第二章 系统建模方法学和模型处理技术 本章重点：典型的简单系统的建模方法；传函，微分方程，状态方程之间的转换关系；模拟结构图。 第二章　系统建模方法学和模型处理技术 　　 建模是仿真的基础，系统模型化技术是系统仿真的核心。 本章主要内容：建模方法、模型转换方法。 本章重点：典型的简单系统的建模方法；传函，微分方程，状态方程之间的转换关系；模拟结构图。

2.2 建模方法学 2.2.1 系统建模的抽象化与形式化 描述 　　 模型与真实世界之间最重要的关系之一就是抽象和映射。 抽象过程是建模的基础。

建模过程： 抽象：抽象是模型与真实的最重要的关系。可以用集合定义。 理论构造：在几个抽象的集合基础上建立复合的集合结构，其中包括特定的函数关系，此过程称为理论构造。 具体化：实现抽象模型结构与真实系统之间的联系过程称为具体化，可以用一个复杂度适当的抽象模型，详细精确地描述一个给定的系统。

在建立一个数学描述时，首先需要建立几个抽象，定义几个集合：输入集、输出集、状态变量集。 　　 在建立一个数学描述时，首先需要建立几个抽象，定义几个集合：输入集、输出集、状态变量集。 X输入集：代表界面的一部分，外部环境通过它与系统发生关系。 Y输出集：代表界面的一部分，系统通过它作用于环境。 Q状态集：表示系统的记忆，即过去历史的继承，它影响着现在和未来的响应。 其他的还有: T时间集 输入段集：某时间间隔内系统的输入模式，是（X，T）的一个子集。 状态转移函数：是一个映射。 输出函数：是一个映射。

模型的几种描述水平 建模的本质是在一对系统之间建立一种相似关系，而仿真的本质则是在建模和仿真程序两者之间建立某种相似关系。 因为系统具有内部结构和外部行为，因此所建立的这些相似关系应具有两个基本的水平，即行为水平和结构水平。

行为水平 人们在这个水平上描述系统，是将它看成一个黑(black-box),并且对它施加一个输入信号，然后观测其输出信号。 行为水平 　 人们在这个水平上描述系统，是将它看成一个黑(black-box),并且对它施加一个输入信号，然后观测其输出信号。 加到黑盒上的以箭头表示的某个变量被视为输入，它不受盒子本身的控制；而另外一个是输出，它指向系统以外的环境。 对系统的试验往往是处于行为水平的。

状态结构水平 　 在这个水平上描述系统时是将它看成一个已经了解其内部工作情况的机构。 这样一种描述通过在整个时间上的递推足以产生一种轨迹，也即一个行为。 分解结构水平　 在这个水平上描述系统，是将它看作由许多基本的黑盒互相连接而成的一个整体，这种描述也可称为网络描述。具体的基本黑盒称为"成分"或"子系统"，每个基本黑盒都给出一个在状态结构上的描述。

2.2.2 数学建模方法学 　　 数学建模的任务： 确定系统模型的类型，建立模型结构，给定相应参数。

系统描述之间的关系 行为水平的相似关系 系统行为等价：两个系统具有完全相同的输入输出关系 系统准行为等价：若两个系统输入集之间和输出集之间的差异都没有超出各自最大的限度，则称它们是准行为等价。

结构水平上的相似关系 系统的同态 两个系统S1:<T1,X1, 1,Q1,Y1, 1,1 >； S2:<T2,X2, 2,Q2,Y2, 2,2 >。具有相同的时间基、输入集、输入段集和输出集，具有不同的内部结构，存在从S1到S2的同态映射关系 系统的同构 如果两个系统S和S’是同态的，而且S和S’的同态映射又是系统S的状态集Q到系统S’的状态集Q’的一一映射，则S和S’是一对同构系统。

建模过程中的信息源 建模过程中有三类主要的信息源。 建模过程中的信息源 建模过程中有三类主要的信息源。 1)建模目标或目的 　同一个实际系统中可能有多个等待研究的具体对象而这些对象，选择的侧重点不同将导致建模过程沿不同方向行。 2)先验知识 　 它包括前人或他人的各种可以利用的研究成果，比如公理、定理、定律等。

3)试验数据 　 在进行建模时，关于过程的信息也能通过现象的试验与量测而获得。合适的定量观测是解决建模的另一个途径。

数学建模方法 数学建模基本方法有三类。 1) 机理建模 也称演绎法或理论建模法 数学建模方法 数学建模基本方法有三类。 1) 机理建模 　也称演绎法或理论建模法 这种方法倾向于运用先验信息，根据构成系统的一些假设和基本原理，通过数学上的逻辑推导和演绎推理，从理论上建立描述系统中各部分的数学表达式或逻辑表达式。 是一个从一般到特殊的过程。

