人教A版 必修一 3.1·函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点

设问激疑，创设情景 问题1：求下列方程的根 (1) (2) (3)

思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

方程 x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 函数 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3 x －1 3 2 1 －2 －3 －4 . x y －1 3 2 1 5 4 函 数 的 图 象 y x －1 2 1 . . x1=－1,x2=3 无实数根 方程的实数根 x1=x2=1 函数的图象 与x轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点

判别式△ = b2－4ac △＞0 △=0 △＜0 方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根 两个不相等 的实数根x1 、x2 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 x y x1 x2 x y x y x1 函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象 函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有交点

函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。

练习：判断下列说法的正误: 函数 的零点是： (1)（-1,0）（3,0） (2)x=-1 (3)x=3 (4)-1和3

等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

[－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0 （－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根 . x y －1 3 2 1 －2 －3 －4 4 [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0 （－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根 [2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0 （2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根 观察对数函数f(x)=lgx的图象: [0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0 （0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根. x y 1 2 .

注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。 x y a b . 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。 注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。 x y a b .

例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。 解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表3-1和图3.1—3可知 x －2 －4 －6 10 5 y 2 4 8 6 12 14 7 3 1 9 . f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)·f(3)<0， 2 3 说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。 由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数，所以 它仅有一个零点。

达标检测： 1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0； 有 没有 x y （2）2x(x－2)＝－3； 有 没有 （3） x2 ＝4x－4； 有 没有 （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5. 有 没有 2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）f(x)= －x3－3x+5； （2）f(x)=2x · ln(x－2)－3； （3）f(x)=ex－1+4x－4; （4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.

它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。 y －1 3 2 1 4 8 6 －2 1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下： . 它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。

它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。 y －1 3 2 1 5 4 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： . 它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。

它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。 1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图象，如下： x y －1 3 2 1 5 4 6 . 它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。

(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5 1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为 2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋ 如下： x y －1 3 2 1 －3 －4 －6 －5 4 －2 它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 相等的实数根。 .

2(1) f(x)= －x3－3x+5 2(1)解：作出函数的图象，如下： y －1 3 2 1 5 4 . 因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。

因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为 2(2)解：作出函数的图象，如下： 因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数， 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。 . x y －1 3 2 1 5 -3 -2 4

2(3) f(x)=ex－1+4x－4 因为f(0)≈－3.63<0,f(1) ＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4 2(3)解：作出函数的图象，如下： . x y －1 3 2 1 －2 －3 －4 4 因为f(0)≈－3.63<0,f(1) ＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ， ＋∞）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。

2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x 2(4)解：作出函数的图象，如下： 因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0, f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0, 所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间 (－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有一个零点。 x －80 －1 －5 5 y 2 40 1 20 4 3 －60 －40 －20 －4 －3 －2 .

四、小结 1.零点的定义 零点。 2.等价关系 函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0 函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标 的实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标

3.函数零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。

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