现代控制理论

5．3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性，关键是如何构造一个满足条件的李氏函数，而李氏第二法本身并没有提供构造李氏函数的一般方法。所以，尽管李雅普诺夫第二法在原理上是简单的，但实际应用并不是一件易事。尤其对复杂的系统更是如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方法来构造李氏函数。

5.3.1 线性定常连续系统 1. 渐近稳定的判别方法 定理5-9 线性定常系统 式中，x是n维状态矢量，A是n×n常数阵，且是非奇异的。在平衡状态xe = 0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足矩阵方程 ATP + PA =  Q 而标量函数v(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。

= (Ax)TPx + xTP (Ax) 证明 充分性 如果满足上述要求的P存在，则系统在xe = 0处是渐近稳定的。 设P是存在的，且P是正定的，故选v(x) = xTPx。由塞尔维斯特判据知v(x) > 0，则 = (Ax)TPx + xTP (Ax) = xTATPx + xTP Ax = xT (ATP + PA)x = xT ( Q) x < 0 由定理5-4知，系统在xe = 0处是渐近稳定的。

必要性 如果系统在xe = 0是渐近稳定的，则必存在矩阵P，满足矩阵方程ATP + PA = Q。 那么被积函数一定是具有t keλt形式的诸项之和，其中λ是矩阵A的特征值。因为系统是渐近稳定的，必有Re(λ) < 0，因此积分一定存在。 若将P代入上述矩阵方程，可得

1）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程ATP + PA = Q的实对称矩阵P是唯一的。若P是正定的，系统在xe = 0处是渐近稳定的。P的正定性是一个充要条件。 3）为计算方便，在选定正定实对称矩阵Q时，可取Q = I，于是矩阵P可按下式确定： ATP + PA =  I 然后检验P是不是正定的。

例5-8 设系统的状态方程为 试判断该系统的稳定性 。 解：系统平衡点为坐标原点。 取Q = I，则矩阵P由下式确定 ATP + PA =  I 2p11= 1 p11  p12  p22 = 0 2p12 2p22 = 1

可知P > 0，正定，所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。而系统的李氏函数为 v(x) = xTPx = 0.5( 3x12 + 2 x1 x2 + 2x22 )

5.3.2 线性时变连续系统 1． 渐近稳定的判别方法 定理5-10 线性时变连续系统 在平衡点xe = 0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续的对称正定矩阵P(t)，使得 并且 v(x,t) = xT(t)P(t)x(t)是系统的李氏函数。

证明 只证充分性，即如果满足上述要求的P存在，则系统在xe = 0处是渐近稳定的。 设P(t)是存在的，且P(t)是正定的，即P(t)>0。故选v(x，t)= x(t)TP(t)x(t) > 0，（正定的）。又

若是Q正定对称矩阵，则 是负定的。由定理5-4知，系统在xe = 0处是渐近稳定的。 [证毕] 2. 判断的一般步骤 1）确定系统的平衡状态。 2）任选正定对称矩阵Q(t)，代入矩阵方程 解出矩阵P(t)。该矩阵方程属于Riccati矩阵微分方程，其解为

同样，为计算方便，可选Q(t) = Q = I，则 3）判断矩阵P(t)是否满足连续、对称正定性。若满足，则线性时变系统是渐近稳定的，且 v(x,t) = xT(t)P(t)x(t)

5.3.3 线性定常离散系统 1. 渐近稳定的判别方法 定理5-11 线性定常离散系统 式中，G是n × n阶常系数非奇异矩阵。系统在平衡点xe = 0处渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程： GTP G  P =  Q 并且v[x(k)]= xT(k)Px(k)是这个系统的李雅普诺夫函数。

证明 设所选李氏函数为 v[x(k)]=xT(k)Px(k) 因为P是正定的实对称矩阵，所以v[x(k)]是正定的。 v[x(k)]= v[x(k+1)]  v[x(k)] =xT(k+1)Px(k+1)  xT(k)Px(k) = [Gx(k)]TP Gx(k)  xT(k)Px(k) = xT(k)[GTPG  P ]x(k) = xT(k)[ Q ]x(k) 由于v[x(k)]是正定的，根据渐近稳定的条件 v[x(k)] < 0 Q = GTPG  P < 0 对于P > 0，系统渐近稳定的充分条件是Q > 0。

例5-9 设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。 解：系统平衡点为坐标原点。 取Q = I，则矩阵P由下式确定 GTPG  P =  I p11 (1 1) = 1 p12 (1 1 2 ) = 0 p22 (1 22) = 1

要使P为正定的实对称矩阵，则要求  1  < 1  2  < 1 也就是说，当系统的特征根位于单位圆内时，系统的平衡点是渐近稳定的。显然，这一结论与经典理论中采样系统稳定的充要条件是完全相同的。