2) 实验建模法 　 又称归纳法或系统辨识法。 根据观测到的系统行为结果，导出与观测结果相符合的模型。 是一个从特殊到一般的过程。 根据系统的输入、输出数据的分析和处理来建立系统的模型。

3) 综合(混合)建模法 对于那些内部结构和特性有些了解但又不十分清楚的“灰色”系统，则只能采用综合建模法(机理法、辨识法以及其他一些方法)。

模型可信性（有效性） 可信性本身是一个十分复杂的问题，它一方面取决于模型的种类，另一方面又取决于模型的构造过程。 　　 模型可信性就是数学描述体现真实系统的程度。 　　　　在对模型所作的预测精度为基准的条件下，反映实际系统数据和模型数据数据之间的一致性。 可信性本身是一个十分复杂的问题，它一方面取决于模型的种类，另一方面又取决于模型的构造过程。

模型的可信度可以根据获得它的困难程度分为： 行为水平上的可信性，即模型是否能复现真实系统的行为；复制有效。 在状态结构水平上的可信性，即模型能否与真实系统在状态上相互对应。预测有。效 在分解结构上的可信性，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况。结构有效。

提高模型有效性的方法 先验知识的可信性 试验数据的可信性 模型应用的可信性 提高模型有效性的方法 先验知识的可信性 试验数据的可信性 模型应用的可信性

建模过程

2.2.3 动力学系统数学模型 动力学系统的数学模型一般是非线性连续状态空间模型，其通用形式是常微分方程组:

其中： 　　　　　　维状态矢量； 　　　　　　维输入矢量； 　　　　　　维输出矢量； 　　　　　　维未知常数； 　　　　　　维未知常数矢量 ； 　　　　　约束方程。

考虑到在真实世界中，系统往往带有一定的不确定因素，所以有时将(2. 4)-(2 考虑到在真实世界中，系统往往带有一定的不确定因素，所以有时将(2.4)-(2.7)处理成如下带有噪声 　和 　( 　和 　是维数适当的噪声矢量)的模型：

离散时间系统：用差分方程、离散传函、离散状态空间方程、权序列模型等描述； 　　 连续系统：用微分方程、传递函数、状态空间方程或权函数(过渡脉冲函数)等描述； 离散时间系统：用差分方程、离散传函、离散状态空间方程、权序列模型等描述； 采样制系统用连续时间模型和离散时间模型联合起来描述。

连续时间系统模型 输入输出的微分方程模型 设系统的输入为 ，输出为 ，则它们之间的关系可表示为如下的微分方程 其中： 是 的 阶导数， 　　　设系统的输入为　，输出为　，则它们之间的关系可表示为如下的微分方程 其中： 　　　　　　　　是　　的　阶导数， 　　的含义类似，　　　　　　　

　当(2.12)是常参量线性微分方程时，常将(2.9)写成如下形式 通常取 　　　。 　如果再引进微分算子　　　　，则可将　　　进一步改写成 其中

传递函数 对 两边取Laplace变换，且令系统的输入输出 和 及其各阶导数的初值均为零，则有 记 则系统的传递函数为

状态空间方程 微分方程和传递函数模型仅仅描述了系统的外部特性，即仅确定了输出和输入之间的关系，故称为它们的外部模型。 　 微分方程和传递函数模型仅仅描述了系统的外部特性，即仅确定了输出和输入之间的关系，故称为它们的外部模型。 　　 动态系统的状态：能够完全刻画系统行为的最小的一组变量。 状态变量能够完整地描述系统的当前状态及其对系统未来状态的影响。 只要知道了 　　时刻的初始状态向量 　和　　 时的输入　　，那么就能完全确定系统在任何 　　时刻的行为。

选定一组状态变量后，系统状态的变化可由下列微分方程组描述： 式中 是系统的状态变量； 是输入变量， 为时间变量； 为状态变换函数。 为系统的状态方程。

若记系统的输出变量为 ，则输出与状态变量和输入变量之间的关系可表为： 若记系统的输出变量为 ，则输出与状态变量和输入变量之间的关系可表为：

记： 则状态方程　　　和输出方程　　　可分别简记为 特别是对线性定常系统，方程(2.21)和(2.22)表示为

系统矩阵A,B,C,D含义如下： :参数矩阵(又称动态矩阵) : 输入矩阵 : 输出矩阵 : 交联矩阵(输出和输入直接交联)

