第 6 章 傅立叶变换 6.1 傅立叶积分 6.1 傅立叶积分 6.2 傅立叶变换 6.2 傅立叶变换 6.3 函数及其傅立叶变换 6.3 函数及其傅立叶变换 6.4 傅立叶变换的性质 6.4 傅立叶变换的性质
6.1 傅立叶积分 主值意义下的广义积分 定义 1 设函数 在实轴的任何有限区间上都 可积. 若极限 存在, 则称在主值 意义下 在区间 上的广义积分收敛, 记为
例 1 计算 为实常数） 解 我们可以证明 为实数 ) 令 则
例 2 设 计算积分 解
上式 (1) 称为函数 的复指数形式的傅里叶积 分公式, 而等号右端的积分式称为 的傅里叶 积分 ( 简称傅氏积分 ). 从例 2 可以看出, 函数 存在如下关系
若函数 在任何有限区间上满足狄氏 条件（即函数在任何有限区间上满足： (1 ） 连续或只有有限个第一类间断点 (2) 至多有 有限个极值点）, 并且在 上绝对可 积则有： 傅氏积分存在定理 为连续点 为间断点
也叫做 的傅氏积分表达式 傅立叶变换的概念 6.2 傅立叶变换 叫做的傅氏变换, 象函数, 可记做 = ℱ [ ] 叫做的傅氏逆变换, 象原函数,=ℱ=ℱ
例 3 求函数 的傅氏变换 解
例 4 求函数 的傅氏变换 和傅氏积分表达式. 解解
若 上式右端为 于是
6.2.2 傅氏变换的物理意义 — 频谱 称为的频谱函数 其模 称为的振幅频谱 可以证明, 频谱为偶函数, 即
6.3 －函数及其傅立叶变换 在物理和工程技术中, 除了用到指数衰减函数 外, 还常常会碰到单位脉冲函数. 因为在许多物理现 象中, 除了有连续分布的物理量外, 还会有集中在一 点的量（点源）, 或者具有脉冲性质的量. 例如瞬间 作用的冲击力, 电脉冲等. 在电学中, 我们要研究线 性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电 流；在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的 运动情况等. 研究这类问题就会产生我们要介绍的 脉冲函数. 有了这种函数, 对于许多集中在一点或一 瞬间的量, 例如点电荷、点热源、集中于一点的质 量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等, 就能够像 处理连续分布的量那样, 用统一的方式来加以解决.
6.3.1 函数的定义 （ 1 ）看作矩形脉冲的极限 （ 2 ） 函数的数学定义 （ 3 ）物理学家狄拉克给出的定义 满足下列两个条件的函数称为 函数： Ⅰ Ⅱ
1 函数用一个长度等于 1 的有向线段来表示, 如下图 o
1 如下图 o 定义为满足下列条件的函数
6.3.2 函数的性质 （ 1 ）对任意的连续函数, 都有 （2）（2）函数为偶函数, 即
（3）（3） 其中, 称为单位阶跃函数. 反之, 有.
6.3.3 函数的傅立叶变换 由于 =ℱ=ℱ 可见, ℱ []=1, ℱ -1 [1]=. 与常数 1 构成了一个傅氏变换对, 即 与 也构成了一个傅氏变换对, 即
6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换 对 例 5 可以证明单位阶跃函数 的傅氏变换为 的积分表达式为
例 6 证明 的傅氏变换为 证明 =ℱ=ℱ 所以
例 7 求正弦函数 的傅氏变换 可以证明 ℱ ℱ
6.4 傅立叶变换的性质 线性性质 ℱ =ℱ=ℱ 设 为常数则 =ℱ=ℱ ℱ
6.4.2 对称性质 若 =ℱ=ℱ 则以 为自变量的函数 的象函数为 即 ℱ即 ℱ ℱ 相似性质 =ℱ=ℱ 若则 ℱ ℱ
6.4.4 平移性质 （ 1 ）象原函数的平移性质 若 =ℱ 为实常数, 则 ℱ ℱ
例 8 求ℱ ℱ 解 因为 所以 ℱ
（ 2 ）象函数的平移性质 若 =ℱ=ℱ 为实常数, 则 ℱ ℱ
例 9 已知 ℱ 求 ℱ 解 ℱ ℱ 显然 一般地 ℱ
且 则 微分性质 （ 1 ）象原函数的微分性质 若 =ℱ=ℱ ℱ 一般地, 若 ℱ 则 ℱ
例 10 证明 ℱ 证明 因为 所以 ℱ ℱ ℱ 一般地 ℱ
（ 2 ）象函数的微分性质 若 =ℱ=ℱ 则 ℱ 或 ℱ 例 11 已知 ℱ 求 ℱ 解 ℱ
6.4.6 积分性质 若 =ℱ=ℱ ℱ 则 在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件, 若不满足, 则这个广义积分应改为 ℱ
6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 1．1． 上的卷积定义 若给定两个函数, 则积分 称为函数 的卷积, 记为
卷积满足下列性质
例 12 对函数计算卷积 解 所以
2 ．傅氏变换的卷积定理 =ℱ=ℱ =ℱ=ℱ (1) 若 则 ℱ ℱ
=ℱ=ℱ =ℱ=ℱ (2) 频谱卷积定理 则 ℱ 若