第7章 导行电磁波

导行电磁波 —— 被限制在某一特定区域内传播的电磁波 导波系统 —— 引导电磁波从一处定向传输到另一处的装置 常用的导波系统的分类 ： TEM传输线、金属波导管、表面波导。

1. TEM波传输线 平行双导线是最简单的TEM波传输线，随着工作频率的升高，其辐射损耗急剧增加，故双导线仅用于米波和分米波的低频段。 同轴线没有电磁辐射，工作频带很宽。

波导是用金属管制作的导波系统，电磁波在管内传播，损耗很小，主要用于 3GHz ～30GHz 的频率范围。 2. 波导管 矩形波导 圆波导 波导是用金属管制作的导波系统，电磁波在管内传播，损耗很小，主要用于 3GHz ～30GHz 的频率范围。

本章内容 7.1 导行电磁波概论 7.2 矩形波导 7.3 圆柱形波导 7.4 同轴波导 7.5 谐振腔 7.6 传输线

7.1 导行电磁波概论 分析均匀波导系统时， 做如下假定： ★ 波导是无限长的规则直波 导，其横截面形状可以任 意，但沿轴向处处相同， 7.1 导行电磁波概论 分析均匀波导系统时， 做如下假定： ★ 波导是无限长的规则直波 导，其横截面形状可以任 意，但沿轴向处处相同， 沿z 轴方向放置。 ★ 波导内壁是理想导体，即 = 。 ★ 波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质，其参数 、  和 均为实常数。 ★ 波导内无源，即 ＝0，J ＝0。 ★ 波导内的电磁场为时谐场。波沿 + z 方向传播。

1、场矢量 对于均匀波导，导波的电磁场矢量为 场分量： 其中： —— 横向分量 —— 纵向分量

横向场分量与纵向场分量的关系 直角坐标系中展开 直角坐标系中展开

导波的分类 如果 Ez= 0， Hz= 0，E、H 完全在横截面内，这种波被称为横电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解； 如果 Ez  0， Hz= 0 ，传播方向只有电场分量，磁场在横截面内，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波； 如果 Ez= 0， Hz  0 ，传播方向只有磁场分量，电场在横截面内，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。

2. 场方程 根据亥姆霍兹方程 故场分量满足的方程 —— 横向场方程 —— 纵向场方程 电磁场的横向分量可用两个纵向分量表示，只需要考虑纵向场方程。 由于

7.2 矩形波导 本节内容 7.2.1 矩形波导中的场分布 7.2.2 矩形波导中波的传播特性 7.2.3 矩形波导中的主模

结构：如图 所示，a ——宽边尺寸、 b ——窄边尺寸 7.2.1 矩形波导中的场分布 结构：如图 所示，a ——宽边尺寸、 b ——窄边尺寸 特点：可以传播TM 波和TE波，不能传播TEM波 1. 矩形波导中TM 波的场分布 对于TM 波，Hz = 0，波导内的电磁场由Ez 确定 方程 x y z O b a 边界条件 利用分离变量法可求解此偏微分方程的边值问题。

代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值问题，即 设 Ez 具有分离变量形式，即 代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值问题，即 两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数: 故 截止波数只与波导的结构尺寸有关。

所以TM波的场分布

对于TE波，Ez= 0，波导内的电磁场由Hz 确定 方程 x y z O b a 边界条件 其解为

所以TE波的场分布

3. 矩形波导中的TM 波和TE波的特点 m 和n 有不同的取值，对于m 和n 的每一种组合都有相应的截 止波数kcmn 和场分布，即一种可能的模式，称为TMmn 模或 TEmn 模； 不同的模式有不同的截止波数kcmn ； 由于对相同的m 和n，TMmn 模和TEmn 模的截止波数kcmn 相 同， 这种情况称为模式的简并； 对于TEmn 模，其m 和n可以为0，但不能同时为0；而对于 TMmn 模， 其m 和n不能为0，即不存在TMm0 模和TM0n 模。

在矩形波导中，TEmn 波和TMmn 波的场矢量均可表示为 7.2.2 矩形波导中波的传播特性 在矩形波导中，TEmn 波和TMmn 波的场矢量均可表示为 其中： 矩形波导中的TEmn 波和TMmn 波的传播特性与电磁波的波数k 和截止波数kcmn 有关。 当 kcmn > k 时，γmn为实数， 为衰减因子 —— 相应模式的波不能在矩形波导中传播。 波阻抗 纯虚数

当 kcmn = k 时，γmn= 0， —— 相应模式的波也不能在矩形波导中传播。 定义 由 截止角频率： 截止频率： 截止波长： 结论：在矩形波导中，TE10模的截止频率最低、截止波长最 长。

当 kcmn < k 时， —— 相应模式的波能在矩形波导中传播。 传播参数 相位常数 相速 波导波长

波阻抗 结论： 当工作频率 f 大于截止频率fcmn 时，矩形波导中可以传 播相应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波； 当工作频率 f 小 于或等于截止频率fcmn时，矩形波导中不能传播相 应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波。

例7.2.1 在尺寸为 的矩形波导中，传输TE10 模，工作频率10GHz。 （1）求截止波长、波导波长和波阻抗； （2）若波导的宽边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？ （3）若波导的窄边尺寸增大一倍，上述参数如何变化？还能传输什么模式？ 解：（1）截止波长

