定积分应用 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校
定积分应用 几何学中：面积、体积、曲线长 物理上：变力做功、体积、引力、重心等 微元法：先介绍面积计算，再介绍微元法等。。。
曲线间的面积的计算
曲线间的面积的计算
＋
求由 正弦曲线 y=sin x 和 直线x=0,y=0,x=3pi/2 所围图形的面积
另一种解法
微元法 为此，先回忆定积分定义 通过定积分的几何意义：求面积来说明
回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o
面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值
（4） 求极限，得A的精确值 面积元素 提示 a b x y o
元素法的一般步骤：
这个方法通常叫做微元法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；引力和平均值等．
微元法理解曲线间的面积的计算 面积元素
体积 柱体的体积： 如果底面积为 A , 高为 H，则柱体体积为 V＝AH.
2. 体积 (Volume) 已知截面面积函数 的立体体积 体积微元： 整个立体体积
旋转体体积 设 f(x) 是 [a,b] 上的连续，由曲线 y=f(x) 、直线 x=a、x=b ( a<=x<=b ) 和 x 轴 围成曲边梯形
曲边梯形 绕 x 轴旋转一周得的空间立体
旋转体体积计算公式 设 f(x) 是 [a,b] 上的连续，由曲线 y=f(x) 、直线 x=a、x=b ( a<=x<=b ) 和 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得的空间立体 Ω.
解
绕固定轴旋转所成旋转体的体积
解(2)
变力做功 设物体在变力 y=f(x) 作用下，沿 x 轴正向从点 a 移动到 b, 求它所作的功 W. 在 [a,b] 上任取相邻两点 x 和 x+dx，则力 f(x) 所作的微功为 dW=f(x)dx, 于是 W
例 4 根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比. 已知汽车车厢下的减压弹簧压缩 1cm 需力 14 000 N， 求弹簧压缩 2cm 时所作的功. 解： 弹簧弹力 f(x)=k x. W =? k=?
练习 P111 7、8