第二章 血液的流动（共6讲） 第一节 理想流体的定常流动 第二节 血液的层流

第一节 理想流体的定常流动

一、概念 1、理想流体 2、定常流动 3、流线 4、流管 5、流量 6、静压强与动压强

二、理想流体做定常流动的规律 1、连续性方程 2、伯努利方程 3、应用

一、概念 1、理想流体（Perfect Fluid） 2、定常流动（Steady Flow） 绝对不可压缩（密度是常量）、绝对无粘性（无内摩擦力）、可流动的物体。 2、定常流动（Steady Flow） 若流体质点的速度只是空间的函数，与时间的变化无关，这样的流动称为定常流动。 =(x,y,z)

3、流线（Stream Line） 想象流体流动过程中有这样的曲线存在：曲线 上每一点的切线方向与流经该点的流体质点的速度方向相同。

飞流直下三千尺，疑是银河落九天。

定常流动时流线的特点： （1）与流体质点的运动轨迹相同 （2）形状不随时间的推移而改变 （3）任何两条流线都不可能相交 （4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方流速大

4、流管（Stream Tube） 由流线围成的管状区域

5、流量（体积流量） （1）形状不随时间的推移而改变 （2）流管内外无物质交换 （3）生活中的水管即是流管 定常流动时流管的特点： （1）形状不随时间的推移而改变 （2）流管内外无物质交换 （3）生活中的水管即是流管 5、流量（体积流量） （1）定义：Q=•S （2）单位 ：米3/秒 （m3s-1） （3）物理意义：单位时间内流过截面积为S的流管的流体的体积。

6、静压强 液体静止时各点的压强。 （1）定义： （2）单位：帕斯卡 （Pa） （3）物理意义：单位面积上所受到的力 重要结论：在连通的同种流体中 A• B• h C• PA=PB PB-PC=ρgh

例: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测量液体 求：p1-p2= ? （忽略1点与2点的高度差） 水流 1 2 • • 3 • • 4 h Δh 解：当定常流动时，U形压强计中的流体是静止的，符合静压强的有关规律。 P3=P4 P3=P1+ρ水gh+ρ水gΔh P4=P2+ρ水gh+ρ银gΔh 联立求解得： P1 -P2=(ρ银 -ρ水）gΔh ∵ρ水=103kg/m3 ρ银=13.6×103kg/m3 即：银>>水 ≈ρ银gΔh

h 1 • 2 • 水流 ρ银 P1 – P2=ρ水gΔh 1 • 2 Δh 水流 P1 – P2=ρ银gΔh P1 – P2=ρ水gΔh 1 • 2 • 水流 1 • 水流 2 • Δh ρ银 P1 – P2=ρ水gΔh 1 • 2 Δh 水流 P1 – P2=ρ银gΔh P1 – P2=ρ水gΔh

二、运动规律 1、连续性原理（Contiunity Equation） 数学表述： S=常数 物理表述： 同一流管流量守恒。 适用条件： 物理表述： 同一流管流量守恒。 适用条件： （1）不可压缩流体 （2）定常流动 （3）在同一流管

证明： 流进流管的体积=流出流管的体积 ΔV1=ΔV2 （不可压缩性） S11Δt=S22 Δt ∴ S11=S22 1点与2点是任选的，则 S =常数 若流管中某截面上的流速不是定值，则速度应用平均值： 证毕！

例：请你列出下面2种流管分布的连续性原理方程 1• 2 • 3 • 4 • 1 • • 2 S11=S22 S2 变小  2变大 S11=S22+S33+S44 截面积小的地方流速大

2、伯努利方程 数学表述： 物理表述： 同一流线，能量密度之和守恒 适用条件： （1）理想流体 （2）定常流动 （3）同一流线

证明： 有功能原理： 外力作功+非保守内力作功=机械能增量

机械能增量： 根据功能原理：W=ΔE

利用 V D 有 等式两边同除 移项： 由于1点、2点的任意性，可得到伯努力方程

其中： P — 压强能密度 — 动能密度 — 重力势能密度 ∴能量密度之和不变 证毕！

3、应用 应用一：小孔流速问题 例1：一个很大的开口容器（SA>>SB，两个数量级以上，或者A=0），器壁上距水面h处开有一小孔，截面积为SB。求：小孔处液体的流速B=? A • • B 解：求解步骤 （1） 画流线 （2） 列方程 （3） 解方程 PA=P0 A=0 PB=P0 hB=0 根据题意，有： 代入伯努力方程中，求解得：

