第3章 静态电磁场及其边值问题的解

本章内容 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法

3.1 静电场分析 学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1 静电场分析 学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力

3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程 积分形式： 微分形式： 本构关系： 2. 边界条件 或 若分界面上不存在面电荷，即 ，则 或

在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为 场矢量的折射关系 介质2 介质1 导体表面的边界条件 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为 或

3.1.2 电位函数 1. 电位函数的定义 由 即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。

2. 电位的表达式 对于连续的体分布电荷，由 故得 同理得，面电荷的电位： 线电荷的电位： 点电荷的电位：

上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得 3. 电位差 两端点乘 ，则有 将 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得 电场力做的功 P、Q 两点间的电位差 关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。

4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即 　 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即 选参考点 令参考点电位为零 电位确定值(电位差) 选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。 两点间电位差有定值

点电荷：设点电荷q在原点，参考点Q，场点 (电位考察点)P，选择路径P→M → Q(路径可以任意选择)进行积分，有 几种常见电荷分布的电位参考点 点电荷：设点电荷q在原点，参考点Q，场点 (电位考察点)P，选择路径P→M → Q(路径可以任意选择)进行积分，有 O Q rP M P rQ 积分贡献为零

如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 ，显然这种形式最简单。 线电荷：设线电荷l在原点，参考点Q，场点 (电位考察点)P，沿如前路径进行积分，有 如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得　　　　　　，显然这种形式最简单。

面电荷(例3.1.2)：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。设均匀电场E0，场中任意两点P1和P2的电位差为 R P2 P1 dl E0 r1 r2 O 

5. 电位的微分方程 标量泊松方程 在均匀介质中，有 在无源区域， 拉普拉斯方程

例 3.1.1 求电偶极子的电位. z 解 在球坐标系中 d o 用二项式展开，由于 ，得 代入上式，得 +q 电偶极子 z o d －q 解 在球坐标系中 用二项式展开，由于　　　，得 代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度 　等位线方程： 等位线 电场线 电偶极子的场图 　电场线微分方程： 将　 和　 代入上式，解得E线方程为

例3.1.2 求均匀电场的电位分布。 解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r ，则 若选择点O为电位参考点，即 ，则 在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即 ，则有 在圆柱坐标系中，取 与x 轴方向一致，即 ，而 ，故

例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。 解 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。 在带电线上位于 处的线元 ，它 到点 的距离 ， 则 x y z L -L

在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为 当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有 并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ= a 的点为电位参 考点，则有

6. 静电位的边界条件 设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时 媒质2 媒质1 由 和 若介质分界面上无自由电荷，即 常数， 导体表面上电位的边界条件：

解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程 例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。 解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程 o b a x y 两块无限大平行板 方程的解为

由此解得 利用边界条件，有 处， 处， 处， 最后得 所以

例：半径为a的带电导体球，已知球体电位为U， 求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等势体。 时：

时：

解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：

小结：求空间电场分布的方法 1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。

3.1.3 导体系统的电容与部分电容 电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。

1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。 孤立导体的电容 孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即 两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。

(2) 计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤： (1) 假定两导体上分别带电荷+q 和－q ； (3) 由 ，求出两导体间的电位差； (3) 由 ，求出两导体间的电位差； (4) 求比值 ，即得出所求电容。

例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。 解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间的电场 同心导体间的电压 球形电容器的电容 当 时， 孤立导体球的电容

例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线的轴线距离为D ，且D >> a ，求传输线单位长度的电容。 解 设两导线单位长度带电量分别为 和 。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两 导线的表面上。应用高斯定理和叠加原 理，可得到两导线之间的平面上任一点 P 的电场强度为 两导线间的电位差 故单位长度的电容为

例3.1.6 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为 同轴线 内外导体间的电位差 故得同轴线单位长度的电容为

＊ 2. 部份电容 　在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。 （1） 电位系数 在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为 式中： —— 自电位系数 —— 互电位系数

电位系数的特点： αi j 在数值上等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即 　αi j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关； 　αi j > 0 ； 　具有对称性，即αi j = αj i 。

（2） 电容系数 若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 式中： —— 自电容系数或自感应系数 —— 互电容系数或互感应系数

