第九讲 : §3.1 － 3.3 数学家集体 数学基础 抽象代数学

国际数学家大会 世界哥伦布博览会 : 芝加哥 1893 克莱因 ( 德, ): 数学现状

国际数学家大会 瑞士苏黎世工业大学 （ 1897 年第一届国际数学家大会在此举行）

国际数学家大会 国际数学家大会 (1897 ) 庞加莱 ( 法， ) 关于纯分析和数学物理的报告 克莱因 ( 德, )

国际数学家大会 揭开隐藏在未来之中的面纱, 探索未来世纪 的发展前景, 谁不高兴 ? 23 个数学问题 外尔 ( 德, ): 希尔伯特就像穿杂色衣 服的风笛手, 他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老 鼠, 跟着他跳进了数学的深河 魏伊 ( 法, ): 希尔伯特问题就是一张 航图, 过去 50 年间, 数学家总是按照这张航图来衡 量他们的进步 2000 年国际数学年 希尔伯特 ( 德, 1862 － 1943) ：数学问题 国际数学家大会 (1900)

国际数学家大会 莫斯科 1966

国际数学家大会 赫尔辛基 1978

国际数学家大会 华沙 1982/1983

国际数学家大会 京都 1990

国际数学家大会 布达佩斯 1996

国际数学家大会 北京 2002

国际数学家大会 马德里 2006

数学家集体 布尔巴基学派 ( 法, ) 数学基本结构 代数结构序结构拓扑结构

数学家集体 布尔巴基学派 ( 法, ) H. 嘉当 ( 法, ) 狄多涅 ( 法, )

谢瓦莱 ( 法, ) 德尔萨特 ( 法, ) 韦伊 ( 法, ) 数学家集体 布尔巴基学派 ( 法, )

菲尔兹奖 (1936- ) 菲尔兹 ( 加, ) 数学奖 1924 年多伦多国际数学家大会主席 1932 年苏黎世国际数学家大会通过 1936 年奥斯陆国际数学家大会颁发 1974 年温哥华国际数学家大会规定 只授予 40 岁以下的数学家

菲尔兹奖 (1936- ) 菲尔兹奖章 ( 正面 - 阿基米德头像 ) 菲尔兹奖章 ( 反面 - 超越人类极限, 做宇宙主人 ) 数学奖

菲尔兹奖 (1936- ) 1936 年阿尔福斯 ( 芬 - 美, ) 关于复分析获奖 1936 年道格拉斯 ( 美, ) 关于极小曲面获奖

1983 年丘成桐 ( 中 - 美, ) 关于微分几何获奖 数学奖 菲尔兹奖 (1936- )

拉福格 ( 法, ) 弗沃特斯基 ( 俄, ) 数学奖 菲尔兹奖 (1936- ) 2002 年 ICM

2002 年 ICM 江泽民主席与获奖者 数学奖 菲尔兹奖 (1936- )

沃尔夫 ( 以, ) 数学奖 沃尔夫奖 (1978- ) 沃尔夫基金会

1978 年盖尔范德 ( 苏联, ) 关于 泛函分析、群表示论获奖 数学奖 沃尔夫奖 (1978- ) 1978 年西格尔 ( 德, ) 关于数论、多复变函数获奖

1984 年陈省身 ( 中 - 美, ) 关于微分几何获奖 数学奖 沃尔夫奖 (1978- )

数学奖 阿贝尔奖 (2003- ) 阿贝尔 ( 挪, 1802 － 1829 ) 为实现 1898 年挪威数学家李 ( ) 明确表达的要求中 形成的一项提议发展而来 挪威文理学院在阿贝尔诞辰 200 周年之际设立, 从 2003 年起 每年颁发一次

2003 年塞尔 ( 法, ) 关于代数拓扑、代数几何获奖 数学奖 阿贝尔奖 (2003- )

数理逻辑 弗雷格 ( 德, ) 数学基础  来源于对数学和逻辑基础的探讨, 莱布尼茨 ( 德, ) 提出思维演算的思想  德 摩根 ( 英, ) 和布尔 ( 英, ) 用代数方法建立了逻辑代数, 1847 年布 尔出版《逻辑的数学分析》  1879 年《概念语言》提供数理逻辑的体系, 一切数学可以化归为逻辑, 成为数理逻辑和 逻辑主义的奠基人和创始人  1884 年《算术基础》作为逻辑的延展建立 数学, 从逻辑推出算术  由于罗素 ( 英, ) 的工作, 弗雷格 的工作受到重视

数理逻辑 皮亚诺 ( 意, ) 数学基础  以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数 学基础的研究开创了新局面  1889 年《算术原理新方法》完成了整数的 公理化处理, 给出了自然数公理  年 5 卷本的《数学公式汇编》试 图从逻辑记号的若干基本公理出发, 建立整 个数学体系, 希望将数理逻辑的概念应用在 数学各分支的所有已知结果上  对罗素 ( 英, ) 及布尔巴基学派的 工作产生影响