此公式适用条件： （1）两头都开口：PA=PB=PO （2）大容器：A=0 （3）h是小孔到水面的距离 装置的特点： 大敞口容器下方开一小孔 此公式适用条件： （1）两头都开口：PA=PB=PO （2）大容器：A=0 （3）h是小孔到水面的距离 类似装置： A • • B h A • • B h

A • B • h h • B • A

应用二：测速仪原理 例2：皮托管测水流速度 解： A点即流体流动的速度 B点是停滞区 A、B两点同高

装置的特点： 迎着流速开口A，顺着流速开口B， 两个开口分别与压强计联接。 例4： A、B两点近似为同高点 是液体密度 是气体密度

应用三：流量计原理 例3：文丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图所示。在测量时，两竖直管中的液体会出现高度差h。如果已知SA、SB、h。求：Q=? 解：画流线，如图： • A SA B SB h 列方程：

求解：

文丘里（Venturi）流量计装置的特点： 在粗细不等的两处接出压强计。 类似装置： h • A B A • B h

应用四：喷雾器原理 喷口处的截面小，流速大，该处压强小于大气压强，其吸入外界气体和下面的水，混合成雾状喷出。

应用五：体位对血压的影响 流速不变(或为0)时，由伯努利方程知： P1+ρgh1=P2+ρgh2 即 P+ρgh=常量 说明：高处流管内流体压强较小，而低处压强大。 因此测量血压时一定要注意测量部位。

用如图所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求 应用六：虹吸管原理 例： 用如图所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求 • B A • C h1 h2 h3 D (1)虹吸管内液体的流速 (2)虹吸管最高点B的压强 (3)B点距离液面的最大高度 解： （1）小孔流速

（2）PB=? B点与C点列伯努力方程

（3）h3的最大值？ D点与B点列伯努力方程 即最大值

应用七：五个日常现象 （1）水流随位置的下降而变细 • A • B h

（2）两船并行前进，不能靠得太近，易互相碰撞 S外 S内

(3)烟囱越高，拔火力量越大： A• 锅 炉 B•

（4）为什么在火车站的月台上有一条黄色的警示线 火 车 • 1 3 2 4 分析：

在很远的地方，近似有 空气是粘滞流体，贴近火车的空气层以火车的速度 流动，其它流层逐层流速减小 好象有一种力量推向火车一侧！

再加一杯水就可以使一个非常结实的酒桶破裂，为什么？ （5）帕斯卡实验 再加一杯水就可以使一个非常结实的酒桶破裂，为什么？ ∵高处流体压强较小，低处压强大。 如果水桶能承受2atm大气压的压强，h为多高能使其破裂？设v=0 p桶=p0+ρgh h=(p桶－ p0)/ρg =1.033×105 /103×9.8 =10.54 (m)

小结： 一、概念：理想流体、定常流动、流线、流管 流量、静压强 二、两个公式： S =常数 三、三种装置：小孔流速、比托管、文丘里流量计

作业一： 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时， 水流随位置的下降而变细，何故？如 果水笼头管口的内径为D，水流出的速 率为0，求：在水笼头出口以下h处水 流的直径。

作业二：利用压缩空气将水从一个密封 大容器内通过管子压出。如下图所示。 如果管口高出容器内液面0. 65m，并要 求管口的流速为1 作业二：利用压缩空气将水从一个密封 大容器内通过管子压出。如下图所示。 如果管口高出容器内液面0.65m，并要 求管口的流速为1.5m·s-1。求容器内空 气的压强。（ P0=1.01325×105Pa， 水=103kg/m3） 压缩空气

作业三：一直立圆柱形容器，高0. 2m， 直径0. 1m，顶部开启，底部有一面积 为10-4m2的小孔，水以每秒1 作业三：一直立圆柱形容器，高0.2m， 直径0.1m，顶部开启，底部有一面积 为10-4m2的小孔，水以每秒1.4×10-4m3的快慢由水管自上面放入容器中。问容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽需多少时间。