电容系数的特点： βi j 在数值上等于第 j个导体上的电位为一个单位、而其余导 体接地时，第 i 个导体上的电量，即 βi j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关； 　βi i > 0 、 ； 　具有对称性，即βi j = βj i 。

（3） 部分电容 将各导体的电量表示为 式中： —— 导体 i 与导体 j 之间的部分电容 —— 导体 i 与地之间的部分电容

部分电容的特点： Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第 i 个导 体上的电量； Ci j 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，第 i 个导体上的电量； Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关； 　Ci j > 0 ； 　具有对称性，即Ci j = Cj i 。

（4）等效电容 1 2 大地 大地上空的平行双导线 在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为 ，则比值 称为这两个导体间的等效电容。 如图所示，有三个部分电容 导线 1 和 2 间的等效电容为 导线 1 和大地间的等效电容为 导线 2 和大地间的等效电容为

3.1.4 静电场的能量 　静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。 　静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。

充电过程中某一时刻的电荷量为αq 、电位为α 。(0≤α≤1) 当α增加为(α+ dα)时，外电源做功为:α (q dα)。 1. 静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为αq 、电位为α 。(0≤α≤1) 当α增加为(α+ dα)时，外电源做功为:α (q dα)。 对α从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量We ，即 对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为

故体分布电荷的电场能量为 对于面分布电荷，电场能量为 对于多导体组成的带电系统，则有 式中： —— 第i 个导体所带的电荷 —— 第i 个导体的电位

2. 电场能量密度 电场能量密度： 电场的总能量： 对于线性、各向同性介质，则有 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。 2. 电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。 　电场能量密度： 　电场的总能量： 积分区域为电场所在的整个空间 　对于线性、各向同性介质，则有

推证： 由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有 ρ ρ＝0 S 故

例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。 解： 方法一，利用 计算 根据高斯定理求得电场强度 故

方法二：利用 计算 先求出电位分布 故

其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。 3.1.5 静电力 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。 虚位移法：假设第i 个带电导体在电场力Fi 的作用下发生位移dgi，则电场力做功dA＝Fi dgi ，系统的静电能量改变为dWe 。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为 其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。

1. 各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量 系统所改变的静电能量 不变 即 2. 各带电导体的电荷不变 此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS＝0，因此 q不变 式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。

3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导

3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 由J＝E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 恒定电场与静电场的重要区别： （1）恒定电场可以存在于导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 1. 基本方程 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 恒定电场的基本方程为 微分形式： 积分形式： 线性各向同性导电媒质的本构关系 若媒质是均匀的，则 恒定电场的电位函数 均匀导电媒质中没有体分布电荷 由

2. 恒定电场的边界条件 场矢量的边界条件 即 即 媒质2 媒质1 场矢量的折射关系 导电媒质分界面上的电荷面密度

电位的边界条件 说明： 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；

如2 >> 1、且2≠90°，则1＝0， 即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为 等位面； 媒质2 媒质1 如2 >> 1、且2≠90°，则1＝0， 即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为 等位面； 若媒质1为理想介质，即1＝0，则 J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即导体 中的电流和电场与分界面平行。 媒质2 媒质1

3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。

恒定电场与静电场的比拟 静电场（ 区域） 恒定电场（电源外） 基本方程 本构关系 位函数 边界条件 对应物理量 静电场 恒定电场

与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静止电荷，但其密度都不随时间变化 关于恒定电场的进一步说明 与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静止电荷，但其密度都不随时间变化 恒定电场同时存在于导电体外和导电体内，其表面同时有法向和切向分量，电场不垂直于表面，此时导电体不是等位体 E2 n 2 2 1 1 E1 电场矢量在分界面上的折射关系 如2>>1， 2≠90°，1＝0，电力线近似垂直良导体表面，近似等位体 如介质1为理想介质，1＝0，J1=0，导电体一侧中只有切向电流和切向电场 恒定电场问题可利用对应量变换，先变成静电场问题求解，最后再换回来 由J 的边界条件可得

3.3 恒定磁场分析 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感 3.3 恒定磁场分析 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感 3.3.4 恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力

3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 1. 基本方程 微分形式: 积分形式: 本构关系： 2. 边界条件 或 若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则 或

3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 1. 恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位或称磁矢位 矢量磁位的定义 由 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定　　　　，并称为库仑规范。

