2. 压力容器应力分析 应力的概念 应力分析的目的 应力分析的方法

压力容器受到介质压力、支座反力等多种载荷的作用。 确定全寿命周期内压力容器所受的各种载荷，是正确设计压力容器的前提。 分析载荷作用下压力容器的应力和变形，是压力容器设计的重要理论基础。 载荷 失效 压力容器 应力、应变的变化

2、压力容器应力分析 2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工况 ●2.1 载荷分析 2.2.1 薄壳圆筒的应力 ●2.2 回转薄壳应力分析 ●2.1 载荷分析 2.2.1 薄壳圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析 ●2.2 回转薄壳应力分析 ●2.3 厚壁圆筒应力分析 ●2.4 平板应力分析 ●2.5 壳体的稳定性分析 ●2.6 典型局部应力

2.1.1 载荷 压力（包括内压、外压和液体静压力） 载荷 重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 支座反力 吊装力 2.1.1 载荷 压力（包括内压、外压和液体静压力） 载荷 重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 支座反力 吊装力 整体载荷 非压力载荷 局部载荷

静载荷：大小和方向基本上不随时间变化 交变载荷：大小和/或方向随时间变化 压力容器交变载荷的典型实例： 间歇生产的压力容器的重复加压、减压； 由往复式压缩机或泵引起的压力波动； 生产过程中，因温度变化导致管系热膨胀或收缩，从而引起接管上的载荷变化； 容器各零部件之间温度差的变化； 装料、卸料引起的容器支座上的载荷变化； 液体波动引起的载荷变化； 振动（例如风诱导振动）引起的载荷变化。

2.1.2 载荷工况 a.正常操作工况： 容器正常操作时的载荷包括：设计压力、液体静压力、重力载荷(包括隔热材料、衬里、内件、物料、平台、梯子、管系及支承在容器上的其他设备重量)、风载荷和地震载荷及其他操作时容器所承受的载荷。 b. 特殊载荷工况 特殊载荷工况包括压力试验、开停工及检修等工况。 制造完工的容器在制造厂进行压力试验时，载荷一般包括试验压力、容器自身的重量。 开停工及检修时的载荷主要包括风载荷、地震载荷、容器自身重量，以及内件、平台、梯子、管系及支承在容器上的其他设备重量

c.意外载荷工况 紧急状况下容器的快速启动或突然停车、容器内发生化学爆炸、容器周围的设备发生燃烧或爆炸等意外情况下，容器会受到爆炸载荷、热冲击等意外载荷的作用。

小结 压力载荷 非压力载荷 交变载荷 内压 外压 内外压 重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 载荷变化 （大小 方向） 2.1 载荷分析 过程设备设计 小结 压力载荷 非压力载荷 交变载荷 内压 外压 内外压 重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 载荷变化 （大小 方向） 循环次数 通常要考虑 部分要考虑 具体情况考虑

2.2 回转薄壳应力分析 2.2.1 薄壳圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析

几个概念 壳体： 以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向 尺寸小得多的构件。 壳体中面： 与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。 薄壳： 壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。 薄壁圆柱壳或薄壁圆筒： 外直径与内直径的比值Do/Di≤1.2。 厚壁圆筒： 外直径与内直径的比值Do /Di≥1.2 。

2.2 回转薄壳应力分析 基本假设： 2.2.1 薄壳圆筒的应力 壳体材料连续、均匀、各向同性； 受载后的变形是弹性小变形； 壳壁各层纤维在变形后互不挤压； 应力沿壁厚方向均匀分布。

2.2.1 薄壳圆筒的应力 A Di Di D Do 图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力

因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ 轴向：经向应力或轴向应力σφ B点 内压P 圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ 壁厚方向：径向应力σr σθ 、σφ >>σr 三向应力状态 二向应力状态 因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ

如何求壳体上的应力？ 截面法 s j q p a (a) (b) y x Di t

轴向平衡 横截面 外力 内力 = = =

圆周平衡 单位长度，纵截面 外力 = 内力

此结论有什么工程指导意义？

2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 （1）、回转薄壳的几何要素 回转薄壳： 中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成。 母线： 绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线。 极点： 中面与回转轴的交点。 经线平面： 通过回转轴的平面。 经线： 经线平面与中面的交线。 平行圆： 垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。

过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与 回转轴相交。 中面法线： 过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与 回转轴相交。 第一主曲率半径R1： 经线上点的曲率半径。 垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径。 等于考察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B） 第二主曲率半径R2： 平行圆半径r： 平行圆半径。

同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。 曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 r=R2sin

过程设备设计 二、无力矩理论与有力矩理论 N 力的方向 所在面的法向 图2-4 壳中的内力分量

无力矩理论或 薄膜理论（静定） 薄膜内力 Nφ、Nθ、Nφθ、Nθφ 内力 Qφ、Qθ 横向剪力 有力矩理论或 弯曲理论 （静不定） 弯曲内力 Mφ、Mθ、 Mφθ、Mθφ、 弯矩扭矩 无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。

σφ σθ 求解思路 2.2.3 无力矩理论的基本方程 取微元 力分析 法线方向：内力=外力 微元平衡方程 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.3 无力矩理论的基本方程 求解思路 取微元 力分析 法线方向：内力=外力 微元平衡方程 取区域 力分析 轴线方向：内力=外力 区域平衡方程 σφ σθ

2.2.3 无力矩理论的基本方程 一、壳体微元及其内力分量 a b c d 微元体： 经线ab弧长： 截线bd长： 微元体abdc的面积： 压力载荷： 微元截面上内力： （ ） ） = （= ）

= + 2.2.3 无力矩理论的基本方程（续） 二、微元平衡方程（图2-5） 目标 经向方向上的力在法线上的投影 微元上承受的压力 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.3 无力矩理论的基本方程（续） 二、微元平衡方程（图2-5） 目标 经向方向上的力在法线上的投影 微元上承受的压力 = + 周向方向上的力在法线上的投影

由图2-5（c）知，经向内力N φ和N φ+d N φ在法线上分量： 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.3 无力矩理论的基本方程（续） 二、微元平衡方程（图2-5） 1. 经向力N φ在法线上的投影 由图2-5（c）知，经向内力N φ和N φ+d N φ在法线上分量： 将 代入上式，并略去高阶微量 ， （a）

由图2-5（d）中ac截面知，周向内力在平行圆方向的分量为 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.3 无力矩理论的基本方程（续） 二、微元平衡方程（图2-5） 2. 周向力N θ在法线上的投影 （1）投影在平行圆方向 由图2-5（d）中ac截面知，周向内力在平行圆方向的分量为 （2）将上面分量投影在法线方向得： （b）

2.2.3 无力矩理论的基本方程（续） 二、微元平衡方程（图2-5） 令 微体法线方向的力平衡 （2-3） 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.3 无力矩理论的基本方程（续） 二、微元平衡方程（图2-5） 令 微体法线方向的力平衡 （2-3） ■微元平衡方程。又称拉普拉斯方程。

2.2 回转薄壳应力分析 2.2.3 无力矩理论的基本方程 三、区域平衡方程（图2-6） 图2-6 部分容器静力平衡

三、区域平衡方程（图2-6）（续） 压力在0-0′轴方向产生的合力： 作用在截面m-m′上内力的轴向分量： 区域平衡方程式： （2-4） 通过式（2-4）可求得 ，代入式(2-3)可解出 微元平衡方程与区域平衡方程是无力矩理论的两个基本方程。

无力矩理论的基本方程 （2-3） （2-4）

1、材料种类对回转薄壳无力矩理论有没有影响？ 讨论 1、材料种类对回转薄壳无力矩理论有没有影响？ 2、在微元截取时，能否用两个相邻的垂直于轴线的横截面代替教材中与经线垂直、同壳体正交的圆锥面？