作业四：如图所示，在一高度为H的量筒侧壁上开一系列高度h不同的小孔。试证明：当h=H/2时水的射程最大。

作业五：如图，用汾丘里流量计测水在管中作定常流动时的流量。已知1、2两点处管道截面积为S1、S2，压强计中水银液面高度差为Δh，水的密度为ρ水水银的密度为ρ银。求：所测水的流量Q的表达式。 • • 2 Δh

第二节 血液的层流

一、概念 1、黏性流体 2、层流 3、雷诺数 4、速度梯度 5、牛顿黏性定律 牛顿流体 6、黏度

二、运动规律 1、连续性方程 2、伯努利方程 3、泊肃叶定律 4、斯托克斯黏性公式 三、应用 1、心脏作功 2、血流速度分布 3、血压分布

一、概念： 1、黏性流体 ——流动时存在内摩擦力的流体 2、层流

Δ Δz Δz Δ

层流的特点： （1）层层之间无质量交换 （2）各层的流速大小不同 （3）流速的方向与层面相切 （4）层层之间存在摩擦力

重要公式 3、雷诺数 -流体的平均流速 η-流体的黏度 一个区别层流与湍流的数字 其中：r-流体的密度 r-流管的半径 -流体的平均流速 η-流体的黏度 Re-雷诺数（无单位） 医学上雷诺数的临界范围： 0 < Re < 2000 层流 2000 < Re < 2600 过渡流 Re > 2600 湍流

例：已知血液黏度η=4×10-3 pa·s ； 血液密度ρ=1. 0×103kg/m3 ； 主动脉管半径 r=0 例：已知血液黏度η=4×10-3 pa·s ； 血液密度ρ=1.0×103kg/m3 ； 主动脉管半径 r=0.5×10-2 m 求：保持层流　　 Vmax=? 解：

４、速度梯度　　　　 定义： Δz Δ 物理意义：在垂直于流动方向上，每增加单位 距离流体速度的增加量。即为切变率的大小。 单位：s-1

５、牛顿黏性定律 牛顿黏性流体 牛顿黏性定律： 其中： — 速度梯度（s-1） — 两层之间的接触面积 — 流体内部相邻两流体层之间的黏力 ５、牛顿黏性定律　牛顿黏性流体 牛顿黏性定律： 其中： — 流体内部相邻两流体层之间的黏力 — 黏度 （Pa·s） — 速度梯度（s-1） — 两层之间的接触面积

牛顿流体：满足牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。

重要公式 6、黏度  （黏滞系数、内摩擦系数） （１）定义： （２）物理意义：液体的黏度 越大，说明该 液体流动时内摩擦力越大。 6、黏度  （黏滞系数、内摩擦系数） 重要公式 （１）定义： （２）物理意义：液体的黏度 越大，说明该 液体流动时内摩擦力越大。 （３）单位：Pa·s 1泊＝０.１Pa·s （4）的特点：不同流体具有不同的特点； 同种流体在不同温度下黏度 不同。

二、血液层流时的运动规律 空气 1.8×１０-５ 水 1.0×１０-３ 血液 4.0×１０-３ 甘油 8.3×１０-１ １、连续性方程 几种流体的黏度（t=20℃）单位：Pa·s 空气　　　　1.8×１０-５ 水　　　　　1.0×１０-３ 血液　　　　4.0×１０-３ 甘油　　　 8.3×１０-１ 二、血液层流时的运动规律 １、连续性方程　

２、伯努利方程  — 内摩擦力引起的能量损耗 例： 图中黏滞流体 h1=h2 1=2 ∴P1=P2+ V1 V2 例： 图中黏滞流体 h1=h2 1=2 ∴P1=P2+ 只有P1>P2才能作匀速流动

重要公式 ３、泊肃叶定律 外周阻力 其中： — 流量（m3/s） — 圆管半径（m） — 圆管长度（m） — 圆管两端压强差（Pa） ３、泊肃叶定律 外周阻力 重要公式 其中： — 流量（m3/s） — 圆管半径（m） — 圆管长度（m） — 圆管两端压强差（Pa） — 流体的黏度（Pa·s）

黏性流体在等粗水平圆管中作片流时，流速V在截面S上各点而异，速度： L P1 P2 △p =P2 － P1 R r 黏性流体在等粗水平圆管中作片流时，流速V在截面S上各点而异，速度： 管轴（r =0）处流速最大.

