第二章 复变函数的积分 重点 1、复变函数积分的概念、性质和计算方法； 2、单、复连通Cauchy定理(解析函数的基本定理)的应用；
... y O x zk Dzk zk-1 z3 B z2 z1 A §2、1 复变函数的积分 1、复变函数的积分定义 §2、1 复变函数的积分 1、复变函数的积分定义 f(z)在复平面内的l分段光 滑曲线上连续,在l上取一 系列分点 将l分成n小段在每一小段上任取一点 。则有下式复变函数积分 存在， 且值与 点的选取无关。称该和的极限为函数 B的路积分，记作 f(z)沿曲线l从A 积分函数 积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法 1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
可见 将复变函数的路积分转化为两个实变函数的线积 分，因此实变函数的线积分性质对复变函数而言均成立。
注： 应学会利用y与x关系（y和x的关系显式,即积分路径表示式）将复函数线积分化为定积分或不定积分计算
例1：沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫l Re(z) dz从O到B（1，1）的定积分。 解：分析积分式与路径 O B D A （1）路径OAB：路径OA+OB 对OA：x=0,dx=0,y:0~1 （3）路径：y=x，则： 对AB：y=1,dy=0,x:0~1 （2）同理可求另一条路径ODB的积分为：1/2+i
例 解：分析：积分式为： 计算 ，l 为从原点到3+i4的三条直线段。 复积分化为： （1）路径OAB：路径OA+OB 对OA：x=0,dx=0,y:0~4 O B D A 对AB：y=4,dy=0,x:0~3 （2）同理可求另一条路径ODB的积分也为此数
（3）路径： O B D A
O B（1，1） D A O B（3，4） D A 思考： 究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？
通常思路： 积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示： 2）参数积分法 若积分曲线的参数方程z=z(t) 则 （极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况） 通常思路： 积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
例2 解： 计算积分 积分路径是（1）直线段 （2）单位圆周的上半（3）单位圆周的下半 （1）在-1到1的直线段上 路径方程为y=0 dz=dx+idy=dx 所以
2）在单位圆上半周上： 令 则 3) 在单位圆下半圆周上: = 可见
例：计算圆弧积分： n为整数
3、复积分的性质 用来求积分的估计值
试证： 证明：要证上式，只需证明
由（1）（2）式，得：
得证
复习： 试证： 试证： 积分函数 2、复变函数积分计算方法 积分路径 1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分 2）参数积分法 积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示： 试证： 3、复积分的性质 试证：
O B（1，1） D A 解析？ O B（3，4） D A 思考： 究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？
§2、2 Cauchy定理 1、单连通区域的柯西(Cauchy)定理 在定义域上处处可导的函数，在此区域上积分与路径无关 主要讨论复变函数满足什么条件其路积分值才能不决定于积分路径，而只与始末位置有关。 1、单连通区域的柯西(Cauchy)定理 如果函数在闭连通区域 上解析，则沿 上任一分段光滑闭合曲线L （L也可以是 的境界线），有 B L
证明： B L 下一页
若函数P（x，y）、Q（x，y）在闭域 上具有连续的一阶偏微商，则： B L 附：格林公式 若函数P（x，y）、Q（x，y）在闭域 上具有连续的一阶偏微商，则： l：B的边界线
2、复连通区域的柯西定理Cauchy定理 B l l2 l3 1)复通区域境界线： 外境界线：逆时针为正方向 区域在行走的左侧 内境界线：顺时针为正方向 2)复通区域的Cauchy定理： 如果f(z)是闭合复通区域上的单值解析函数，则 l为区域的外边界， 是。 区域的内边界
证明： l l1 A A’ B B’
柯西定理： l1 B C 1 闭单通区域上的解析函数沿境界线或区域内任一分段光滑闭合曲线l积分为零 D L 相关推论： （1） f（z）在单通区域B上解析，在 上连续，仍有 （条件放宽了） （2）单通区域B上的解析函数f（z）沿B上任一路径l的积分值 只与l的起点和终点有关，与路径无关 （3）区域B上的解析函数f（z），设B内二点C、D，连接两点的任一条曲线l（在B内且只经过f（z）的解析区）， 只与l的起点和终点有关，与路径无关
柯西定理： B 2 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零 l2 l3 l 相关推论： （1） 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和 （2） 设f（z）是闭区域（单通区域或复通区域）B+L上的解析函数，B内任一条闭曲线l可以在B内连续变形（只要不跨过非连通区域）而积分值 保持不变。
§2、3 不定积分 1、不定积分的定义及证明 原函数： 若函数F(z)满足 ，则F(z)称为 f(z)的原函数 §2、3 不定积分 1、不定积分的定义及证明 原函数： 若函数F(z)满足 ，则F(z)称为 f(z)的原函数 f(z)的所有原函数仅相差一个复常数[F(z)+c]
不定积分定义：所有f(z)的原函数的集合称为f(z)的不定 积分。即 求解复函数定积分的另一个方法：由原函数求解
例2 求积分 的值 [解] 函数zcos z在全平面内解析, 容易求得它有一个原函数为zsin z+cos z. 所以
例3 试沿区域Im(z)0, Re(z)0内的圆弧|z|=1, 计算积分 [解] 函数 在所设区域内解析.