◇分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用 ◇分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： 球形壳体 薄壁圆筒 承受气体内压的回转薄壳 锥形壳体 椭球形壳体 圆筒形壳体 储存液体的回转薄壳 球形壳体

回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为： 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） 一、承受气体内压的回转薄壳 回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为： 由式（2-4）得： （2-5） 将式（2-5）代入 式（2-3）得： （2-6）

球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等， 即R1=R2=R 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） a. 球形壳体 球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等， 即R1=R2=R 将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得： （2-7）

薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍 2.2.4 无力矩理论的应用（续） b. 薄壁圆筒 薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） b. 薄壁圆筒 薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为 R1=∞；R2=R 将R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得： （2-8） 薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍

2.2.4 无力矩理论的应用（续） 图2-7 锥形壳体的应力 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） c. 锥形壳体 R1= 式（2-5）、（2-6） （2-9） 图2-7 锥形壳体的应力

①周向应力和经向应力与x呈线性关系，锥顶处应力为零， 离锥顶越远应力越大，且周向应力是经向应力的两倍； 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） 由式（2-9）可知： ①周向应力和经向应力与x呈线性关系，锥顶处应力为零， 离锥顶越远应力越大，且周向应力是经向应力的两倍； ②锥壳的半锥角α是确定壳体应力的一个重要参量。 当α 0 °时，锥壳的应力 圆筒的壳体应力。 当α 90°时，锥体变成平板，应力 无限大。

2.2.4 无力矩理论的应用（续） 图2-8 椭球壳体的尺寸 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） d. 椭球形壳体 图2-8 椭球壳体的尺寸

2.2.4 无力矩理论的应用（续） 椭圆曲线方程 R1和R2 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） 推导思路： 式（2-5）（2-6） 椭圆曲线方程 R1和R2 （2-10） 又称胡金伯格方程

图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） 图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律

①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。 在壳体顶点处（x＝0，y＝b） 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） 从式（2-10）可以看出： ①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。 在壳体顶点处（x＝0，y＝b） R1＝R2＝ ， ②椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴 之比a／b有关 a＝b时，椭球壳 球壳，最大应力为圆筒壳中 的一半， a／b ， 椭球壳中应力 ，如图2-9所示。

③椭球壳承受均匀内压时，在任何a／b值下， 恒为正值，即拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐 递减至最小值。 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） ③椭球壳承受均匀内压时，在任何a／b值下， 恒为正值，即拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐 递减至最小值。 当 时，应力 将变号。从拉应力变为压应力。 随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲。 措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状加强构件。

④工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2。 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） ④工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2。 的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反， 即顶点处为 ，赤道上为 - ， 恒是拉伸应力，在顶点处达最大值为 。

作业： 1、分别写出圆柱壳、球壳、圆锥壳的曲率半径及平行圆半径表达式。 2、写出承受气压时，无力矩理论的基本方程表达式；并分别求圆柱壳、球壳、圆锥壳的薄膜应力（写出表达式）。 3、椭球壳的薄膜应力分布有什么特点？标准椭圆形封头的应力分布有什么特点？ 4、几何条件相同、承受载荷相同、材料不同的容器，壳体上的应力分布及大小是否相同？ 为什么？

2.2.4 无力矩理论的应用（续） p 0 图2-10 储存液体的圆筒形壳体 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） 二、储存液体的回转薄壳 A R t H χ p 0 与壳体受内压不同，壳壁 上液柱静压力随液层深度 变化。 a. 圆筒形壳体 图2-10 储存液体的圆筒形壳体

作垂直于回转轴的任一横截面，由上部壳体轴向力平衡得： (2-11b)

1、若支座位置不在底部，应分别计算支座上下的轴向应力，如何求？ 2、若容器是敞口的，应力有什么变化？ 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） 筒壁上任一点A承受的压力: 由式（2-8）得 (2-11a) 思考： 1、若支座位置不在底部，应分别计算支座上下的轴向应力，如何求？ 2、若容器是敞口的，应力有什么变化？

