第二讲：连续、导数、微分 1 函数的连续性 2 导数的概念 3 函数微分 (1) (2) (3)
一、函数的连续性 1. 函数的增量
2. 连续的定义
例1例1 证 由定义 2 知
3. 单侧连续 定理
例2例2 解 右连续但不左连续,
4. 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上 的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如,
二、函数的间断点
1. 跳跃间断点 例4例4 解
2. 可去间断点 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数 的定义, 则可使其变为连续点.
解 例
如 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点
3. 第二类间断点 例6例6 解
例7例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
例8例8 解
三、小结 1. 函数在一点连续必须满足的三个条件 ; 3. 间断点的分类与判别 ; 2. 区间上的连续函数 ; 第一类间断点 : 可去型, 跳跃型. 第二类间断点 : 无穷型, 振荡型. 间断点 ( 见下图 )
可去型 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 o y x o y x o y x
闭区间上连续函数的性质： 一、最大值和最小值定理 定义 : 例如,
定理 1( 最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 注意 : 1. 若区间是开区间, 定理不一定成立 ; 2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立.
定理 2( 有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证
二、介值定理 定义 :
几何解释 :
几何解释 : M B C A m a b 证 由零点定理,
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 例1例1 证 由零点定理,
例2例2 证 由零点定理,
三、小结 四个定理 有界性定理 ; 最值定理 ; 介值定理 ; 根的存在性定理. 注意 1 ．闭区间； 2 ．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1. 直接法 : 先利用最值定理, 再利用介值定理 ; 2. 辅助函数法 : 先作辅助函数 F(x), 再利用零点定理 ;
如图, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线. 极限位置即 2 导数的概念
二、导数的定义 定义
其它形式 即
★ ★ 关于导数的说明：
注意 : ★
★ 2. 右导数 : 单侧导数 1. 左导数 : ★
★ ★
三、由定义求导数 步骤 : 例1例1 解
例2例2 解
例3例3 解 更一般地 例如,
例4例4 解
例5例5 解
例6例6 解
四、导数的几何意义 1. 几何意义 切线方程为 法线方程为
例7例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为
五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证
例8例8 解
六、小结 1. 导数的实质 : 增量比的极限 ; 3. 导数的几何意义 : 切线的斜率 ; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 ; 5. 求导数最基本的方法 : 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 连续 直接用定义 ; 看左右导数是否存在且相等.
思考题
思考题解答
3 微分： 问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
二、微分的定义 定义 ( 微分的实质 )
由定义知 :
三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性
(2) 充分性
例1例1 解
微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
例2例2 解 例3例3 解
六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性
例4例4 解 例3例3 解
例5例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.
七、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★