第二章  多面体与旋转体 球的表面积 教学目标 1．使学生理解球的表面积公式的推导方法，并能熟记公式内容； 2．在引理的论证过程中，进一步要求学生树立转化的思想（把空间问题转化为平面问题）； 3．通过寻求如何研究球表面积的方法，培养学生应用无限分割和极限思想的意识，进而在实施推导公式的过程中，对学生进行“以直代曲”的辩证唯物主义思想教育． 教学重点和难点 本节教材的重点是掌握球的表面积的计算公式，而如何推导球的表面积公式是本节的难点． 教学设计过程 一、新课引入 师：（手持模型）今天，我们要研究的课题就是如何求得球的表面积．下面，请同学们各抒己见．（板书课题） 生甲：（脱口而出）可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法，设法剪开球面，使其展成平面图形而求得结果．

（同学们立即反驳，此办法不可能实现） 生甲：（申辩）如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表面就会被削下来，然后展开，再进行计算． 生乙：削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平．另外，条形表面也有一定的弯曲度． 生甲：那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也就接近平面图形了． 生丙：（好像受到了启发）我们要求球的表面积，可以先求半球面的大小．用一组平行于底面圆的平面去截球面，随着平行平面间距离的逐渐减小，原来弯曲的球面就转化为一族圆柱侧面的总和，圆柱侧面积有计算公式，那么再找到这一族圆柱侧面积之间的大小关系，最后求出这所有圆柱侧面积之和，我们要求的球表面积就可以解决了． 生丁：我想用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，问题也可以解决． …… 师：同学们的想法都很好．要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开的办法了，因为对球体而言，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成为平面图形．

大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案，都有一个共同的想法，这就是我们将要在高二进一步学习的极限思想．若把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形． 问题解决已有些眉目，再让咱们大家集思广议，完善求解方法． （课堂内鸦雀无声） （需引导一下） 二、新课 师：回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式，我们采取了什么办法？ 生：是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的． 师：当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长．当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长，这正是“以直代曲”的尝试． 我们是否可以对此方法稍加改造，来完成球的表面积计算公式的推导？ 生丙：我想用球的内接圆柱的侧面积来近似求球表面积，只要用越来越多的平行平面把球分割，那么所得到的许多个内接圆柱的侧面积的全体就越来越接近球的表面积了．

师：只能用球的内接圆柱去研究吗？ 生：圆台也可以． 师：下面，我们以圆台为例，证明一个预备定理．目的是求出球内接圆台的侧面积公式． （板书引理） 引理  球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个平行截面）的高为h，球心到母线的距离为P，那么圆台的侧面积为2πPh． 已知：球面O的内接圆台的高O1O2=h，球心O到母线AD的距离OE=P． 求证：S圆台侧=2πPh． 师：要利用圆台侧面积公式需寻找哪些几何量？ 生：圆台的上、下底面半径r1，r2和母线l． 师：对照公式S圆台侧=π（r1＋r2）l，则只需证明2Ph=（r1＋r2）l即可．

此题研究对象是一个组合体，我们如何沟通这两个几何体元素之间的关系？ 生：做圆台的轴截面，此截面正好是球的大圆所在平面． 证明：过圆台的轴的平面截圆台和球分别得轴截面ABCD和球的大圆⊙O，这时ABCD是⊙O的内接等腰梯形． 作OE⊥AD，垂足E是AD的中点，OE=P． 再作DG⊥AB，EF⊥O1O2，垂足分别是G，F，那么DG=h． 设圆台上、下底面半径为r1，r2，母线长为l，则

下一步，求半球面的面积．用n-1个平行于半球大圆面的平面将半球分为n个部分，使每一部分的母线都相等，则球心到它们的母线的距离都是p，而它们的高分别为h1，h2，h3，…，hn． 于是这些圆台、圆锥的侧面积的和为 S＝2πph1+2πph2+…+2πphn ＝2πp（h1＋h2＋…＋hn） =2πpR． 如果平行平面无限增加，这些圆台、圆锥的侧面和就无限地接近于半球面，同时p无限地接近于R．当p变为R时，侧面积的和S变为2πR2，我们把这个和作为半球面的面积． 由此，完成我们的研究任务，可得结论： 定理  球面面积等于它的大圆面积的4倍 师：球的表面积由几个几何量来确定？ 生：球的表面积只由球半径的大小决定．

三、课堂练习 例1  求出球的表面积与球的外切圆柱的侧面积之比． 师：球的外切圆柱与球有什么几何关系？ 生：球的外切圆柱的底面圆半径与球半径相同，圆柱的高为球的直径．（请一位同学板演） 解：因为S球面=4πR2，S圆柱侧=2πR（2R） 所以S球面∶S圆柱侧=1∶1． 例2  口答下面问题，并说明理由． （1）球的半径扩大n倍，它的面积扩大多少倍？ （2）球的面积扩大n倍，它的半径扩大多少倍？ （3）球大圆的面积扩大n倍，球面积扩大多少倍？ （4）球的面积扩大n倍，球的大圆面积扩大多少倍？

四、小结 在本节课内，我们讲了 （1）球表面积等于它的大圆面积的4倍． （2）“以直代曲”的研究方法． （3）无限分割和逐次逼近的数学方法． 五、作业 1．课本p．92．6， 2．课本p．92．7， 3．课本p．92．8， 4．两底面半径为r1和r2（r1＜r2）的圆台中有一个内切球，求这个球的表面积．（4πr1r2） 5．（思考题）球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球面的面积．（3πa2） （提示：把PA，PB，PC看成正方体内相交于一点的三条棱．因P，A，B，C在球面上，则此正方体内接于球．正方体的对角线恰为球的直径）