数学基础 公理集合论  康托 ( 德, ) 意识到不加限制地谈 论 “ 集合的集合 ” 会导致矛盾.  集合论矛盾的出现，形成第三次数学危机， 动摇了整个数学的基础, 导致罗素类型论和策 梅罗系统的诞生 罗素 ( 英, )  1903 年罗素悖论 : 把集合分成两类 ： 凡不 以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以 自身做为元素的集合称为第二类的集合，每 个集合或为第一类集合或为第二类集合．设 M 表示第一类集合全体所成的集合．若 M 是第 一类集, 则 M M, 由 M 的定义, M M, 矛盾 ; 若 M 是第二类集, 则 M M, 由 M 的定义, M M, 矛盾.

策梅罗 ( 德, ) 数学基础 公理集合论  公理集合论的主要开创者  1904 年发表 “ 每一集合都能够被良序地证明 ”, 提 出了良序定理, 选择公理  选择公理是平行公理之外, 最引人注意的一条 数学公理  1908 年给出策梅罗系统  年费兰克尔 ( 德, ) 和斯克 朗 ( 挪, ) 独立提出 “ 替换公理 ”, 1925 年冯 诺伊曼 ( 匈 - 美, ) 提出 “ 正则公理 ”  年策梅罗确定为 “ 策梅罗 - 费兰克尔公 理系统 ”(ZF 系统, ZFC 系统 )

费兰克尔 ( 德, ) 斯克朗 ( 挪, ) 冯 诺伊曼 ( 匈 - 美, ) 数学基础 公理集合论

数学基础 形式主义纲领  1900 年希尔伯特问题 : 连续统假设；算术 公理的相容性  1922 年提出希尔伯特纲领 : 将数学形式化, 构成形式系统, 通过有限的证明方法, 借助 超限公理, 导出无矛盾的数学系统  1928 年提出 4 个实施步骤 : 希尔伯特 ( 德, ) 分析的无矛盾性 选择公理的无矛盾性 算术及分析形式的完全性 一阶谓词逻辑的完全性

数学基础 哥德尔 ( 奥 - 美, ) 哥德尔时代  完全性定理 : 1929 年证明了一阶谓词演 算的完全性  不完全性定理 : 1930 年证明了如果一个 包括初等数论的形式系统是无矛盾的，那 就是不完全的 ; 如果初等算术系统是无矛 盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明  相容性定理 : 1938 年证明了选择公理、 连续统假设的相容性  数理逻辑 : 证明论、递归论、公理集合论 及模型论  亚里士多德 ( 希, 前 384 －前 322) 和莱布尼 茨 ( 德, ) 以来最伟大的逻辑学家

数学基础 科恩 ( 美, )  1963 年证明了连续统假设 的独立性定理  1966 年获得菲尔兹奖

三大学派 逻辑主义 罗素 ( 英, ) 直觉主义 布劳威尔 ( 荷, ) 形式主义 希尔伯特 ( 德, ) 数学基础 《数学原理》《论数学基础》希尔伯特纲领

基本代数结构 群环域 抽象代数学 希尔伯特 ( 德, ) 的抽象思维及公理方法的产物 经典代数学 : 求解代数方程和代数方程组 抽象代数学 : 公理化方法研究具有代数结构的集合

诺特 ( 德, ) 与阿廷 ( 奥, ) 抽象代数学 诺特 阿廷 范 德 瓦尔登 ( 荷, ) 《近世代数学》 ( ) 范 德 瓦尔登

有理数域、实数域、复数域 抽象代数学 —— 域 亨泽尔 1908 年亨泽尔 ( 德, ) 《代数数论》中 p 进域 伽罗瓦 韦伯 1830 年伽罗瓦域 ( 法, ), 1893 年韦伯 ( 德, ) 抽象域 施坦尼茨 1910 年施坦尼茨 ( 德, ) 《域的代数理论》

整数环 抽象代数学 —— 环 哈密顿 凯莱 1843 年哈密顿 ( 爱尔兰, ) 发现四元数, 1845 年凯莱 ( 英, ) 引入八元数 魏德本 1900 年摩林 ( 俄, ) 单结合代数定理, 1907 年魏德本 ( 美, ) 线性结合代数定理 阿廷 1928 年阿廷 ( 奥, ) 环的结构定理

方程论, 1830 年伽罗瓦 ( 法, ) 置换群 抽象代数学 —— 群 戴克 1849 年凯莱 ( 英, ) 、 1882 年戴克 ( 德, ) 引 入抽象群 弗罗贝尼斯 ( 德, ) 和舒尔 ( 德, ) 的群表示论 弗罗贝尼斯 舒尔 1981 年高林斯坦 ( 美, ) 的有限单群分类问题 高林斯坦