§1体积求法 一、旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积 三、小结
一、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台
由连续曲线 yf (x)、直线 xa 、ab 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 旋转体： 由连续曲线 yf (x)、直线 xa 、ab 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 O x b a y yf (x) 讨论： 旋转体的体积怎样求？ 答案：
x y o 旋转体的体积为
曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积： 分别绕x轴与y轴旋转产生的 旋转体的体积。 x y O a b 解：椭圆绕 x 轴旋转产生 的旋转体的体积： 下页
解 直线 方程为
解
解
补充 利用这个公式，可知上例中
解 体积元素为
二、已知平行截面面积的立体的体积 设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 (1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< <xn-1<xn=b， a b x O x1 xi-1 xi xn
(2)过xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。 (3)令l=max{Dxi}，则立体体积为
二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积
解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积
解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积
例8 解： 交点 立体体积
三、小结 绕 轴旋转一周 旋转体的体积 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 平行截面面积为已知的立体的体积