北京师范大学珠海分校 2004.12.23 欧阳顺湘改编自网上材料 二元函数 概念、极限、连续 北京师范大学珠海分校 2004.12.23 欧阳顺湘改编自网上材料

§2 多元函数的极限与连续 一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性

回忆 （1） (直线上的)邻域

（1）（平面上的）邻域 ° °

（2）区间 开区间 闭区间 开区间与闭区间的区别

（2）区域 内点： 内点. 开集： 开集. 例如， 即为开集．

边界点： 边界点. 外点：

常见集合

1维、2 维空间 实数 x 数轴点. 实数全体表示直线(一维空间) 数组 (x, y) 平面点 (x, y) 全体表示平面(二维空间) 一一对应 实数 x 数轴点. 实数全体表示直线(一维空间) 一一对应 数组 (x, y) 平面点 (x, y) 全体表示平面(二维空间)

A与B的卡氏积（Cartesian Product） 卡氏集

无边和有边的矩形（长方形）区域

连通： 连通的.

开区域：连通的开集称为区域或开区域． 例如， 闭区域： 例如，

常见开区域、闭区域

常见开区域、闭区域

推广到多维

n 维空间 实数 x 数轴点. 实数全体表示直线(一维空间) 数组 (x, y) 平面点 (x, y) 全体表示平面(二维空间) 一一对应 实数 x 数轴点. 实数全体表示直线(一维空间) 一一对应 数组 (x, y) 平面点 (x, y) 全体表示平面(二维空间) 一一对应 数组 (x, y, z) 空间点 (x, y, z) 全体表示空间(三维空间) 推广： n 维数组 (x1, x2, … , xn) 全体称为 n 维空间，记为

n 维空间中两点间距离公式 设两点为 特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离． n 维空间中邻域概念： 区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．

对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 P∈E 与某一点 A 间的距离 |AP| 不超过 K，即 对于一切点 P∈E 成立，则称 E 为有界点集。 否则称为无界点集. 例如， 有界闭区域； 无界开区域．

二元函数定义 问题提出

一 问题的提出 （其中R是比例常数） 观察几个例子 例1 理想气体的体积V与温度T成正比，而与压强P成反比，它们之间的关系，由下面的公式给出 一 问题的提出 观察几个例子 例1 理想气体的体积V与温度T成正比，而与压强P成反比，它们之间的关系，由下面的公式给出 （其中R是比例常数） 例2 三角形的面积A依赖于三角形的两条边b和c,以及这两边的夹角C，它们之间的关系，由下面的公式给出 这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。

（5）一元函数的定义 回忆

点集 D ---定义域， --- 值域. x、y ---自变量，z ---因变量. 函数的两个要素: 定义域、对应法则. 类似地可定义三元及三元以上函数．

与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为

（6）二元函数 的图形 （如下页图）

二元函数的图形通常是一张曲面.

旋转抛物面 z . . o y x

二元函数的极限

二元函数的极限的直观定义 设函数 z=f(x,y) 在点 的某空心领域内有定义. 如果当点 P(x,y) 无限趋近于 时，函数 f(x,y) 无限趋近与一个常数 A，则称当 P(x,y) → 时，f(x,y) 以 A 为极限，记作

二元函数的极限的记号

二元函数的极限的数学定义 (epsilon-delta) 用数学语言将下面的语句严格化

例2 求证 证 当 时， 原结论成立．

说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （4）二重极限的几何意义： º U(P0,  )。 º U(P0,  )  > 0，P0 的去心 邻域 在 内，函数 的图形总在平面 及 之间。

注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 . 一元中 多元中

确定极限不存在的方法：

例3 设

例3 设 解 但取 其值随 k 的不同而变化。 故 不存在．

例3 设 解 教材中解法

例4 求 解

二元函数的连续性

二元函数的连续性 则称函数 在点 处连续.

二元函数的连续性 定义3′

函数在区域上的连续性 如果函数 f(x,y) 在其定义域 D 内的每一点都连续，则称函数 f(x,y) 在 D 上连续. 直观上，区域D上的二元连续函数的图形是区域 D 上的一张无孔无缝的连续曲面

函数的间断和间断点 如果函数 f(x,y) 在点 (x_0, y_0) 处不连续， 就称函数在点 (x_0,y_0) 处间断，

例如， 因此，

闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理 得介于这两值之间的任何值至少一次．

练习 Page 210 4 补充练习： 求极限：

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