第2章 复习

§2.1 静电场的标势 真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为： 引入： 则有： 山东大学物理学院 宗福建 2

§2.1 静电场的标势 ρ为自由电荷密度。 上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松（Poisson）方程。 给定边界条件就可以确定电势 的解。 山东大学物理学院 宗福建 3

§2.1 静电场的标势 可以验证，电势 是泊松（Poisson）方程 的一个特解。 山东大学物理学院 宗福建 4

标势的边值关系 山东大学物理学院 宗福建 5

标势的边值关系 两绝缘介质之间： 即， 山东大学物理学院 宗福建 6

标势的边值关系 两导电介质之间： 即， 山东大学物理学院 宗福建 7

标势的边值关系 金属表面： 即， 山东大学物理学院 宗福建 8

标势的边值关系 一边是导电介质、一边是绝缘介质： 即， 山东大学物理学院 宗福建 9

§2.2 唯一性定理 v s 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 §2.2 唯一性定理 1、可以均匀分区的单连通区域内静电场的唯一性 可以均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域 Vi ，每一个区域的介电常数为 εi 。设V内有给定的电荷分布 ρ（x）。电势 φ 在均匀区域 Vi 内满足泊松方程 在两区域 Vi 和 Vj 的分界上满足边值关系 s v 山东大学物理学院 宗福建 10

§2.2 唯一性定理 唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定 （1）电势φ | s 或 §2.2 唯一性定理 唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定 （1）电势φ | s 或 （2）电势的法向导数 ∂φ /∂n| s ， 则V内的电场唯一确定。 也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的φ或∂φ /∂n值。 山东大学物理学院 宗福建 11

§2.2 唯一性定理 2. 有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势 φi ，另一个是给定每个导体上的总电荷 Qi 。 山东大学物理学院 宗福建 12

§2.2 唯一性定理 设在某区域V内有一些导体，我们把除去导体内部以后的区域称为V' ，因而V' 的边界包括界面S以及每个导体的表面 Si 。设V' 内有给定电荷分布 ρ ，S上给定φ|s 或 ∂φ/∂n|s值。对上述第一种类型的问题，每个导体上的电势φi 亦给定，即给出了V' 所有边界上的φ或 ∂φ/∂n 值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V' 内的电场唯一地被确定。 山东大学物理学院 宗福建 13

§2.2 唯一性定理 对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下： §2.2 唯一性定理 对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下： 设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布ρ，给定各导体上的总电荷 Qi 以及V的边界S上的φ或 ∂φ/∂n 值，则V内的电场唯一确定。 也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程 山东大学物理学院 宗福建 14

§2.2 唯一性定理 在第i个导体上满足总电荷条件 （n为导体面的外法线）和等势面条件 φ|s= φi=常量 §2.2 唯一性定理 在第i个导体上满足总电荷条件 （n为导体面的外法线）和等势面条件 φ|s= φi=常量 以及在V的边界S上具有给定的φ|s 或 ∂φ/∂n|s 值。 山东大学物理学院 宗福建 15

§2.3 电像法 1、电像法的适用条件 我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影响用导体内部某个或某几个假想电荷来代替。注意我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布（在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然是只有一个点电荷Q），因而并不影响泊松方程，问题的关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能够满足边界条件，则我们所设想的假想电荷就可以用来代替导体面上的感应电荷分布，从而问题的解可以简单地表示出来。

§2.3 电像法 思考题1： 无限大导体上部有一个电偶极矩为P的电偶极子。求电势、电场分布。

§2.3 电像法 思考题2： 无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。

§2.3 电像法 思考题2： 无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。 象电荷数

§2.3 电像法

§2.3 电像法

§2.4 分离变量法 对一般情况，设泊松方程的解为： 则， 即： 泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解

§2.4 分离变量法 拉氏方程在球坐标系中的通解为 §2.4 分离变量法 拉氏方程在球坐标系中的通解为 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。Pnm（cosθ） 为缔和勒让德（Legendre）函数。

§2.4 分离变量法 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 §2.4 分离变量法 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。

§2.4 分离变量法 Pn（cosθ）为勒让德函数

思考题 1、半径为R0的介质球置于均匀外电场E0中（真空），求空间电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。 2、具有均匀外电场E0的均匀介质中有一个半径为R0的空洞，求空间电势和电场分布。 3、半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中（真空），求电势和导体上的电荷面密度。 4、在均匀外电场E0中置人—带均匀自由电荷 ρf 的介质球(电容率 ε0)，求空间各点的电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。

§2.6 电势的多极展开 设 f（x −x'）为 x −x' 的任一函数，在 x点附近 f（x −x'）的展开式为 山东大学物理学院 宗福建 山东大学物理学院 宗福建 27

§2.6 电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建 28

§2.6 电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建 29

§2.6 电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建 30

§2.6 电势的多极展开 山东大学物理学院 宗福建 31

习题解答 试证明：一对正负电荷组成的电荷系统，只要不是等量正负电荷，则必然存在一个球形等势能面，并给出该势能面的位置及半径。

习题解答 证：一对正负电荷组成的电荷系统，-q1，q2，且 q1<q2。取 q1 为坐标原点，q2在x轴上，坐标为（L,0,0）。则空间任意一点（x,y,z）处的电势为：

习题解答 考察零势能面

习题解答 考察零势能面

习题解答 考察零势能面

习题解答 一对正负电荷组成的电荷系统， -q1，q2，且 q1<q2。取 q1 为坐标原点，q2在x轴上，坐标为（L,0,0）。 则零势能面就是球形等势能面，该势能面的位置及半径为：

习题解答

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