第一章 复数与复变函数 By 付小宁

§1 复数及代数运算 1. 复数的概念

回忆… 复数的一般形式？ Z=a+bi(a, b∈R) 一个复数由什么唯一确定？ 实部! 虚部! a =Re( z ) b =Im( z )

复数 z =a + bi (a,b∈R) 实数 (b=0) 虚数 (b‡0) 纯虚数 (a=0) 非纯虚数 (a‡0) 虚数集 纯虚数集 复数集 实数集

复数不能比较大小的一种解释 例如：i与0能不能比较大小？ （1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。 A 复数的概念 复数不能比较大小的一种解释 例如：i与0能不能比较大小？ （1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。 （2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0·(-i) 即-1>0. 因此，i与0不能比较大小。 Note Z1 =a1 + i b1, Z2 =a2 + i b2 Z1 = Z2 if a1= a2 & b1= b2

例1. 辨析： 1．下列命题中的假命题是（ ） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 1．下列命题中的假命题是（ ） D (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 A 3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 C

4． 设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( ) (A)若z21+z22＞0，则z21＞-z22 (B)|z1-z2|=√(z1+z2) 2-4z1z2 (C)z21+z22=0z1=z2=0 (D)z1-z1是纯虚数或零 D 例2 是否存在复数z，使其满足z·z+2iz=3+ai(a∈R)如果存在，求出z 的值；如果不存在，说明理由

2. 复数的代数运算 1) 两复数的和 2) 两复数的积 3)两复数的商

3. 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 共轭复数的性质

§2 复数的几何表示 1. 复平面 （1）几何表示法

（2）向量表示法 复数的模(或绝对值)

模的性质 三角不等式 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

复数的辐角

辐角的主值

（3）三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 利用欧拉公式 复数可以表示成 称为复数 z 的指数表示式. （4）指数表示法

例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？

复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 例4(1) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想

例4(2) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。 不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

例5  试用复数表示圆的方程: 其中，a,b,c,d是实常数。 解： 利用 另解：

例6、复数 图形 图形为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：

2. 复球面与无穷大 1. 南极、北极的定义

2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞ . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 称 为扩充复平面，记为 。

无穷远点: 关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于： 它和有限复数的基本运算为： 这些运算无意义： 1、注意无穷远点与原点的区别与联系； 2、注意运算性质与运算规定。 这些运算无意义：

习题Ex1-19 题： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明： 由于 所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 得 即

同理可以得到 得证。

§3 复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 则有

几何意义 复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为

两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 则有

2) 幂与根 (a) n次幂:

(b)棣莫佛公式

例6、求所有值： 解：由于 所以有 有四个根。 问题： 有几个根？

§4 区域 （1）邻域 （2）内点

(3) 开集 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集. (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.

(5) 边界点、边界 设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. (6) 区域D与它的边界一起构成闭区域. 闭区域 (7)有界区域和无界区域

边界 区域 邻域 边界点 以上基本概念的图示

(8) 简单曲线

若尔当定理: 若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。 外区域

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. (9) 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.

(10) 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.

区域的连通性: 设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;

§5 复变函数 1.复变函数的定义:

2.单(多)值函数的定义: 3.定义集合和函数值集合:

4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如,

5.2 映射的概念 1. 引入:

2.映射的定义:

3. 两个特殊的映射:

且是全同图形.

根据复数的乘法公式可知,

(如下页图)

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.

以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线) 以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)

4. 反函数的定义:

根据反函数的定义, 当反函数为单值函数时, 今后不再区别函数与映射.

5.3 、典型例题 例7 还是线段. 解

例7 解

例7 解 仍是扇形域.

例8 解

所以象的参数方程为

§6 复变函数的极限和连续性 6.1 、函数的极限 1.函数极限的定义: 注意:

2. 极限计算的定理 定理一 证 (1) 必要性. 根据极限的定义

(2) 充分性.

[证毕] 说明

定理二 与实变函数的极限运算法则类似.

例1 证 (一)

根据定理一可知, 证 (二)

例2 证

根据定理一可知,

6.2 、函数的连续性 1. 连续的定义:

定理三 例如,

定理四

特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.

例3 证

例4 讨论函数 的连续性. 解 设 为复平面上任意一点，则 当 时， 在 无定义，故 在 处不连续. 当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时， 趋于 ，在 从实轴下方趋于 时， 趋于 ，所以 不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.

6.3 、小结与思考 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.

复变量影射的三种形式

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