磁矢位的微分方程 矢量泊松方程 在无源区： 矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式

由此可得出 （可以证明满足 ） 对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 细线电流： 面电流： 利用磁矢位计算磁通量： 磁矢位的边界条件

一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间 中，则有 2. 恒定磁场的标量磁位 标量磁位的引入 　 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间 中，则有 标量磁位或磁标位 即在无传导电流（J＝0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。 ——等效磁荷体密度 磁标位的微分方程 将 代入

在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式 与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件 和 或 和 式中： —— 等效磁荷面密度

磁标位与静电位的比较 静电位 　　　　　 磁标位　 静电位　  　0　　 P 磁标位　 　 m 　 0　　m

的、磁力线不穿过导体的外磁通量o ；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。 3.3.3 电感 C I  细回路 1. 磁通与磁链 单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和 i C I o 粗回路 粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量o ；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。

2. 自感 设回路 C 中的电流为I ，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为，则磁链 与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值 称为回路 C 的自感系数，简称自感。 粗导体回路的自感：L = Li + Lo —— 内自感； —— 外自感 自感的特点： 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。

称为回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。 3. 互感 对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路 C2 ，当回路 C1 中通过电流 I1 时，不仅与回路 C1 交链的磁链与I1 成正比，而且与回路 C2 交链的磁链12 也与 I1 成正比，其比例系数 C1 C2 I1 I2 R o 称为回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。 同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为

互感的特点： 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数 M 为正值；反之，则互感系数 M 为负值。

3.3.4 恒定磁场的能量 1. 磁场能量 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。 磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。 假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。 假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。

当α增加为(α+ dα)时，回路中的感应电动势: 设回路从零开始充电，最终的电流为 I 、交链的磁链为 。 在时刻 t 的电流为i =αI 、磁链为ψ =α 。 (0≤α≤1) 当α增加为(α+ dα)时，回路中的感应电动势: 外加电压应为 所做的功 对α从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律，此功也就是电流为 I 的载流回路具有的磁场能量Wm ，即

例如，对于两个电流回路 C1 和回路C2 ，有 对于体分布电流，则有 对于N 个载流回路，则有 C1和C2的互能 回路C1的自有能

2. 磁场能量密度 磁场能量密度： 磁场的总能量： 对于线性、各向同性介质，则有 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。 2. 磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。 　磁场能量密度： 积分区域为电场所在的整个空间 　磁场的总能量： 　对于线性、各向同性介质，则有

推证： S 若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有 故

例3.3.9 同轴电缆的内导体半径为a ，外导体的内、外半径分别为 b 和 c ，如图所示。导体中通有电流 I ，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。 解：由安培环路定理，得

三个区域单位长度内的磁场能量分别为

单位长度内总的磁场能量为 单位长度的总自感 外导体的内自感 内导体的内自感 内外导体间的外自感

3.3.5 磁场力 虚位移原理 假定第i 个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi 。此时，磁场力做功d A＝Fi dgi，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，有 式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。 具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。

1 . 各回路电流维持不变 若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量 系统增加的磁能 即 于是有 不变 故得到

2. 各回路的磁通不变 若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即 dWS＝0，因此 不变 故得到 式中的“－”号表示磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的 。

3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程 讨论内容 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 　边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程 讨论内容 3.4.1 边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理

3.4.1 边值问题的类型 　第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面上的位函数值，即 　第二类边值问题（或纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 　第三类边值问题（或混合边值问题） 已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值，即

周期边界条件 自然边界条件 （无界空间） 衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如

例： （第一类边值问题） 例： （第三类边值问题）

3.4.2 惟一性定理 　惟一性定理的表述 在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。 　惟一性定理的重要意义 　给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 　为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 　为求解结果的正确性提供了判据

　惟一性定理的证明 反证法：假设解不惟一，则有两个位函数 和 在场域V内满足同样的方程，即 且在边界面S 上满足同样的边界条件。 令 ，则在场域V内 且在边界面S 上有 或 或

由格林第一恒等式 可得到 对于第一类边界条件： 对于第二类边界条件：若 和 取同一点Q为参考点 ，则 对于第三类边界条件：

唯一性定理综述 涵义：只要给定了边界条件，标量位拉方程或泊方程的解就是唯一确定的（至多相差一个常数） 意义：无论用什么方法求得拉方程或泊方程的解，只要满足给定的边界条件，所得的解就是正确的