5.3.4 线性时变离散系统 1. 渐近稳定的判别方法 定理5-12 线性时变离散系统 x(k+1)=G(k+1, k)x(k) 系统在平衡点xe=0处是大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的正对称矩阵Q(k)，存在一个实对称正定矩阵P(k+1)，且满足如下矩阵方程： GT(k+1, k)P(k+1)G(k+1, k)  P(k) =  Q(k) 并且v[x(k), k)]= xT(k)P(k)x(k)为系统的李雅普诺夫函数。

证明 只证充分性。设选取李氏函数为 v[x(k), k]= xT(k)P(k)x(k) 因为P(k)是正定的实对称矩阵， v[x(k), k]是正定的。 v[x(k), k]= v[x(k+1), k +1]  v[x(k), k] = xT(k+1)P(k+1)x(k+1)  xT(k)P(k) x(k) = xT(k)GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)x(k) xT(k)P(k) x(k) = xT(k)[GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)  P(k)]x(k) = xT(k)[Q(k)]x(k) Q(k)=  [GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)  P(k)] 由渐近稳定的充分条件当P(k)>0正定时，Q(k)必须是正定的，才能使 v[x(k), k] < 0 [证毕]

v[x(k), k]= xT(k)P(k)x(k) 2 . 判断的一般步骤 1）确定系统的平衡状态。 2）任选正定对称矩阵Q(k)，代入矩阵方程 GT(k+1,k)P(k+1)G(k+1,k)  P(k) = Q(k) 解出矩阵P(k+1)。该方程为矩阵差分方程，其解的形式为 3）判断P(k+1)的正定性，若正定，则系统是渐近稳定的，且李氏函数为 v[x(k), k]= xT(k)P(k)x(k)

5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用 5.5.1 状态反馈的设计 5.5.1 状态反馈的设计 在控制系统的设计中，若需通过状态反馈使闭环系统渐近稳定，除可利用状态反馈极点配置的方法外，还可以采用李氏第二法来确定系统的校正方案。 设单输入、单输出线性定常系统的状态方程为 若选取二次型函数为李氏函数，即 v(x) = xTPx = (Ax+Bu)TPx + xTP (Ax+Bu) = xTATPx + (Bu)TPx +xTPAx +xTPBu = xT (ATP+PA)x +[(Px)TBu ]T+ xTPBu

如果选P使ATP + PA为负定的，同时选输入量为 u =  kxTPB k > 0 此时， 为负定的，则系统是渐近稳定的。而输入u= kxTPB是状态变量的线性组合，也正是前面介绍的状态反馈。

例5-14 设系统的结构图如图所示，对应的微分方程为 显然系统处于临界等幅振荡状态，属于李氏意义下的稳定系统。若用李氏第二法来决定控制规律u(t)，使系统变为渐近稳定的，如何选取校正方案。 1 s2 u x1 解： 系统的状态方程为

除平衡点xe = 0外， 其值均不恒等于零，故系统是渐近稳定的。 取标准二次型函数作为李氏函数，即 v(x) =x12 + x22 = xTPx P = I 当u =  kx2 k > 0 除平衡点xe = 0外， 其值均不恒等于零，故系统是渐近稳定的。 r 1 s u x2 x1 k 控制规律取自对x1的速度反馈，用速度反馈来镇定控制系统也是工程设计中常用的经典方法。

5.5.3 参数最优化设计 在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系统的控制品质。如误差绝对值积分（IAE）指标、误差平方积分（ISE）指标以及其他二次型积分指标。用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察在二次型积分指标最小意义下，如何利用李雅普诺夫第二法使系统的参数最优。 设线性系统的状态方程为 其中系统矩阵A()表示A的某些元素依赖于可调参数。参数的选择原则是使二次型积分指标 达到最小，其中Q为正定或正半定常数矩阵。

由于矩阵A()所描述的系统应当是渐近稳定的，因此由指标J中给定的Q阵，可以通过李雅普诺夫方程 AT() P + PA() =  Q 解出正定的含参数的矩阵P()。也就可以选取李氏函数为 v(x) = xTP() x = xT(0)P() x(0)  xT()P() x() = xT(0)P() x(0) = v(x)t=0 这样问题转化为选择什么样的参数使上式的J最小。

这是函数求极值问题，可由其必要条件 或充分必要条件 解出。

例5-16 设控制系统的结构图如图所示，假设系统开始是静止的。试确定阻尼比 > 0，使系统在单位阶跃函数r(t) = 1(t)的作用下，性能指标 达到最小，其中为给定的加权系数。 1 s (s + 2) r c e 解： ⑴ 列写状态方程 选取二阶系统的两个状态变量为

⑵ 二次型积分指标 （3）由李雅普诺夫方程求P() 由ATP + PA = Q，可解得

（4）写出李雅普诺夫函数 因为x2(0) = 0，得 （5）求J的最小值 令 ，即 2

结 束