第四章 数字滤波器的基本结构(3)

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 (1) 系统的单位冲激响应h(n)是有限长的，即只在有限个n值处不为0； (2) 系统函数H(z)在|z|>0处收敛，在|z|>0处只有零点，对于因果系统，全部极点均位于z=0处； (3) 结构上主要采用非递归结构，即没有输出到输入的反馈，当然利用零极点相互抵消的办法，也可以采用递归结构（如频率抽样结构）； (4) 便于实现线性相位滤波器。 下面介绍主要的几种实现FIR滤波器的基本结构

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 一、直接型 对于FIR滤波器，它的直接型结构可以从下面卷积公式直接推导出来 (4-6) 由（4-6）式可知，n时刻的输出y(n)仅与n时刻的输入以及过去N-1个输入值有关，可直接画出其结构如下图 x(n) y(n) h(0) h(1) h(2) h(3) h(N-1) h(N-2) 图 16

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 x(n) y(n) h(N-1) h(N-2) h(N-3) h(N-4) h(0) h(1) 直接转置型 图17

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 二、级联型 将H(z)分解为二阶因式的乘积形式，称之为级联型结构 表示取整，式中若N为偶数， 则系数2k中有一个为0，相当于N为偶数时，H(z)有奇数个实根。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 x(n) y(n) 图 18 级联型的每级对应一组由 参数决定的零点

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 在许多实际应用，如图像处理中，要求数字滤波器具有线性相位 具有线性相位特性的滤波器传输函数H(ej)为 式中()=- 为滤波器的相位响应函数，是的线性函数（即线性相位特性） 是滤波器的幅度响应函数，是的实函数。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 如果FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为实数 ，且满足如下条件 (4-7) +号代表偶对称，-号代表奇对称。 则此时的FIR滤波器是线性相位的。 （4-7）式说明h(n)对(N-1)/2是偶对称或奇对称的。 下面从上式出发推导线性相位FIR滤波器结构 设 h(n)=h(N-n-1), N取偶数

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 令 M=N-1-n ，得 将(4-7)式关系代入上式，得 (4-8)

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 设 h(n)=h(N-1-n) ，N取奇数 令 m=N-1-n，得

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 将(4-7)式关系代入上式，得 (4-9) (4-8)(4-9)式中+号代表偶对称，-号代表奇对称。 当h(n)奇对称时，由于 下面的图19、图20分别画出N为偶数和N为奇数时的线性相位FIR滤波器的结构。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 x(n) y(n) 图 19 N取偶数线性相位FIR滤波器结构

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 x(n) y(n) 图 20 N取奇数线性相位FIR滤波器结构

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 上述两图中， ① h(n)偶对称时取+1 ，h(n)奇对称时候取-1 。 ② 线性相位FIR滤波器结构比一般直接型结构可节省一半数量的乘法次数。 线性相位FIR滤波器的零点分布特点 当h(n)=h(N-1-n)时， (4-10) 令 m=N-1-n

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 当 h(n)=-h(N-1-n)时，同理可得 (4-11) 由(4-10)、(4-11)式可知线性相位的FIR滤波器的系统函数具有如下的零点分布特点。 ① 若z=zi 是零点，H(zi)=0 ，则它的倒数z=zi-1也必定是零点。 这是因为 ② 由于h(n)是实数，故H(z)的零点必须以共轭对出现，所以 也一定是零点。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 这种互为倒数的共轭对有以下几种可能的情况： ① zi既不在实轴上又不在单位圆上，此时必然是四个互为倒数的两组共轭对 （图21中的 ）； ② zi 是单位圆上的复零点，其共轭倒数就是其本身。 （图21中的 ） ③ zi 是实数又不在单位圆上，其共轭也就是zi 本身 （图21 中的 ）

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 图 21 ④ zi 是实数又在单位圆上，则四点合一（图21 中的z4）。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 四、频率抽样型结构： 回顾第二章中讲过的频域抽样定理：把一个N点有限长序列的z变换H(z)在单位圆上作N等分抽样，得到 ， 其主值序列就是h(n)的离散傅里叶变换H(k) 。 根据抽样定理，用H(k)表示H(z)的内插公式为 式（4-12）为我们提供了一种实现FIR滤波器的结构 (4-12)

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 令 则（4-12）式可写成： 上式表明H(z)可看成是由 两部分级 (4-13) 联而成，其中的HC(z)为一全零点网络，其零点为

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 显然这些零点是等间隔分布在z平面单位圆上的，其频率响应为

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 其零点分布图和幅频特性如下图： 图 22 通常把具有图22特点幅频相应曲线的滤波器称为梳状滤波器

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 由式（4-13）可知，在HC(z)后级联的是一个具有N条分支的并联网络，该并联网络的任一支路HK(z)均是具有反馈支路的一阶网络，其极点为zk=WN-k 共有N条并联支路，故H(z)包含N个等间隔分布在单位圆上的极点，而这些极点正好与HC(z)的N个零点相互抵消，因而保证了FIR滤波器的稳定性。 另，在抽样点 上， ，即 在抽样点上，频响特性等于频率采样值H(k)（根据频率抽样定理）。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 x(n) y(n) H(1) H(N-1) 图 23

