1 第二章 控制系统的数学模型

2 数学模型 [ 数学模型 ] ： 描述控制系统变量（物理量）之间动态关 系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函 数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。 [ 线性系统 ] ： 如果系统满足叠加原理，则称其为线性系 统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系 统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。 [ 线性定常系统和线性时变系统 ] ： 可以用线性定常 （常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如 果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系 统为线性时变系统。

3 控制系统微分方程的列写 用解析法建立控制系统的数学模型时，应根据系统 及元部件的特点和连接关系，按照它们遵循的物理定律， 列写出各物理量之间的数学关系式。 建立系统的微分方程的一般步骤如下： 确定系统和各元部件的输入量和输出量； 对系统中每一个元部件列写出与其输入、输出量有关 的物理的、化学的方程； 对上述方程进行适当的简化。比如略去一些对系统影 响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等； 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有 元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入 和输出关系的微分方程。

4 传递函数的概念 线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 零初始条件是指当时，系统输入量、输出量以及它们 的各阶导数均为零。 设线性定常系统的微分方程一般式为： 上式对应的传递函数为：

5 传递函数的性质 传递函数只与系统自身的结构参数有关，与系统的输 入、输出形式无关。 传递函数是复变量 S 的有理分式函数，对于大多数物 理系统（环节或元件），其分子多项式的次数 m 不高于分 母多项式的次数 n ，且所有系数都为实数。 传递函数与系统的微分方程相联系，两者可以互相转 换。 传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 传递函数与 S 平面上一定的零极点图相对应。

6 传递函数的概念多用于单输入、单输出线性定常 系统。 传递函数原则上只反映零初始条件下的动态特性。 传递函数的局限性

7 典型环节的传递函数 比例环节： ； 积分环节： ； 惯性环节： ； 振荡环节： 微分环节： ； 一阶微分环节： ； 二阶微分环节： ； 延迟环节： 。 线性控制系统都是由上述几种典型环节组合而成的。

8 传递函数的求法 有以下方法可求取传递函数： 由系统的微分方程求取传递函数。 由脉冲响应函数求传递函数。 由系统的结构图或信号流图求取传递函数。 由开环频率特性求传递函数。 由状态空间表达式求。

9 结构图 结构图是系统中各个环节的传递函数和信号流向的图形 表示。 组成：由信号线、环节传递函数方框、引出点（分支点 ）和比较点（相加点）组成。 特点： 具有概括性和抽象性，不表示某具体系统的物理结构。 比如一个结构图可以表示一个机械系统也可以表示一个电 路系统。 同一系统的结构图形式不唯一，但在输入、输出信号点 确定后，对应的传递函数是唯一的。

10 结构图的基本连接方式 串联：串联环节的总传递函数为 并联：并联环节的总传递函数为 反馈连接 ： 式中： —— 前向通道传递函数； —— 开环传递函数； —— 反馈通道传递函数。 其闭环传函为：

11 结构图的等效变换 变换方法：分支点前移和后移；相加点的前移和后移； 串联，并联和反馈连接。 变换原则：分支点或相加点移动前后必须保持信号的等 效性。即在结构图变换的过程中，被变换部分的输入、 输出应保持不变，这样才能确保变换前后结构图的等效 性。 注意： 分支点和相加点之间一般不宜互相变换位置。 相邻的分支点或相加点可以任意变换位置，而不改变 其等效性。 “ － ” 号可以在信号线上越过方框移动，但不能越过相 加点和分支点 。

12 信号流图和梅逊公式 信号流图的绘制方法： ①根据结构图； ②列出环节的拉氏方程，按变量间的数 学关系绘制。 ③根据状态空间表达式。 梅逊公式： 式中： — 从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）； — 从源节点到阱节点的前向通路总数； — 从源节点到阱节点的第 条前向通路传递函数；

13 梅逊公式 ( 续 ) — 流图特征式。 式中： 为所有单独回路增益之和； 为在所有互不 接触的单独回路中，每次取其中两个回路的增益乘积之 和； 为在所有互不接触的单独回路中，每次取其中 三个回路的回路增益的乘积之和。 — 流图余因子式。它等于流图特征式 中除去与第 条前向通道相接触的回路增益项以后的剩余部分。即与 第 条前向通路不接触部分的 值。 注意：梅逊公式只能用于输入节点和输出节点之间， 而不适用任意两个混合节点之间。

14 脉冲响应函数 脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想 单位脉冲输入信号的响应。脉冲响应函数等于系统传递 函数的拉氏反变换。 故： 或 式中， g(t) 是脉冲响应函数，上述两式称为卷积。 表示为： 任何输入 x(t) 下的输出 y(t) 为：

15 应掌握的内容 建立系统微分方程的方法； 传递函数的概念和性质； 传递函数和微分方程之间的关系； 结构图的绘制和等效变换； 结构图和信号流图的相互转换； 梅逊公式极其应用。

16 第二章典型例题

17 [ 例 1] 系统结构图如下图所示，求系统的传递函数。   [ 解 ] ：进行如下图所示的等效变换：    

18  由上式可求出系统的传递函数为： 注意： 等效变换时，应将分支点 ( 相加点 ) 向另外的分支点 ( 相 加点 ) 移动，一般不宜向另外的相加点 ( 分支点 ) 移动 。 用结构图等效简化的方法有多种，但结果是唯一的。 若不可避免的出现分支点和相加点互相移动时，可能 比较困难，可采用梅逊公式求解。

19 [ 例 2] 系统如下图所示，用梅逊公式求 ， 和 。 1 H 2 H    1 、求 C(s)/R(s) ： 该系统有两条前向通道，三个独立回路。 其中 和 不接触。

20 2 、求 。该系统该有两条前向通路，三个独立回路。 3 、求 。 要仔细找出每一个前向通路，并判断独立回路之间，独 立回路与前向通路之间是否接触。