实际流体的流量应为多少呢？ 1842年法国医学家泊肃叶得出结果：实际流体在等粗水平圆管中作片流时，流量为： 此式称为泊肃叶定律 反映实际流体的流量与管半径R、管两端压强差△P成正比，与管的长度成反比。

上式可以写为： 其中 称为流阻 医学上把R称为外周阻力 △P为血压 (血压是血液的绝对压强P与大气压P0之差， 是高出大气压的值，称为计示压强）。

例：已知血液在半径为r，长度为 L的圆管中流动，若两端的压强差 P1-P2已知。求（１）血液流动的平均 速度（２）能量损耗是多少 解（1） 黏性流体在圆管中的平均流速 ∴

４、斯托克斯黏性公式： （2）能量损耗 小球在广延黏性流体中下降，除了受重力和浮力外，还有受到阻力（如下图） F=6rv 浮力 阻力

其中：F — 斯托克斯阻力（N） — 流体黏度（Pa·s） r — 小球的半径（m）  — 小球下降速度（m/s）

例：已知小球的密度球，黏性流体密度 （且球>  ），小球半径r，小球下降 的收尾速度max求：黏性流体黏度=? 浮力 阻力 重力 解：开始时=0，重力 >浮力 加速下降 产生阻力F=6rv 变大，阻力变大 当 浮力+阻力=重力时 =max 此题为“用斯托克斯定律测流体黏度”实验原理。

三、应用 1、心脏作功 体循环 肺循环 右心房 左心房 右心室 左心室

计算心脏作功的两种方法： （1）心脏作功等于左、右心室作功之和。 根据伯努力方程： 左心室作功（体循环：左心室　　右心房） （注意：静压强　　　　　　　　　　　　　）

同理，右心室作功（肺循环：右心室　　左心房） ∴整个心脏作功 一般正常人

（2）心脏作功等于血液流经心脏 前后的能量变化：

2、血流速度分布 血液在大动脉中流速最快，在毛细血管内流速最慢。为什么 ？ 血液为不可压缩液体在管中作稳定流动。

3、血压分布 血压单位: k Pa，（1 kPa=7.5mmHg） 正常人收缩压在100～120mmHg即13.3～ 16.0 kPa ； 收缩压与舒张压之差称为脉压。

小结： 1、概念：层流 速度梯度 牛顿流体 黏度 雷诺数 2、公式： 黏度 连续性原理

伯努利方程 泊肃叶定律 斯托克斯黏性公式 F=6rv

作业一：一条半径为3 mm的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2 mm，血流平均速度为50cm·s-1，试求（1）未变窄处的血流平均速度；（2）会不会发生湍流；（3）狭窄处的血流动压强 答案:(1)0.22m·s-1 (3)133Pa

作业二：20℃的水在半径为1×10-2m的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速为0 作业二：20℃的水在半径为1×10-2m的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速为0.1m·s-1，则由于黏滞性，水沿管子流动10m后，压强降落了多少？ 答案: 40 Pa

作业三：设某人的心输出量为0. 83×10-4 m3·s-1,体循环的总压强差为12 作业三：设某人的心输出量为0.83×10-4 m3·s-1,体循环的总压强差为12.0KPa，试 求此人体循环的总流阻（即总外周阻力） 是多少N·S·m-5 答案: 1.44×108N·S·m-5

作业四：设橄榄油的黏度为0.18Pa·s，流过管长为0.5m、半径为1cm的管子 时两端压强差为2×104Pa，求其体积 流量。 答案: 8.7×10-4 m3·s-1

作业五：假设排尿时，尿从计示压强为40mmHg的膀胱经过尿道后由尿道口排出，已知尿道长4cm，体积流量为21m3s-1，尿的黏度为6 作业五：假设排尿时，尿从计示压强为40mmHg的膀胱经过尿道后由尿道口排出，已知尿道长4cm，体积流量为21m3s-1，尿的黏度为6.9×10-4Pa·s，求尿道的有效直径。 答案: 1.4mm

作业六：设血液的黏度为水的5倍，如以72cm·s-1的平均流速通过主动脉，试用临界雷诺数为1000来计算其产生湍流时的半径。

作业七：一个红细胞可以近似的认为是一个半径为2. 0×10-6m的小球，它的密度是1 作业七：一个红细胞可以近似的认为是一个半径为2.0×10-6m的小球，它的密度是1.09×103kg·m-3。试计算它在重力作用下在37℃的血液中沉淀1cm所需的时间。假设血浆的黏度为1.2×10-3Pa·s，密度为1.04×103kg·m-3。如果利用一台加速度（ω2 r）为105g的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？ 答案:(1)2.8×104s （2）0.28s