例2 续
例1 解 计算积分： 整数）l 为任意闭合曲线 点,则由Cauchy定理知积分为零。 1) 若l 不包围 点,则有由Cauchy定理知f(z)在 上有可能不解析 2) 若l 包围 <0 时不解析， 解析。 时，积分为零 n<0时， 由复连通Cauchy定理知，沿l 的积分，可以化为沿圆心在 点的半径为R圆周c 的积分。 圆周的方程可写为：
则 若 若n=-1， 则有 结论 l 包围 点时 不包围 点时
复习： 一 柯西定理 连通区域B如图所示，复函数f（z）在B内解析，任选B内积分回路l，则： l B l2 单通柯西定理 （2）当l包括非连通区域时，有： 复通柯西定理 l可以不跨过非连通区域变形，积分值保持不变
二 牛顿-莱布尼兹方程 当f（z）在所研究区域解析时， 与积分具体路径无关，可以用Newton-Lebniz方程求解定积分
内容:若 在闭单连通区域 上解析, 为的 境界线, 为 内的任一点,则有 §2、4 Cauchy公式 1、Cauchy公式与证明 1) 单连通区域的Cauchy公式与证明 内容:若 在闭单连通区域 上解析, 为的 境界线, 为 内的任一点,则有 证明 是 的内点,由例1知:
内容:若 在闭单连通区域 上解析, 为的 境界线, 为 内的任一点,则有 §2、4 Cauchy公式 1、Cauchy公式与证明 1) 单连通区域的Cauchy公式与证明 内容:若 在闭单连通区域 上解析, 为的 境界线, 为 内的任一点,则有 证明 是 的内点,由例1知: 则有
如果证明了 就证明了该公式 上式被积函数 的奇点是 ,则在 以 为圆心以 为半径 做小圆 ,则由复连通 区域的Cauchy定理有
进行估算:
时 ,则 由于上式与 无关,则恒有 更一般的表达式： Cauchy公式得证.
内容:若 是复连通区域 上的解析函数, 是内境 证明:略 2) 复连通区域的Cauchy公式 界线， 是外境界线. 是区域的内点,则有 内容:若 是复连通区域 上的解析函数, 是内境 界线， 是外境界线. 是区域的内点,则有 沿正方向线积分 证明:略
2、Cauchy公式的推论 1) 在 的外部解析，对 点公式成立. l z l正方向： 顺时针 1) 在 的外部解析，对 点公式成立. l z l正方向： 顺时针 2)某区域上的解析函数在该区域上可以求任意阶导数.
3、Cauchy公式的用处 建立了解析函数路径积分与闭合积分路径包围内函数值之间的关系; 2) 一类复变函数的路径积分可以直接用内点的函数值计算. 3) 一类函数的路径积分可以用内点的函数导数值计算.
例1 计算 解 被积函数 有两个奇点z=-1,z=3,且都在l 围成的区域内, 如图做补充围道 y 例1 计算 解 被积函数 有两个奇点z=-1,z=3,且都在l 围成的区域内, 如图做补充围道 y x 由复连通的Cauchy定理和单连通的Cauchy公式有 法一 柯西定理
柯西公式 法二
所以
例3 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: |z|=r>1. [解] 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的. 有
O C1 C2 C i -i x y
O C1 C2 C i -i x y 根据复通区域柯西定理,
例：计算 2 3 ？
在使用柯西公式之前，一定先要判断被积函数的奇点在不在闭合曲线内 例：计算 作图！ 积分函数 在积分回路 内解析， 因此有单通区域的柯西定理可知 2 3
例2 已知函数 把 当作参数， 把t 认为是复变数，试应用Cauchy公式把 表为 回路积分。对回路积分进行积分变数的替换 并借以证明
解 1） 应用Cauchy公式将 化为回路积分
（2）对回路积分进行积分变数的替换 并借以证明 2）令 代入上式：
证毕 此题将函数的导数化为了回路积分，看到了Cauchy公式的作用。
本节主要公式
路积分 路积分的概念和性质 实变函数 复变函数 定义 性质