2.2.4 无力矩理论的应用（续） 图2-11 储存液体的圆球壳 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） b. 球形壳体 rm  0 R t -0 图2-11 储存液体的圆球壳

2.2.4 无力矩理论的应用（续） 当 式(2-4) （2-12a） 式(2-3) （2-12b） ： 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） ： 当 式(2-4) （2-12a） 式(2-3) （2-12b）

2.2.4 无力矩理论的应用（续） （2-13b） ： 当 式(2-4) 式(2-3) （2-13a） 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 2.2.4 无力矩理论的应用（续） （2-13b） ： 当 式(2-4) 式(2-3) （2-13a）

比较式（2-12）和式（2-13）， 支座处(=0)： 和 不连续， 突变量为： 这个突变量，是由支座反力G引起的。 支座附近的球壳发生局部弯曲，以保持球壳应力与位移的连续性。因此，支座处应力的计算，必须用有力矩理论进行分析，而上述用无力矩理论计算得到的壳体薄膜应力，只有远离支座处才与实际相符。

2.2.4 无力矩理论的应用 三、无力矩理论应用条件 ① 壳体的厚度、中面曲率和载荷连续，没有突变，且构成壳 体的材料的物理性能相同。 ② 壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭矩作用。 ③ 壳体的边界处的约束可沿经线的切线方向，不得限制边界处的转角与挠度。 对很多实际问题：无力矩理论求解 ╬ 有力矩理论修正

作业 p.75 习题1、习题2、习题4

2.2.5 回转薄壳的不连续分析 一、不连续效应与不连续分析的基本方法 二、圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解 三、一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解 四、组合壳不连续应力的计算举例 五、不连续应力的特性

一、不连续效应与不连续分析的基本方法 图2-12 组合壳

1、不连续效应 实际壳体是由球壳、圆柱壳、平板等基本壳体组合而成 在基本壳体连接处不满足无力矩理论的适用条件 基本壳体在连接处保持变形连续 周向应力 经向应力 切应力 有力矩理论 材料力学方法 剪力 弯矩

由于结构不连续，组合壳在连接处附近的局部区 域出现衰减很快的应力增大现象，称为“不连续 效应”或“边缘效应”。 不连续效应: 不连续应力: 由此引起的局部应力称为“不连续应力”或“边缘 应力”。分析组合壳不连续应力的方法，在工程 上称为“不连续分析”。

+ = 2、不连续分析的基本方法 边缘问题求解 （边缘应力） （一次薄膜应力） （二次应力） 有力矩理论 变形协调方程 薄膜解 （一次薄膜应力） 弯曲解 （二次应力） + = 有力矩理论 （静不定） 变形协调方程 以图2-13（c）和(d)所示左半部分圆筒为对象， 径向位移w以向外为负，转角以逆时针为正。

图2-13 连接边缘的变形

二、圆柱壳受边缘力和边缘力矩作用的弯曲解 推导基本微分方程 （载荷作用下变形微分方程） 微分方程通解 由边界条件确定积分常数 边缘内力 边缘应力 分析思路：

轴对称加载的圆柱壳有力矩理论基本微分方程为： 1、求解基本微分方程 轴对称加载的圆柱壳有力矩理论基本微分方程为： (2-16) 式中 壳体的抗弯刚度， w ─ 径向位移； 单位圆周长度上的轴向薄膜内力， 可直接由圆柱壳轴向力平衡关系求得； 所考虑点离圆柱壳边缘的距离；

对于只受边缘力Q0和M0作用的圆柱壳， p=0， =0，于是式(2-16)可写为： (2-19)

2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 由圆柱壳有力矩理论，解出 后可得内力为： (2-17)

式中 ─单位圆周长度上的周向薄膜内力； ─单位圆周长度上横向剪力； ─单位圆周长度上的轴向弯矩； ─单位长度上的周向弯矩。 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 式中 ─单位圆周长度上的周向薄膜内力； ─单位圆周长度上横向剪力； ─单位圆周长度上的轴向弯矩； ─单位长度上的周向弯矩。