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 频率抽样结构的主要优点： (1) 在频率抽样点k，有H(ejk)=H(k) 只要调整H(k) [即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数]，就可以有效地调整FIR滤波器的频响特性，使实际调整方便。 (2) 只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其HC(z)部分和任一Hk(z)的结构完全相同，所不同的仅是各支路增益H(k)。因此相同部分便于标准化、模块化。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 频率抽样结构的主要缺点： (1) 系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点相互抵消保持的，实际上，寄存器都是有限长度的，这样有限字长效应可能使零极点不能完全抵消，从而影响系统的稳定性 (2) 结构中H(k)和WN-k一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是比较麻烦的 针对上述缺点，可采取一定的措施对图23结构予以修正，以减小这些不利因素 （1）将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩至半径为r的圆上，取r<1且 , 此时H(z)为

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 (4-14) 其中Hr(k)表示在r圆上对H(z)的N等分等间隔抽样。 由于 ，所以有 ，此时得到的 H(z)与单位圆抽样得到的H(z)大致相等。 此时零极点均为： 若由于某些原因，零极点不能很好抵消时，极点位置仍在单位圆内，系统仍保持稳定。

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 （2）由DFT的共轭对称性可知，若h(n)为实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称。 即 ，而 各并联支路的极点为 为使系数为实数，可将共轭根合并，在z平面上这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴为轴成对称分布，即 也就是

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 故可将结构中第k条支路和第N-k条支路合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则 其中

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 显然二阶网络Hk(z)的系数都是实数，其结构如下图 图 24 二阶网络Hk(z)的结构

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 当N为偶数时 式中H(0)和H(N/2)为实数，有两个实根，无需合并 当N为奇数时 式中H(0)为实数，只有一个实根

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 图25给出了N为偶数时的改进的频率抽样结构，N为奇数时的结构与之相似，请同学自己画出。 y(n) x(n) r - r H1(z) H2(z) 图 25 H0(z)

4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的基本结构 图中的任一Hi(z)的结构均为图24的结构，这种改进的频率抽样结构克服了一般频率抽样结构的缺点。 由图25可以看出，当抽样点数 N 很大时，其结构显得很复杂，需要的乘法器和延时单元很多，但对于窄带滤波器，大部分抽样值H(k)均为0，从而使二阶网络个数大大减少，所以频率抽样结构适用于窄带滤波器

作业： 6，7

4.4 典型数字滤波器及其介绍 格形滤波器（Lattice Filter） 在DSP中，格形滤波器起着重要的作用，特别在进行线性预测和逆滤波器中广泛应用。 格形滤波器的特点 ①它的模块化结构便于实现高速并行处理； ②一个m阶格形滤波器可以产生从1阶到m阶的m个横向滤波器的输出性能； ③格形滤波器对有限字长的舍入误差不敏感。 格形滤波器有全零点型、全极点型和极零点型等多种，这里主要介绍全零点型和全极点型格形滤波器。

4.4 典型数字滤波器及其介绍 1. 全零点格形滤波器 全零点格形滤波器的基本单元 根据图27可列出eL(n)和rL(n)的节点方程 1. 全零点格形滤波器 全零点格形滤波器的基本单元 图 27 根据图27可列出eL(n)和rL(n)的节点方程 (4-18) (4-19) 对（4-18）式取z变换得：

4.4 典型数字滤波器及其介绍 用矩阵形式表示为： (4-20) N阶全零点格形滤波器的输入输出关系为 : (4-21) 令Y(z)=EN(z) X(z)=E0(z)=R0(z)，则输出Y(z)可表示为 (4-22)

4.4 典型数字滤波器及其介绍 由此得N阶全零点格形滤波器的结构和系统函数分别为图28和式（4-23） 图 28 N阶全零点格型滤波器 y(n) x(n) 图 28 N阶全零点格型滤波器

4.4 典型数字滤波器及其介绍 (4-23) 例：求二阶全零点格形滤波器的系数k1， k2，已知该格形滤波器对应的系统函数 解：

4.4 典型数字滤波器及其介绍 故有： 2. 全极点格型滤波器 全极点格型滤波器的基本单元如下 图 29 全极点格型滤波器的基本单元

4.4 典型数字滤波器及其介绍 根据图29可得全极点格型滤波器的节点方程为 (4-24) 写成矩阵形式 (4-25) 令X(z)=EN(z)，Y(z)=E0(z)=R0(z)，则N阶全极点格型滤波器的输入输出关系为

4.4 典型数字滤波器及其介绍 (4-26) 由此得N阶全极点格型滤波器的结构为 x(n) 图 30 N阶全极点格型滤波器 y(n)

4.4 典型数字滤波器及其介绍 比较（4-22）式和（4-26）式，可以看出差别仅在于输入和输出在公式中对调了位置。 讨论： 全极点格型网络和全零点格型网络的系统函数互为倒数，即全零点格型滤波器是全极点格型滤波器的逆滤波器。 求逆准则：将输入至输出的无延迟的通路全部反向，并将该通路的常数值支路增益变成原来的倒数（此处为1），再把指向这条新通路的各节点的其它支路增益乘以-1，最后将输入输出交换位置。 按照“求逆准则”可以把一个全零点格型滤波器转换成全极点格型滤波器。

作业：11