第六部分 级数 但稍加思考可能发现, 应该应如何计算诸如sin15、e2、ln2等这些值的？这时, 借助于级数加以讨论是最好的方法之一. 第六部分 级数 但稍加思考可能发现, 应该应如何计算诸如sin15、e2、ln2等这些值的？这时, 借助于级数加以讨论是最好的方法之一. 级数较深入的内容涉及极限、导数与微分和积分. 因此, 级数内容是高等数学的内容之一,而级数内容在其他问题的研究中或多或少会遇到, 在最后部分的“概率统计”中会看到这一点. 实际上, 在诸如《科学计算》、《程序设计语言》中的内部函数中用到的地方较多. 因此, 学习一些关于级数的基本内容是必要的.

学习任务一 常数项级数 常数项级数是级数的基本内容之一, 学好它以后才能进一步学习函数项级数. 学习任务一 常数项级数 常数项级数是级数的基本内容之一, 学好它以后才能进一步学习函数项级数. 了解常数项级数的有关概念、基本性质和级数收敛的必要条件, 掌握常数项级数收敛与发散的定义、会讨论等比级数的敛散性.了解p-级数和调和级数的敛散性.

1. 级数的基本概念 “级数”就是“无限多项相加”，而无限多项相加与有限多项相加在有些地方是很不相同的. 无限多个常数相加就是常数项级数(可以简称级数). 例如, 是常数项级数.

设u1, u2, …, un, …是常数, 则 是常数项级数, 其中分别称为第一项、第二项、第三项、…、第n项、…. ，而un称为通项或一般项.

对于级数, 如果能写出其通项的表达式, 则可以借助于求和符号“”将其简单地表示出来. 例如, 因此, 一般的常数项级数可以表示为 注意 n是从1到  求和, 这与有限多项求和有所不同.

反过来, 若以的形式给出了级数, 如 要知道其每一项是什么, 即能写成如下形式 又如常数项级数

接下来的问题是，“无限多项相加”应该如何相加，也就是级数如何求和？这在历史上有过较长时间的争论. 例如, 若令 , 按有限多项相加的方法： 这显然是不可能的.

讨论的最终结论是：“无限多项相加”必须按“逐项相加”原则进行. 对于常数项级数 “逐项相加”是指：

这样一直进行下去. 当然, 一直进行下去的意思就是取极限. 将sn称为级数的前n项的部分和. 于是有如下定义 级数敛散性的定义 给定级数 , 前n项的部分和为sn = u1 + u2 + …+ un, (n = 1, 2, …). 若 存在, 则称级数 收敛. (若 , 则称级数 收敛到s,也就是说这无限多项相加的结果是s, 记为 )

若 不存在, 则称级数 发散(意思是说, 这无限多项相加不能得到最终结果). {“敛”不是“剑”} 对于级数1 + (-1) + 1 + (-1) + …, 由于“逐项相加”的结果是1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …. 根据级数敛散性的定义很容易知道，级数 是发散的.

例(根据敛散性定义判断) 判断下列级数是否收敛. 若级数收敛, 试求其和. (1) (2) Solution (1) 由于

于是 所以级数收敛到1, 即 (2)因为sn = 1 + 2 + … + n = ,而 (不存在)，所以级数 发散.

例(根据定义讨论等比级数的敛散性) 讨论等比级数 的敛散性, 其中a  0. Solution 由于该级数后项与前项之比为x (类似于等比数列,该级数称为等比级数). 当x = 1时, sn = na. 由于a  0, (不存在), 所以级数发散. 当x  1时, 分两种情况讨论.

(1) |x| <1. 这时由于 , 于是 所以, 级数收敛到 (2) |x| >1或x = -1. 这时由于 不存在, 于是 不存在. 所以等比级数发散. 综上所述, 等比级数 在|x| <1时收敛, 在|x| 1时均发散.

级数 称为p-级数. 注意 记住p-级数在p >1时收敛，在p  1时均发散. 特别地，当p = 1时，调和级数 发散.

2. 级数的基本性质 在讨论级数的敛散性时，下列三条性质会经常用到. 性质1 去掉、添加或改变级数的有限多项，级数的敛散性不变. 性质2 对于任意c  0，下列两个级数 (每一项都乘以同一个非零常数c) 敛散性不变.

性质3 若级数 与级数 都收敛，则级数 和级数收敛 (即两个收敛级数逐项相加或逐项相减得到的级数仍收敛). 例如, 因为等比级数 收敛, 等比级数 收敛, 所以上述级数收敛.

3. 级数收敛的必要条件 级数收敛的必要条件 若级数 收敛，则 Proof 设 , 则 , 进而 因为un = sn – sn-1, 所以 对于级数 , 由于 , 所以级数发散.

注意 上述结论反过来不成立,即由 不能得出级数 收敛. 例如,调和级数就满足 但调和级数 是发散的.

学习任务二 常数项级数审敛法 了解较简单的正项级数、交错级数敛散性的判定方法. 了解绝对收敛与条件收敛. 学习任务二 常数项级数审敛法 了解较简单的正项级数、交错级数敛散性的判定方法. 了解绝对收敛与条件收敛. 对于级数,首先要讨论的是其敛散性，其次已知收敛的情况下再去求和. 因此,审查级数是否收敛是很重要的.

1. 正项级数的审敛法 若级数 的每一项un  0, 则称 为正项级数. 例如, 是正项级数, 而 不是正项级数. 对于正项级数, 最常见的有“比较审敛法”和“比值审敛法”(审敛法就是审查是否收敛的方法).

比较审敛法 设 和 是正项级数,且un  vn, (n = 1, 2, 3, …). (1) 若 收敛, 则 收敛. (“大”的收敛则“小”的收敛.) (2) 若 发散, 则 发散. (“小”的发散则“大”的发散.)

例(比较审敛法的使用) 判断下列级数的敛散性. (1) (2) Solution (1) 因为 发散, 所以 发散. (2)因为 收敛, 所以 收敛.

比值审敛法 设 是正项级数, 且 (1) 当 <1时, 正项级数 收敛. (2) 当 >1时, 正项级数 发散. (当 =1时, 正项级数 可能收敛、也可能发散, 要使用其他方法判断.)

例(比值审敛法的使用) 判断下列级数的敛散性. (1) (2) Solution (1) 因为 所以 发散.

(2) 因为 所以 收敛.

2. 交错级数的审敛法 正与负交替出现的常数项级数称为交错级数. 例如, 级数 是交错级数. 级数1+ (-1) + 1 + (-1) + …是交错级数. 交错级数的一般形式是 其通项为

交错级数的审敛法 若交错级数 满足 (1) un  un+1(n = 1, 2, …) (2) 则交错级数 收敛.

根据交错级数审敛法知,典型的交错级数 收敛. 注意 记住交错级数

3. 绝对收敛与条件收敛 对于一般的常数项级数, 其项的形式比较复杂, 特别是正、负出现没有规律性, 因而其敛散性判断就很困难. 如果对级数 每项都去绝对值, 就得到正项级数 . 可以借助于正项级数 的审敛法判断收敛性. 那么，正项级数 与级数 的敛散性有什么关系?

若正项级数 收敛，则级数 收敛. 但反过来不成立，例如 绝对收敛与条件收敛的定义 给定级数 , 若正项级数 , 则称级数绝对收敛. 若级数 收敛, 但正项级数 发散, 则称级数条件收敛.

例(利用绝对收敛级数结论) 判断级数 的敛散性. Solution 考虑级数 . 因为 , 而级数 收敛, 所以 收敛, 进而级数 收敛.