数学第三册（选修I） 第二章《导数》 导数的应用

复习 1 、 某点处导数的定义—— 2 、 某点处导数的几何意义—— 这一点处的导数即为这一点处切线的斜率 3 、 导函数的定义——

4、由定义求导数的步骤（三步法）

5、 求导的公式与法则—— 如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么 6、 求导的方法—— 定义法 公式法

2、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f `（0）=0， f `（1）=1，f `（2）=8，求a、b、c 练习： 1、求下列函数的导数 （1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1） （2）y=（x/2+t）2 2、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f `（0）=0， f `（1）=1，f `（2）=8，求a、b、c 3、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的交角为450？

1、确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 引例 1、确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 在（-∞，2）上是减函数； 在（2，+∞）上是增函数。

2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 引例 2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 用定义法判断函数单调性的步骤： （1）在给定的区间内任取x1<x2; ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形; （3）判断符号; （4）下结论。

单调性定义讨论函数单调性是根本，但有时十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如： f(x)=2x3－6x2+7。 发现问题 单调性定义讨论函数单调性是根本，但有时十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如： f(x)=2x3－6x2+7。 这就需要我们寻求一个新的方法。

引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？

探究 研究函数二次y=x2－4x＋3的图象； 观察一次函数y=kx+1的图象； 观察三次函数y=x3的图象； 观察某个函数f(x)的图象。

分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正 若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，

结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. y`>0 增函数 y`<0 减函数 判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法

在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单. 知识提炼 定理： 一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导： 如果恒有 ，则 是增函数。 如果恒有 ，则 是减函数。 如果恒有 ，则 是常数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单. 注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当f'(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f'(x)=0的点只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上，若在某区间上有有限个点使f'(x)=0，在其余的点恒有f'(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似) 例如: 函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时, f'(x)=0, 当x≠0时, f'(x)=3x2>0, y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数

导数的应用 用导数研究函数的单调性

判断方法 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果在这个区间内f′(x)>0, 则f(x)为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内f′(x)<0, 则f(x)为这个区间内的减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数。 研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。

结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，因此今后我们可以利用导数法去探讨函数的单调性下面举例说明：

例题讲解 例1、求证：函数y=x3+1在 上是增函数。 解题步骤: 1、求函数的导函数； 2：判断导函数在指定区间上的符号； 3、下结论。

例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 根据导数确定函数的单调性一般需三步： 1.确定函数f(x)的定义域； 2.求出函数的导数； 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间。

例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间 导数的应用一、判断单调性、求单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f `(x)>0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f``(x)<0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。

课堂练习 1、确定下列函数的单调区间。 单调增区间为：（4，+∞）和（-∞，2） 单调减区间为：（2，4） 单调增区间为：（-1，1） 单调减区间为：（-∞，-1）和（1，+∞）

课堂练习 2,设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=/(x)的图象如左图所示,则y=(x)的图象最有可能的是( ) (B) y 1 2 O 1 2 (A) (C) (D) x y O 1 2

课堂总结 1.函数导数与单调性的关系: 若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数; 2.本节课中,用导数去研究函数的 单调性是中心,能灵活应用导数解 题是目的,另外应注意数形结合在 解题中应用。 3.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。

思考题 函数f(x)=2x3－6x2+7 1：能不能画出该函数的草图？

作业布置 课堂作业：课本p42习题2.4 1,2 课外作业：

函数的极值与导数 【复习与思考】 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;

【函数极值的定义】 设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0) 极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.

观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点. y a b x1 x2 x3 x4 O x 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.

【关于极值概念的几点说明】 (1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。

函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律? 【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律? y a b x1 x2 x3 x4 O x

(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0 【函数的极值与导数的关系】 (1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0 右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值 (2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0 右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值

用导数法求解函数极值的步骤： (1)    求导函数f `(x)； (2)    求解方程f `(x)=0； (3)    检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。

例题: 求函数 的极值. 【课堂练习】课本P42

例2:求函数 的极值.

【思考交流】 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.

一、复习： 1、 ； 2、 3、求y=x3—27x的 极值。

导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 表格法

a 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______ X2 o a X3 b x1

注： 求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质,二是利用不等式 三是利用导数 在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 在内有导数 ； 2、求函数 在内的极值 3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理

- + 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2 （1,2） 2 （2,5） 5 y， y - + 3 2 11 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2

课本练习 例1、求 函数在区间 上的最大值与最小值。 解：先求导数得， 令 ＝0即 解得 导数 的正负以及 ，如下表 例1、求 函数在区间 上的最大值与最小值。 解：先求导数得， 令 ＝0即 解得 导数 的正负以及 ，如下表 X －2 （－2，-1） -1 （－1，0） （0，1） 1 （1，2） 2 y/ _ ＋ － y 13 4 5 从上表知，当 时，函数有最大值13，当 时，函数有最小值4

在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。 例2　用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？ 例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。

四、小结： 1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。 2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。 3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。

思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值

导数的定义 导数的几何意义 多项式函数的导数 求导公式与法则 导数 函数单调性 函数的极值 导数的应用 函数的最值

基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49

3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为 . 4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )，则a的取值范围为( ) (A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1

6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定 7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于( ) (A) 8+2Δt (B) 4+2Δt (C) 7+2Δt (D) –8+2Δt

8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1 10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1

例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值. 即：6+a=2-a

例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值. 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是 4a+b=1 又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1

例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离 分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.

例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间. 思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。

(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( ) (2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8) (2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为( ) 5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非 (3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为　　　　　.