MATLAB数学实验 第五章 应用微积分

第五章 应用微积分 5.1 预备知识：微积分的基本概念 5.2 数值微积分MATLAB指令 5.3 计算实验：数值微积分 第五章 应用微积分 5.1 预备知识：微积分的基本概念 5.2 数值微积分MATLAB指令 5.3 计算实验：数值微积分 5.4 建模实验：奶油蛋糕

5.1 预备知识：微积分 1.极限和连续 数列极限: >0,  N>0 ，使当n>N时 有xn -a<，则 函数极限: 如果当xx0时有f(x)  A， 则 连续: 如果当xx0时，有f(x) f(x0) 则称 f(x)在x0连续。 闭区间上连续函数必有最大值和最小值。

2. 微分与导数 函数f(x)在点x = x0的导数为 若f(x)在x0可导则在x0可微，dy = Adx 当f’(x0)>0,函数在x0点附近是上升的； 当f’(x0)<0,函数在x0点附近是下降的； 当f’(x0)=0, x0为驻点, 若x0为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则 f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小）

f(x) - f(x0) = f’() (x- x0) Taylor公式:当f(x)在含有x0某个开区间内具有直到n+1阶的导数， 当n=0 得，微分中值定理 f(x) - f(x0) = f’() (x- x0) 其中是x0 与 x 之间某个值

3.多元函数微分学 设f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义，当(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)时，f(x,y)趋向于一个确定的常数A，则 若 A=f(x0,y0), 称f(x,y)在(x0,y0) 点连续 f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数分别定义为

多元函数Taylor公式 二元函数在(x0,y0)附近局部线性化: f(x,y)  f(x0,y0) + f x’(x0,y0) (x-x0) + f y’(x0,y0) (y-y0)

多元函数极值 梯度：记为f =( )。 f(x,y)在(x0,y0) 取得局部极大或极小的必要条件是 f (x0,y0)=0，充分条件是 f (x0,y0)=0且下列Hesse矩阵负定(局部极大)或正定(局部极小)

4 . 积分  函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为 其中 a=x0<x1<…<xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1, xi), i=1,2,…,n 若在[a,b]上, F’(x)=f(x), 则 二重积分定义为

曲线 曲面 平面曲线(x(t), y(t)), a<t<b的长度为 空间曲线(x(t), y(t), z(t)), a<t<b的长度为 曲面 z=z(x,y), (x,y) in G的面积为

5.2 数值微积分MATLAB指令 1.数值差分 n维向量x=(x1, x2, , xn)的差分定义为 1.数值差分  n维向量x=(x1, x2, , xn)的差分定义为 n-1维向量x = (x2-x1, x3-x2, , xn- xn-1)。 diff(x) 如果x是向量，返回向量x的差分 如果x是矩阵，则按各列作差分。 diff(x, k) k阶差分，即差分k次

2.数值导数和梯度 q=polyder(p) 求得由向量p表示的多项式 导函数的向量表示q. Fx=gradient(F,x) 返回向量F表示的一元 函数沿x方向的导函数F ' (x). 其中x是与F同维数的向量. [Fx,Fy]=gradient(F,x,y) 返回矩阵F表示的二 元函数的数值梯度( , ),当F为 m×n 矩阵时, x,y 分别为n维和m维的向量. quiver(X, Y, U, V) 在(X,Y)平面点上，画 (U,V)表示的方向箭头。

例如 » clear; x=[1, 1.1, 1.2, 1.3]; y=x.^3; » 3*x.^2 » dy=diff(y)./diff(x) » dy=gradient(y,x)

3.梯形积分法 z=trapz(x,y) 返回积分的近似值，其中x 表 示积分区间的离散化向量; y是与x同维 数的向量,表示被积函数 。 例1 解 » clear; x=-1:0.1:1; y=exp(-x.^2); » trapz(x,y)

quad(Fun,a, b) 自适应步长Simpson积分法 4.高精度数值积分 quad(Fun,a, b) 自适应步长Simpson积分法 求得Fun在区间[a, b]上的定积分z=quadl(Fun,a,b) 高精度Lobatto积分法. 格式同quad. 不是数字1！ 注意: 积分中Fun里用数组运算!! >> z=quadl(@(x)exp(-x.^2),-1,1) 注：trapz, quad, quad1都不能用于求广义积分，对于一些假奇异积分也不能直接求解 。

5.矩形区域重积分 z=dblquad(Fun,a,b,c,d) 求得二元函数 Fun(x,y) 的重积分， a, b为变量x的 下上限；c, d为变量y的下上限. z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f) 求得三元函数 Fun(x,y,z)的重积分, 格式类似dblquad。 例2 计算重积分

5.3 计算实验：数值微积分 1.数值微分 若f(x)在x=a可导, 设h>0且足够小 称为向前差商 向后差商 中心差商

3.非矩形区域上的重积分 重积分的数值计算可通过单积分组合计算. 自动步长的中心差商程序：deriv.m function d=deriv(fname,a,h0,e) h=h0; d=(feval(fname,a+h)-feval(fname,a-h))/2/h; d0=d+2*e; while abs(d-d0)>e d0=d; h0=h; h=h0/2 end 3.非矩形区域上的重积分 重积分的数值计算可通过单积分组合计算.

我们利用梯形法，先将[a,b]区间n 等分，hx=(b-a)/n, xi=a+ihx, i=0,1,…,n d(x) A c(x) a b 其中

非矩形区域重积分dblquad2.m function S=dblquad2(fun,a,b,clo,dhi,n) if nargin<6,n=100;end x=linspace(a,b,n+1); S=0; for i=1:n S=S+dblquad(fun,x(i),x(i+1),feval(clo, … (x(i)+x(i+1))/2),feval(dhi,(x(i)+x(i+1))/2)); end

M文件dblquad2.m给出二重积分计算法。 I=dblquad2(fun,a,b,clo,dhi, n) fun为被积函数f(x,y) clo和dhi是y的下限和上限函数c(x),d(x) a,b分别为x的下限和上限; n 为区间的等分数(默认100) 例3

5.4 建模实验：奶油蛋糕  2. 奶油蛋糕 例 5 某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数 r = 2-(exp(2h)+exp(-2h))/5, 0<h<1 (单位：米) 。问如何计算重量？

若蛋糕是双层的，每层高H/2 ，下层半径r1, 上层半径r2，则 W=kH(r12+ r22)/2 解 设高为H，半径 r, 比重为k 若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量为： W=kHr2 r H r1 r2 若蛋糕是双层的，每层高H/2 ，下层半径r1, 上层半径r2，则 W=kH(r12+ r22)/2 如果蛋糕是n层的，每层高H/n，半径分别r1, …, rn, 则

若蛋糕边缘是曲线r = r(h), 0<h<H，各层半径近似为ri = r((i-1/2)H/n), i=1, …, n, 那么 >> fun=inline('(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5).^2','h'); >> pi*quadl(fun,0,1)

例6 一半径为R=5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m? 解 水从孔漏出的速度由下列能量方程决定 g(z+R)=u2/2 ， u是速度, z表示从球心 测量的水面高度, g为重力加速度。

考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为 uAdt= - x2dz 其中x为高度z水面的半径, A=b2 由于R2=z2+x2 5m 在顶部z=R水降到0.5m时， z=0.5-R，从而 t = 0.5m

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