权函数(脉冲过渡函数) 一个连续系统在零初始条件下，受到一个Dirac函数(理想脉冲函数) 的作用，其响应称为该系统的权函数或脉冲过渡函数，记为 。 如果已知系统的权函数 ，那么该系统在任意外部作用函数 作用下的输出响应 可由以下卷积公式给出：

(2.25)称为系统的权函数模型。由于(2.25)仅描述了系统的输入输出关系，所以属于外部模型。特别地，对于线性系统，其传递函数 与权函数 构成一个Laplace变换对，即：

离散时间系统模型 差分方程模型 设系统的输入序列 ，输出序列 ， 它们之间的关系可表为： 引进后移算子 : 则(2.26)可写为

记 则

离散传递函数(Z传函) 对(2.26)两边取Z变换，若系统的初始条件为零。即 则可得 其中 和 分别为序列 和 的Z变换。定义 可见，此时 　　与 　　等价 。

权序列模型 一个初始条件为零的系统，受到一个Kronecker 函数(单位脉冲序列)的作用，则其响应被称为该系统的权序列，记为 。 对任意的输入序列 ，系统的输出 由以下卷积公式给出： 可以证明：权系列 的Z变换为离散传函 ，所以系统的权系列与Z传函构成一Z变换对。

离散状态空间模型 以上三种模型只叙述了系统输入序列与输出序列之间的关系。为了进行仿真通常需采用内部模型，即离散状态空间模型。通常通过引进状态变量序列 　　，构造系统离散状态空间模型 对于线性定常系统，有

连续－离散混合模型 　　有一类控制系统，其控制器(由数字计算机组成)对离散的信号进行处理，描述它的数学模型是离散的，被控对象是连续的，其数学模型是连续时间模型，所以整个系统是连续－离散混合系统，描述它的模型当然也就是用连续－离散混合模型。 　　若记　　为数字控制器的离散传递函数， 为保持器的传递函数，　为被控对象的连续传递函数， 　和 　　是由采用虚拟系统产生的脉冲采样信号，则采用传递函数的数学模型的计算机控制系统可由图2.5表示。

e(t) + r(t) 数字控 制 器 保持器 u(t) 控制对象 y(t) - T T 图 2.4 采样数据系统框图

e(t) r(t) + D(z) G(s) y(t) u(t) - 图 2.5 采样数据系统的传递函数

2.2.4 实用建模举例 机械系统 本节将从具体的工程和非工程应用背景出发，较为详细地介绍建立系统数学模型的方法。 如图2.6(a) 或2.6(b) 是由质量块、弹簧和阻尼器组成的系统，是人们经常使用的研究机械振动的理想例子。

F 地平线 K D x F M M 图2.6（a) 由质量，弹簧， 阻尼器组成的机械振动系统

x D K F(t) 图2.6（b) 由质量，弹簧， 阻尼器组成的机械振动系统

作用在质量块 上的力有： －质量块 运动过程中的惯性力； －弹簧产生的弹性力； －阻尼器产生的阻尼力； －施加在质量块 上的外力。

根据牛顿定律，易得： 写成标准形式 其中 称 为振动频率， 为震荡角频率

电气系统 考察如图2.9(P33)所示的RLC串联电路. R C u(t) i(t) L 图2.9 RLC 串联电路

根据电路基本定律容易得出 以上两式便是描述这个电路的微分方程组，如果我们目标是为了研究输入 和输出 之间的关系,则可消去中间变量 ,得:

机－电－磁系统 下面分几个步骤建立该系统的数学模型 各分系统模型 量纲检查 　对于复杂的工程系统来说，当其各部件、子系统的模型建立起来以后，最好对它们分别进行量纲检查，通过核查每个方程中的每一项的量纲的合理性，以及时发现演绎推理过程中的一些潜在错误，这也是模型验证的一个重要方面。 导出系统数学模型标准形式

实验数据的曲线拟合与插值处理 是最基本的实验建模方法，各类曲线拟合方法(最小二乘法、指数函数拟合、付里叶级数拟合、多项式拟合等)和插值方法(线性插值、二次插值、均值插值、Lagrangze插值、样条函数等)都获得十分广泛的应用，但这些方法在实际应用时有很大的局限性，只能获得所谓的静态模型，而且模型曲线比较平滑。

生态系统 由于上述生态系统存在非线性周期性的自由运动，所以有些学者提出用非常有用的非线性时序模型-自激励门限自回归模(Self-ExcitingThreshold Auto-Regressive Model,简述记为SETAR。常称为门限自回归模型)来描述该系统周期性的自由运动。 机械振荡系统的模型参数估计