§6 三重积分 一、三重积分的定义 二、直角坐标系下的计算 三、三重积分换元法 四、柱面坐标系下的计算 五、球面坐标系下的计算

一、三重积分的定义 引例 一物体,其质量体密度为连续函数  = (x, y, z)，求该物体质量M 解 仍采用“分割、取近似、求和、取极限” 把物体任意分割成n个小块Vi ，在每个Vi 上任取一点(i , i , i)对应的 (i , i , i)视为 Vi 上匀质的密度， 则 Mi   (i , i , i)Vi 当每个Vi 的直径i都越小,上式也近似。

1. 三重积分的定义 设 f(x,y,z) 是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将闭 区域Ω任意分成 n个小闭区域Δv1, Δ v2 , … ,Δvi , 其中Δvi表示第个i小闭区域，也表示它的体积, 在每 则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分 。

设 f(x,y,z) 定义在三维是空间可求体积的有界闭区域Ω上，J是一个确定的数， 或者 设 f(x,y,z) 定义在三维是空间可求体积的有界闭区域Ω上，J是一个确定的数， 则称函数f(x,y,z)在闭区域Ω上可积， 且称J为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分 。 积分和 三重积分号 表达式 被积 被积函数 积分变量 体积元素 积分区域

2. 可积的条件 (1) 若f (x, y, z)在有界闭域上连续, 则f(x, y, z)在上可积. (2) 如果在有界闭域上有界函数f (x, y, z)的间断点集中在有限多个零体积（类似于零面积的定义）的曲面上，则f(x, y, z)在上可积. 若一物体，其质量体密度=  (x, y, z)，则该物体质量

3. 性质 类似于二重积分、定积分 线性性质 区域可加性 (3) 设= 1+ 2, 则 (分割无公共内点)

二、 直角坐标系下的计算 空间直角坐标系下，体积元素常表示为 dv=dxdydz. 计算总体原则：将其化为三次定积分。 1. 长方体区域： 1. 长方体区域： 定理1 类似有其它积分顺序的公式

其它类型的区域 2. 先单后重 (先一后二) x y z z=z2(x, y) z=z1(x, y) b a 将其化为先对一个变量的定积分，后对两个变量重积分。 (1). 是Z－型区域 D y=y2(x) 平行于z-轴且穿过内部的直线与的边界曲面的交点不多于两个。 y=y1(x) 一般步骤 ①.把投影到xoy面上得平面区域Dxoy;

一般步骤 ①.把投影到xoy面上得平面区域Dxoy; ② . 过Dxoy的边界曲线作母线平行于z轴的柱面与边界曲面的交线L分边界曲面成两个部分z1(x,y)z2(x,y); ③ . P(x,y)Dxoy,过P 作平行于z轴直线与 边界曲面的交点为(x,y,z1(x,y))与(x,y,z2(x,y)); ④. 先把x, y看成常数，f(x,y,z)是z的函数 z  (z1(x,y)，z2(x,y)) ，作 ⑤ . 计算

进一步 ⑥. 如果Dxoy是X－型的，则有 下限要比上限小 这样，将三重积分化为先对z、次对y、再对x的三次积分。 (2). 若是X－型或Y－型或区域，类似可得。

z x+y+z=1 y x 例1. 计算 其中：由x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域. D: 解： x+y+z=1 解： 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 D

例2 解 如图, 将Ω投影到平面zox得 y 先对y积分， 再求Dzx上二重积分,

y

z d D z y z c x 2. 先单后重 (先一后二) 3. 先重后单(先二后一) 截面法 2. 先单后重 (先一后二) x y z 3. 先重后单(先二后一) 截面法 d D z 将其化为先对两个变量重积分，后对一个变量的定积分。 z c 一般步骤 ①.把投影到z轴上， c z  d; ②. z(c,d), 作平面z=z与 相交得一区域Dz； ③.先把z看成常数,f(x,y,z)是x,y的函数,(x,y) Dz ,作

一般步骤 ①.把投影到z轴上， c z  d; ②. z(c,d), 作平面z=z与 相交得一区域Dz； ③.先把z看成常数,f(x,y,z)是x,y的函数,(x,y) Dz ,作 ④ . 计算 ⑤.如果D z是X－型的，则有 下限要比上限小 这样，将三重积分化为先对y、次对x、再对z的三次积分。

例3 解

原式

例4 Dy

z y x o z=H Dz 例5 计算下列积分

y x o z=8 Dz z=2 z

例6 计算下列积分 o x y z •

o x y z •

x y z o

三、三重积分的换元法 与二重积分类似 定理

四、利用柱面坐标计算三重积分 r  x z M • y M  (r, , z) 规定：

(0≤r<+,0≤≤2, <z<+) 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 柱面坐标与直角坐标的关系为 (0≤r<+,0≤≤2, <z<+)

　　如图，柱面坐标系中的体积元素为 或者

例7 解 知交线为

例8 解 所围成的立体如图，

所围成立体的投影区域如图，

例9 计算 与z=1所围闭区域. 其中由 解：D: x2+y2≤1 z=1 x y z z=r

例10 计算 其中为x2+y2+z2≤1, z≥0. 解： x y z

五、利用球面坐标计算三重积分 x r  o z M • y  M  (r, , ) 规定：

规定： 如图，三坐标面分别为 球 面； 圆锥面； 半平面．

如图， 球面坐标与直角坐标的关系为

如图， 球面坐标系中的体积元素为

或者

例11. 计算 其中为x2+y2+z2≤1, z≥0. 解： x y z  r=1 

例12. 计算 其中为x2+y2+(z-1)2≤1. 解：  x y z  r=2cos

例13.分别化三重积分 为直角、柱面、 球面坐标系下的三次定积分，其中为 与x2+y2+z2=2, z≥0所围闭域. x y z 1 D 解：(1)直角坐标 x2+y2+z2=2  x2+y2=1  Dxoy: x2+y2≤1

x y z 1 D

x y z 1 D (2)柱面坐标

x y z D (3) 球面坐标

解