2011年数学高考 函数、导数、不等式分析 与一轮复习备考建议 寿光市教科研中心

一﹑综述 2011年全国有20个省市区实施新课标高考, 通过分析试卷发现2010年实行新课标的这些省市区的高考命题2011年数学试卷形式保持稳定，在课标理念、试卷结构、题目数量以及题型等方面与2010年基本相同，保证了试题年度间的连续与稳定。在命题上重视基础，稳中有变，变中求新。2011年实行课改的4个省份（河南、江西、山西、新疆 ），属于初步探索期，但从整体上看也都能很好的体现新课标精神。下面主要针对山东与北京、广东、渐江、辽宁这几个省份的试题进行分析比较。 山东卷

2011年部分新课程试卷＜函数、导数、不等式＞的考点分析：山东卷 (分数合计:文36分,理36分) 2011年部分新课程试卷＜函数、导数、不等式＞的考点分析：山东卷 (分数合计:文36分,理36分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数 文理（3） 5分 选择 指数函数的图象 理(10) 抽象函数的性质 文理（16） 4分 填空 对数函数与函数的零点 不等式 理（4） 绝对值不等式 文（7） 线性规划 导数 文(4) （文）曲线的切线；（理）函数的图象 理（9）文（10） 函数的图象 理/文(21) 12分 解答 导数的应用（应用题\求极值） 北京卷

北京卷 (分数合计:文33分,理28分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数 理（6） 5分 选择 分段函求值 文（7） 北京卷 (分数合计:文33分,理28分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数 理（6） 5分 选择 分段函求值 文（7） 函数应用题（求最值） 文理（13） 填空 方程的根、函数单调性值域 导数 理/文（18） 13分 解答 导数的单调区间最值、综合应用 不等式 文理（1） 解简单不等式 文（3） 对数不等式 广东卷

广东卷 (分数合计:文29分,理25分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数、导数 理文（4） 5分 选择 广东卷 (分数合计:文29分,理25分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数、导数 理文（4） 5分 选择 判断函数的奇偶性、求函数定义域 理5文6 线性规划 理（12） 填空 三次函数最值 函数 文（19） 14分 解答 评论函数单调性 不等式 理/文（5） 解二次不等式 理（9） 绝对值不等式 浙江卷

渐江卷 (分数合计:文32分,理27分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数 文（10） 5分 选择 函数的图象与极值 渐江卷 (分数合计:文32分,理27分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数 文（10） 5分 选择 函数的图象与极值 理文（11） 4分 填空 函数的奇偶性/函数值求参数 导数 理/文（22/21） 14分 解答 导数的综合应用 不等式 理/文（5/3） 线性规划 文理（16） 利用基本不等式求最值 辽宁卷

函数与不等式结合以及不等式选讲（选做题第24题10分） 辽宁卷 (分数合计:文27+10分,理17+10分) 考查内容 题号 分值 题型 考点及简要分析 函数 理/文（11）） 5分 选择 根据抽象函数解不等式 文（5） 根奇偶性求参数 文（16） 填空 函数的零点 导数 理/文（21） 12分 解答 导数的综合应用 不等式 函数与不等式结合以及不等式选讲（选做题第24题10分） 简要分析一二

①从考查要求来讲，不仅有基础知识、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查。 简要分析: 从以上五个省份的高考试题的考查内容及分值分布情况来看，函数、导数、不等式在高考中的考查可以说是全方位的： ①从考查要求来讲，不仅有基础知识、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查。 ②从考查内容来看，它不仅有函数知识内部的显性考查，更有与其他主干知识（数列、不等式、解析几何、导数等）相结合的隐性考查，综观函数不等式和导数部分的考查内容,我们可以发现：函数解析式、函数的定义域、函数值域与最值、函数的图像与性质，利用导数研究函数的切线、单调性、极值最值问题以及导数在实际问题中的应用，线性规划、不等式恒成立求参数的取值范围、利用基本不等式求最值都是高考考查的热点内容。 简要分析三

③数学思想方法：对函数与方程、分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的考查在高考试题中也得到了很好的体现. 题型分析

题型分析 （1）函数的定义域与值域，是高考考查的一个重要知识点

(2) 以分段函数为背景的求值、解不等式的问题，常常以选择、填空题的形式在高考试题中出现。

(3) 关于对性质的综合考查，各省高考题中出现的概率较大，在理科卷中常出现较难的或有新颖性的题目，而在文科卷中要求相对低一些.

