第二章 导数与微分 主讲人：张少强 Tianjin Normal University 计算机与信息工程学院
二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 一、微分的概念函数的微分
引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 面积的增量为 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在当 x 在 取 得增量 时,时, 变到 边长由 其
的微分, 定义 : 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△ x 的常数 ) 则称函数 而 称为 记作 即 定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微,
定理 : 函数 证 : “ 必要性 ” 已知 在点 可微, 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即
定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “ 充分性 ” 已知 即 在点 的可导, 则
说明 : 时,时, 所以 时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小, 当 故当
微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 微商 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记
例如, 基本初等函数的微分公式 ( 见 P115 表 ) 又如,
二、 微分运算法则 设 u(x), v(x) 均可微, 则 (C 为常数 ) 分别可微, 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数
例 1. 求 解:解:
例 2. 设 求 解 : 利用一阶微分形式不变性, 有 例 3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 : 说明 : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意 : 数学中的反问题往往出现多值性.
数学中的反问题往往出现多值性, 例如
三、 微分在近似计算中的应用 当很小时, 使用原则 : 得近似等式 :
特别当 很小时, 常用近似公式 : 很小 ) 证明 : 令 得
的近似值. 解 : 设 取 则 例 4. 求
的近似值. 解:解: 例 5. 计算
例 6. 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 解 : 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克. 估计一下, 每只球需 要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm,
内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导 可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差 *
1. 思考与练习
4. 设 由方程确定, 解:解: 方程两边求微分, 得 当 时 由上式得 求
作业 P122 3 (4), (7), (8), (9), (10) ; 7 (1) ; 10 (2) ; P125 总习题二 1 ， 2 ， 5 （ 1 ）， 6, 7 ， 8 ， 10, 11(2) ， 12,14