的观测资料后发现的。地轴章动的周期为18.6年，近似地说，就是19年。在我国古代历法中把19年称为一“章”，这便是中译名“章动”的来源。