上述各内力求解后，按材料力学方法计算各应力分量。 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 上述各内力求解后，按材料力学方法计算各应力分量。 薄膜内力引起的薄膜应力—— 相当于矩形截面的梁(高为t，宽为单位长度)承受轴向载荷所引起的正应力，这一应力沿厚度均匀分布 圆柱壳弯曲 问题中的应力 弯曲应力——包括弯曲内力在同一矩形截面上引起的沿厚度呈线性分布的正应力和抛物线分布的横向切应力

2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 圆柱壳轴对称弯曲应力计算公式为 z─离壳体中面 的距离

2、求微分方程的解 齐次方程(2-19)通解为： (2-20) 式中C1、C2、C3和C4为积分常数，由圆柱壳两端边界条件确定。 当圆柱壳足够长时，随着x的增加，弯曲变形逐渐衰减以至消 失，因此式(2-20)中含有 项为零，亦即要求C1＝C2＝0， 于是式(2-20)可写成： (2-21)

圆柱壳的边界条件为： ， 利用边界条件，可得 表达式为： (2-22) 最大挠度和转角发生在 的边缘上 (2-23)

其中

3、求内力 （2-24）

4、求应力

横向切应力与正应力相比数值较小，故一般不予计算。 （2-18） 显然，正应力的最大值在壳体的表面上( )， 2.2 回转薄壳应力分析 过程设备设计 横向切应力与正应力相比数值较小，故一般不予计算。 （2-18） 干 Nθ 显然，正应力的最大值在壳体的表面上( )， 横向切应力的最大值发生在中面上( )，即

三、一般回转壳受边缘力和边缘力矩的弯曲解 一般回转壳受边缘力和边缘力矩作用，引起的内力和变形的求解，需要应用一般回转壳理论。 有兴趣的读者可参阅文献[10]第373页至407页。

四、组合壳不连续应力的计算举例 现以圆平板与圆柱壳连接时的边缘应力计算为例，说明边缘应力计算方法。 图2-14 圆平板与圆柱壳的连接

圆平板：若板很厚，可假设连接处没有位移和转角，即 圆柱壳：边缘力和边缘力矩引起的变形可按式（2-23）计算。 内压p引起的变形为

根据变形协调条件，即式（2-15）得： 将位移和转角代入上式，得：

可见，与厚平板连接的圆柱壳边缘处的最大应力为壳体内表面的轴向应力，远大于远离结构不连续处圆柱壳中的应力。 解得： 利用式(2-8)、式(2-18)和式(2-24)，可求出圆柱壳中最大经向应力和周向应力为 可见，与厚平板连接的圆柱壳边缘处的最大应力为壳体内表面的轴向应力，远大于远离结构不连续处圆柱壳中的应力。

五、不连续应力的特性 局部性 自限性 1、局部性： 随着离边缘距离x的增加，各内力呈指数函数迅速衰减 以至消失，这种性质称为不连续应力的局部性。

五、不连续应力的特性 例如，当 时，圆柱壳中纵向弯矩的绝对值为 已衰减掉95.7%； 一般钢材： 则 多数情况下： 与壳体半径R相比是一个很小的数 字，这说明边缘应力具有很大的局部性。

2、自限性： 不连续应力是由弹性变形受到约束所致，因此对于 用塑性材料制造的壳体，当连接边缘的局部区产生塑变 形，这种弹性约束就开始缓解，变形不会连续发展，不 连续应力也自动限制，这种性质称不连续应力的自限 性。

六、不连续应力的工程处理 脆性材料、受疲劳载荷 或低温载荷 塑性材料、受静载荷 设计中一般不作具体计算，仅采取结构上作局部处理，以限制其应力水平。 对过高的不连续应力十分敏感，可能导致疲劳失效或脆性破坏。 设计中按有关规定计算并限制不连续应力。