§6-5 精细时程积分法简介（是一种高精度的数值方法） 第 六章 §6-5 精细时程积分法简介（是一种高精度的数值方法） 精细时程积分法宜于处理一阶方程。 第 5节 精细积分法 1、基本公式推导 原结构动力学方程 为已知的初始条件。 化为一阶方程 简写成 ★

第 六章 其中v是2n维的待求向量，有以下公式： 第 5节 精细积分法 是一常矩阵！

从常微分方程的理论知，应当先求★的齐次方程 第 5节 精细积分法 第 六章 2、齐次方程的精细积分 从常微分方程的理论知，应当先求★的齐次方程 第 5节 精细积分法 因为H是常矩阵，其通解可写成为 令时间步长为 ，一系列等步长 的时刻为 于是有

现在问题归结为求指数矩阵 T，应当设法非常精细地计算出该矩阵，然后就只是一系列的矩阵、向量乘法计算过程了。 第 六章 以及递推的逐步积分公式 第 5节 精细积分法 现在问题归结为求指数矩阵 T，应当设法非常精细地计算出该矩阵，然后就只是一系列的矩阵、向量乘法计算过程了。 3、指数矩阵 T 的精细计算公式 要点是利用指数的加法定理： 其中可选用 这是一种 类算法。 例如 ，则

因此对于 的区段，按照矩阵函数的级数展开式， 第 六章 由于 本来是不大的时间区段， 则 将是非常小的时间区段了。 第 5节 精细积分法 因此对于 的区段，按照矩阵函数的级数展开式， 如果只取前5项，则有 由于 很小，幂级数的5项展开式应当很好了， 此时指数矩阵 T 与单位阵 I 相差不远，因此

注意：因为 很小，当它与单位阵 I 相加时就成为尾 数，在计算机的舍入误差中其精度将丧失殆尽。 第 六章 阵是一个小量。 第 5节 精细积分法 在计算中至关重要的一点是指数矩阵的存储 只能是 ，而不是 注意：因为 很小，当它与单位阵 I 相加时就成为尾 数，在计算机的舍入误差中其精度将丧失殆尽。 因此，要单独计算存储 。 在计算 时，采用 类算法！ 具体过程如下：

这种分解一直做下去共N次，通过计算机循环（N次）语句实现。 第 六章 用计算机实现 T 阵的计算公式： 先对 T 阵分解： 第 5节 精细积分法 这种分解一直做下去共N次，通过计算机循环（N次）语句实现。 当循环结束后，最后再存储： 这样，就可保证计算过程不会丧失精度。 这是一种 类的算法！

式中 是给定向量。该方程可以 用迭加原理求解。 第 六章 4、非齐次方程的解 可以认为非齐次项在时间步 是线性的，即 第 5节 精细积分法 （1） 式中 是给定向量。该方程可以 用迭加原理求解。 令 是齐次方程的解，即 （2） 于是可以写出（1）的解为 （3）

数值计算中虽没有φ的解析表达式，然而逐步积分要求提供的是 时刻的向量 此时 第 六章 数值计算中虽没有φ的解析表达式，然而逐步积分要求提供的是 时刻的向量 此时 第 5节 精细积分法 （4） 而 T 阵是已算得的。因此得 （5） 这就是有非齐次项时的时程积分公式。 即：精细数值积分公式。

第 六章 5、算 例(p147例6-7) 第 5节 精细积分法 系统 初始条件

化为下式 第 5节 精细积分法 请用精细积分法计算，选用 作 业: 自选工程算例编程计算并做图, 比较三种方法的精度。 第 六章 化为下式 第 5节 精细积分法 请用精细积分法计算，选用 作 业: 自选工程算例编程计算并做图, 比较三种方法的精度。 2.查阅国内外求动态响应有关研究论文1-2篇；

精细积分法的主要一步是指数矩阵 T 的计算。 第 六章 6、精度分析 第 5节 精细积分法 精细积分法的主要一步是指数矩阵 T 的计算。 除去矩阵乘法通常会带来一些算术误差外，误差只能来自指数矩阵展开式的项数多少。 展开式的项数取的愈多，精度自然会更高，但是，计算量也随之增大，实践证明一般取5项足以保证很高的精度。

时程积分暂态数值分析在广泛的工程领域中很重要。 第 5节 精细积分法 第 六章 7、结束语 时程积分暂态数值分析在广泛的工程领域中很重要。 第 5节 精细积分法 精细积分法利用了 类的算法，相当于在每一步时间内再划分为 个精细步长，其中还可再利用矩阵函数幂级数展开式提高精度。 （展开式多取几项） 这就是精细积分法计算结果精度很高的原因。 精细积分法在定常系统应用很广，目前已逐步推广应用到非线性系统。

（1）钟万勰，暂态历程的精细计算方法，计算结构力学及其应用，1995，Vol.12,No.1, p1-6 第 5节 精细积分法 第 六章 参考文献： （1）钟万勰，暂态历程的精细计算方法，计算结构力学及其应用，1995，Vol.12,No.1, p1-6 第 5节 精细积分法 (2) 钟万勰，结构动力分析方程的精细时程积分法， 大连理工大学学报，1994，Vol.34,No.2, p131-136 （3）张森文，曹开彬，计算结构动力响应的状态方程直接积分法，计算力学学报，2002， Vol.34,No.2, p94-97 （4）王超，李红云，刘正兴，计算结构动力响应的分段精细时程积分方法，计算力学学报，2003， Vol.20,No.2，p175-178

总 结 本课程重点介绍求解工程特征问题及动力响应的常用数值方法。 总 结 总 结 本课程重点介绍求解工程特征问题及动力响应的常用数值方法。 总 结 重点要求掌握每一种方法的基本思想，适用条件，求解功能；各种方法的优、缺点分析。 具体内容： 1、G -S 正交化方法，H变换、Givens 变换； 2、Rayleigh 商，Sturm 定理，与约束有关性质； 3、向量迭代法、Jacobi 法、QR法、R -R 法； 4、子空间迭代法、Lanczos 法；

5、二次特征问题的特点，复模态的概念。 二次特征问题的求解方法 总 结 6、求动力响应的常用方法 振型叠加法 两种常用直接积分法（N、W法） 精细积分法 注意各方法的特点、稳定性、精度分析。

关于最后考试和成绩 笔试方式：开卷，即可参考任何资料，书籍 题 型： 概念题（判断、简述等） 最后成绩：笔试试卷成绩(30%) 平时作业+听课(20%) 撰写一篇论文(30%) 课堂讲座(20%)