（2）当 时 此时 由于工作波长 故此时能传输的模式为

（3）当 时 此时 由于工作波长 故此时能传输的模式为

7.2.3 矩形波导中的主模 主模：截止频率最低的模式 高次模：除主模以外的其余模式 在矩形波导中（a > b ）：主模为TE10 模 若a > 2b ，TE20 模为第一个高次模 若b < a < 2b ，TE01 模为第一个高次模 TE10 模（主模）的传播特性参数

主模的场结构 对于主模TE10 模，电磁场分量复数形式为

对于主模TE10 模，电磁场分量瞬时值形式为

主模的场结构

主模的管壁电流 TE10模的管壁电流

研究管壁电流的实际意义：研究实际波导的损耗、测量和合。

模式分布图：按截止波长从长到短的顺序，把所有模从低到 高堆积起来形成各模式的 截止波长分布图（简并模 用一个矩形条表示）. 2. 单模传输 模式分布图：按截止波长从长到短的顺序，把所有模从低到 高堆积起来形成各模式的 截止波长分布图（简并模 用一个矩形条表示）. TE10 TE20 TE01 TE11 ,TM11 TE30 TE12 , TM12 2b a 2a Ⅰ Ⅱ Ⅲ 模式分布图可按工作 波长分为三个区： 截止区（Ⅰ）：  > 2a 单模区（Ⅱ）： a <  < 2a 多模区（Ⅲ）：  < a

说明： 截止区： 由于2a 是矩形波导中能出现的最长截止波长，因此，当工作 波长λ> 2a 时，电磁波就不能在波导中传播，故称为“截止区”。 单模区： 在这一区域只有一个模出现，若工作波长 a <λ< 2a，就只能传输TE10 模，其他模式都处于截止状态，这种情况称为“单模传输”，因此该区称为“单模区”。在使用波导传输能量时，通常要求工作在单模状态。 多模区： 若工作波长λ< a，则波导中至少会出现两种以上的波型，故此区称为多模区 。

单模传输条件 由设计的波导尺寸实现单模传输。 截止波长相同时，传输TE10 模所要求的 a 边尺寸最小。同时 TE10 模的截止波长与 b 边尺寸无关，所以可尽量减小 b 的尺 寸以节省材料。但考虑波导的击穿和衰减问题，b 不能太小。 TE10 模和TE20 模之间的距离大于其他高阶模之间的距离， TE10 模波段最宽。 可以获得单方向极化波，这正是某些情况下所要求的。 对于一定比值a/b，在给定工作频率下TE10模具有最小的衰减。

例7.2.2 有一内充空气、截面尺寸为 的矩形波导，以主模工作在 3GHz 。若要求工作频率至少高于主模截止频率的 20% 和至少低于次高模截止频率的 20% 。 （1）给出尺寸a 和b 的设计。 （2）根据设计的尺寸，计算在工作频率时的相速、波导波长和波阻抗。 解：（1）对于b < a < 2b 的矩形波导，其主模为TE10 模，相 应的截止频率： 次高模为TE01 模，其截止频率：

由题意 解得 且 （2） 取 则

主模的功率传输 其中 x y z O b a

7.5 谐振腔 ● 随着频率的增高，电磁波的波长接近元件尺寸，由集中参数 元件组成的振荡回路容易产生辐射，损耗增大。故采用空腔 谐振器。 7.5 谐振腔 ● 随着频率的增高，电磁波的波长接近元件尺寸，由集中参数 元件组成的振荡回路容易产生辐射，损耗增大。故采用空腔 谐振器。 ● 几种常见的微波谐振腔 （a）矩形腔 （b）圆柱腔 （c）同轴腔 ● 谐振腔的主要参量：谐振频率和品质因素。 ● 工作原理：电磁波在腔体中来回反射形成振荡。 ● 分析方法：将谐振腔看作一段两端短路的波导，利用波导的 场分布导出谐振腔的场分布以及相应参数。

特点：不同的m、n、p 对应于不同的振荡模式，TEmnp 模或 TMmnp 模。 x y z a b l O 1. 矩形谐振腔的场分布 构成 ——可将一段矩形波导两端封闭 而构成，如图所示。 尺寸: 场分布 TE模： TM模： 特点：不同的m、n、p 对应于不同的振荡模式，TEmnp 模或 TMmnp 模。

2. 矩形谐振腔的谐振频率 由 得到谐振频率 特点： ① 谐振频率与谐振腔的尺寸、填充介质以及振荡模式有关； ② 存在一系列离散的谐振频率，不同的模式有不同的振荡频率; ③ 最低谐振频率： a > b > l 时， a > l > b 时，

谐振腔可以储存电场能量和磁场能量。在实际的谐振腔 中，由于腔壁的电导率是有限的，它的表面电阻不为零，这样 将导至能量的损耗。 3. 谐振腔的品质因素 Q 谐振腔可以储存电场能量和磁场能量。在实际的谐振腔 中，由于腔壁的电导率是有限的，它的表面电阻不为零，这样 将导至能量的损耗。 谐振腔的品质因素Q 定义为 储存的能量 一个周期内损耗的能量 设 PL 为谐振腔内的时间平均功率损耗，则一个周期 内谐振腔损耗的能量为 确定谐振腔在谐振频率的Q 值时，通常是假设其损耗足够的 小，可以用无损耗时的场分布进行计算。