第二节 换元积分法 一、第一类换元积分 法（凑微分法） 二、第二类换元积分法
问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、第一类换元积分法（凑微分法）
在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理
第一类换元公式（凑微分法） 说明使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理 1
例 1 求 解（一） 解（二） 解（三）
例 2 求 解 一般地
例 3 求 解
例 4 求 解
例 5 求 解
例 6 求 解
例 7 求 解
例 8 求 解
例 9 求 原式
例 10 求 解
例 11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例 12 求 解
例 13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）
解（二） 类似地可推出
解 例 14 设 求. 令
例 15 求 解
问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用 “ 凑微分 ” 即可求出结果） 二、第二类换元积分法
证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理 2
第二类积分换元公式
例 16 求 解 令
例 17 求 解令
例 18 求 解 令
说明（ 1 ） 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令
积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定. 说明 (2) 例 19 求 （三角代换很繁琐） 令 解
例 20 求 解 令
说明 (3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例 21 求 令 解
例 22 求 解 令 （分母的阶较高）
说明 (4) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例 23 求 解 令
基本积分表基本积分表
小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表 (2)
思考题 求积分
思考题解答
练 习 题
练习题答案