第四章 函数的 积分学 第七节 定积分的换元积分法 与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元积分法 定理 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续． 函数 x = j(t) 在区间 [a, b ]上单调且有连续导数 j(t)， x = j(t) 的值在[a, b]上变化， 当 t 在[a, b](或[b, a])上变化时， 且 j(a) = a，j(b) = b(或j(a) = b，j (b ) = a ) 则
证 因为 f (x) 在区间[a, b]上连续， 所以它可积. 则由牛顿 - 莱布尼茨公式得 设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 由不定积分换元法得知 于是
例 2 计算 解 用定积分换元法. 于是 则 x = t2 ， dx = 2tdt，
例 3 计算 解 则 x = ln(t2 - 1) ， x t ln3 ln8 2 3 于是
例 4 设函数 f (x) 在对称区间[- a, a]上连续， 求证： (1) 则 (2) 当 f (x) 为偶函数时， 则 (3) 当 f (x) 为奇函数时， 证 (1) 根据定积分性质 3， 得 ①
对①式右端第一个积分用换元积分法， -a 0 a 0 ， 令 x = - t， 则 dx = - dt， 于是 ② 把 ② 式代入 ① 式中，得
(2) 因为 f (x) 是偶函数，即 f (- x) = f (x)， 得 (3) 因为 f (x) 是奇函数，即 f (- x) = - f (x)， 得
例 5 计算 且积分区间对称于原点， 解 易知 因此
例 6 计算 且积分区间对称于原点， 解 因为被积函数 得 0 1 ， 令 x = 2sint， 则 dx = 2cos tdt ， 于是 例 6 计算 且积分区间对称于原点， 解 因为被积函数 得 x t 0 1 ， 令 x = 2sint， 则 dx = 2cos tdt ， 于是
例 7 证明 证 根据三角函数关系 x t ， 则 dx = - dt ， 于是
特别地，当 f (sinx) = sinnx 时，
二、定积分的分部积分法 设函数 u = u(x)， v = v(x) 在区间 [a, b] 上具有连续导数， 由不定积分的分部积分法， 得 则 即
例 8 计算 解 根据定积分的分部积分公式得
例 9 计算 解 根据定积分的分部积分公式得
例 10 计算 解 先用换元法，然后再用分部积分法. ， 令 arcsinx = t， x = sin t， 则 dx = cos tdt， 例 10 计算 解 先用换元法，然后再用分部积分法. x t 0 1 ， 令 arcsinx = t， x = sin t， 则 dx = cos tdt， 于是有
例 11 计算 解 用定积分的分部积分法.
把上式看作以 In 为未知量的方程， 解之，得 即 称它为递推公式. 当 n 为偶数时，有
代入上式中，得 当 n 为奇数时，有 代入上式，得
例 12 计算 x t 0 1 ， 解 令 x = sin t， 则 dx = cos tdt， 于是有