本章小结： 一、概念：理想流体、定常流动、流线、流 管、流量、静压强层流 速度梯度 牛顿流体 黏度 二、公式： S =常数

雷诺数 黏度 连续性原理 伯努利方程

泊肃叶定律 斯托克斯黏性公式 F=6rv

作业一： 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时， 水流随位置的下降而变细，何故？如 果水笼头管口的内径为D，水流出的速 率为0，求：在水笼头出口以下h处水 流的直径。

作业二：利用压缩空气将水从一个密封 大容器内通过管子压出。如下图所示。 如果管口高出容器内液面0. 65m，并要 求管口的流速为1 作业二：利用压缩空气将水从一个密封 大容器内通过管子压出。如下图所示。 如果管口高出容器内液面0.65m，并要 求管口的流速为1.5m·s-1。求容器内空 气的压强。（ P0=1.01325×105Pa， 水=103kg/m3） 压缩空气

作业三：一直立圆柱形容器，高0. 2m， 直径0. 1m，顶部开启，底部有一面积 为10-4m2的小孔，水以每秒1 作业三：一直立圆柱形容器，高0.2m， 直径0.1m，顶部开启，底部有一面积 为10-4m2的小孔，水以每秒1.4×10-4m3的快慢由水管自上面放入容器中。问容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽需多少时间。

作业四：如图所示，在一高度为H的量筒侧壁上开一系列高度h不同的小孔。试证明：当h=H/2时水的射程最大。

作业五：如图，用汾丘里流量计测水在管中作定常流动时的流量。已知1、2两点处管道截面积为S1、S2，压强计中水银液面高度差为Δh，水的密度为ρ水水银的密度为ρ银。求：所测水的流量Q的表达式。 • • 2 Δh

作业一：一条半径为3 mm的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为2 mm，血流平均速度为50cm·s-1，试求（1）未变窄处的血流平均速度；（2）会不会发生湍流；（3）狭窄处的血流动压强 答案:(1)0.22m·s-1 (3)133Pa

作业二：20℃的水在半径为1×10-2m的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速为0 作业二：20℃的水在半径为1×10-2m的水平均匀圆管内流动，如果在管轴处的流速为0.1m·s-1，则由于黏滞性，水沿管子流动10m后，压强降落了多少？ 答案: 40 Pa

作业三：设某人的心输出量为0. 83×10-4 m3·s-1,体循环的总压强差为12 作业三：设某人的心输出量为0.83×10-4 m3·s-1,体循环的总压强差为12.0KPa，试 求此人体循环的总流阻（即总外周阻力） 是多少N·S·m-5 答案: 1.44×108N·S·m-5

作业四：设橄榄油的黏度为0.18Pa·s，流过管长为0.5m、半径为1cm的管子 时两端压强差为2×104Pa，求其体积 流量。 答案: 8.7×10-4 m3·s-1

作业五：假设排尿时，尿从计示压强为40mmHg的膀胱经过尿道后由尿道口排出，已知尿道长4cm，体积流量为21m3s-1，尿的黏度为6 作业五：假设排尿时，尿从计示压强为40mmHg的膀胱经过尿道后由尿道口排出，已知尿道长4cm，体积流量为21m3s-1，尿的黏度为6.9×10-4Pa·s，求尿道的有效直径。 答案: 1.4mm

作业六：设血液的黏度为水的5倍，如以72cm·s-1的平均流速通过主动脉，试用临界雷诺数为1000来计算其产生湍流时的半径。

作业七：一个红细胞可以近似的认为是一个半径为2. 0×10-6m的小球，它的密度是1 作业七：一个红细胞可以近似的认为是一个半径为2.0×10-6m的小球，它的密度是1.09×103kg·m-3。试计算它在重力作用下在37℃的血液中沉淀1cm所需的时间。假设血浆的黏度为1.2×10-3Pa·s，密度为1.04×103kg·m-3。如果利用一台加速度（ω2 r）为105g的超速离心机，问沉淀同样距离所需的时间又是多少？ 答案:(1)2.8×104s （2）0.28s