（4）考查函数图像的问题，仍备受高考命题者的青睐，排除法与特值验证法仍是解决它的有效手段

（5）线性规划问题年年必考，属容易或中档题，近年来，难度不会有太大的变化 （6）不等式的恒成立问题、基本不等式求最值的题目，在高考题中也时有出现，此类问题要注意做到等价转化

(7)导数的综合应用仍然是重点，对于文科主要侧重对三次函数的考查，但近年来有向对数函数的方向发展的趋势，对于理科则主要以指对函数、分式函数为载体考查求函数的极值、最值等综合问题，将导数、不等式与含参问题有机地融合在一起,仍是一个重要的命题思路,并且很可能继续是今后命题的热点。对分类讨论的要求比较高，经常作为压轴题出现。2011年山东考查了函数导数的应用题对于该题仁者见仁智者见智。

命题趋势 2011年的高考函数部分：以函数概念的深化理解与函数图象及性质的灵活运用构成命题的核心。 1.灵活运用函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性成为高考的热点问题。奇偶性则经常扩展到图象的对称性，且与单调性和周期性联系在一起。 2.以函数及基本初等函数为主体，重点考查二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数及抽象函数的有关性质，并且利用函数性质灵活解题。 3.用导数作为工具求切线方程，单调区间及有关参数的范围，函数的最值。 命题形式上看，对函数的考查外柔内刚，必修1的地位较为突出, 试题中不少的问题都渗透着变量与函数的观点，其综合性与关联性蕴含在试题的设计中。

备 考 建议 （1）函数的单调性、奇偶性、图像及周期性相结合的问题等都应充分考虑。特别注意分段函数、抽象函数的有关问题； （2）高考多考查指、对数函数与其他函数的复合类函数综合问题，掌握指数函数、对数函数的图象和性质，（指数函数、对数函数过的特殊点）是解题的关键； （3）能够利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描述函数的图象，熟悉图象的平移变换、对称变换、及简单应用，能自觉运用图象解题（数形结合法）； （4）在三次函数或解析式中含有指、对数函数的函数背景下求极值或最值的问题在高考试题中比较多见，应该给予高度的重视；

（5）在高考试题中借助导数研究函数的切线、单调性、极值、最值问题（特别注意有关这类问题的设问方式。） ；利用导数处理实际生活中的优化问题；利用导数研究方程及不等式的综合问题（题目通常含有参数）；导数在函数、数列、不等式、解析几何的综合应用属于中、高难度的题，要求我们在掌握导数问题的“通性”、“通法”的基础上进行导数综合问题的强化训练。 （6）限于积分的知识高中阶段学习的相对较浅，因而涉及到解答题的可能性较小，主要是课本上的一些常规的问题，因而在复习中不宜加大对积分问题的难度。

不等式部分命题趋势： 1．不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现，有时与充要条件的知识联系在一起．解答此类题目要求考生要有较好、较全面的基础知识，一般难度不大． 2．解不等式的考题常以填空题和解答题的形式出现．在解答题中，含字母参数的不等式问题较多，需要对字母参数进行分类讨论．

3．证明不等式近年来逐渐淡化，但若试卷中出现不等式证明，则往往不是单独的纯不等式证明，而是与函数、三角、解析几何、数列、导数等知识综合考查，这时有可能是压轴题或倒数第二题．此类考题区分度高，综合性强，与同学们平时联系的差距较大，考生要有较强的逻辑思维能力和较高的数学素质才能取得较好的成绩．这类考题往往是理科试卷中经常出现的题型． 4．应用问题是近年数学高考命题的热点，近些年高考试题带动了一大批“以实际问题为背景，以函数为模型，以重导数为解题工具”的应用题问世．解此类题目过程中在合理地建立不等关系后，导数、判别式、重要不等式是常用的解题工具．

备考策略 1.熟练掌握有关不等式的性质应用、简单不等式的解法。选择题或填空题主要考查不等式的基本性质以及一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式以及简单的指数、对数、三角不等式的基本解法，不等式求解框图等； 2.线性规划问题，会求最优解，要注意在代数问题中的应用，和几何特点的结合； 3.在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练，以便快速、准确求解．在解或证明含有参数不等式的过程中，一般要对参数进行分类讨论，因此，还要加强分类讨论思想的训练； 4.要加强以函数为载体的不等式练习，如果以函数为背景考题出现在试卷上，一定与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高；要灵活处理以导数为载体的导数、不等式、函数大型综合问题，这类代数推理考题在复习时一定要倍加关注． 5.关注省厅的调整意见，在4-5选学内容上及时应对。 谢谢