第六模块 无穷级数 第五节 函数的幂级数展开 一、 麦克劳林 (Maclaurin) 公式 二、 直接展开法 三、 间接展开法
一、 麦克劳林(Maclaurin)公式 泰勒 (Taylor) 公式 如果函数 f(x) 在 x = x0 则在这个领域内有如下公式 : ①
其中 称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 . 就得到 ②
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数 ③ 那么它是否以函数 f(x) 为和函数呢 ? 我们称之为麦克劳林级数 .
若令麦克劳林级数 ③ 的前n + 1 项和为 即 那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关系， 可知 于是，当 时，有 反之，若 必有
这表明，麦克劳林级数 ③ 以 f(x) 为和函数的充要条件， ② 这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式 ： ④
也表示了函数的 幂级数展开式是唯一的 . 它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 . 幂级数 : 称为泰勒级数 .
二、 直接展开法 利用麦克劳林公式将函数 f(x) 展开成幂级数 的方法，称为直接展开法 . 例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数. 解 可以 得到
因此我们可以得到幂级数 ⑥ 显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . ⑥ 因为
≤ 注意到，对任一确定的 x 值， 因此其一般项当 n 时， 而级数 ⑥ 是绝对收敛的， 所以，当 n 时,
由此可知 , e ) ( x f = 确实收敛于 这表明级数 ⑥ 因此有
例 2 试将 解 于是可以得到幂级数
且它的收敛区间为 因为所给函数的麦克劳林公式的余项为 所以可以推知
≤ 因此得到
三、 间接展开法 例 3 试求函数 解 而 所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
例 4 将函数 展开成 x 的幂级数 . 解 注意到 而函数 的展开式由本章第四节例 1 可知 将上式两边同时积分
所以，上式 右端级数的收敛半径仍为 R = 1; 因为幂级数逐项积分后收敛半径不变， 而当 x = 1 时该级 数发散， 故收敛域为 1 < x ≤ 1 . 当 x = 1 时，该级数收敛 .
例 6 试将函数 x 的幂级数 . 展开成 解 因为
且 所以
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个， 因此所得幂级数的收敛区间为 1 < x < 1 . 故 R = 1，
例 7 将函数 代入得 解 令 x 1 = y ， 则 x = y + 1， 因 所以 收敛区间为 (0 , 2) .
例 8 试将函数 解 则原题就转化成 将函数 于是有
最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面， 最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面， 以便于读者查用 . ≤
其端点的收敛 性与 m 有关. 最后一个式子称为二项展开式， 收敛区间为 [1 , 1], 例如当 m > 0 时， 当 1 < m < 0 时，收敛区间为(1 , 1] .