第十六章 隐函数存在定理、函数相关 教学目标： 1 掌握隐函数存在定理； 2 理解隐函数存在定理并掌握其应用；

16.1 隐函数存在定理

一、 情形 在第四章和第十四章中我们先后介绍过隐函数概念及隐函数求导法.这里将给予严格的论证. 设有方程 需要解决这样的问题:在什么条件下,此方程确定一个隐函数 ?进一步,要问这样的函数是否可导? 先从一个简单的例子说起,设有方程 在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 这一点及其某个邻域内唯一地确定了一个函数

这个函数在 的近旁连续,并具有连续导数.同样在 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数 它在 的近旁连续,具有连续导数.但在 和 这两点的任何邻域内却不具有这种性质了,这时对于 的右邻域或 的左邻域内任何一个值 ,将获得两个 值 因此唯一性遭到破坏.此外还容易知道,单位圆在

点和 点处的切线是垂直于 轴的,因此在这两点处不存在有限导数. 由此可见,方程 只是对某些点及其某个邻域来说,存在唯一确定的可微函数,而对另外一些点却不是这样. 所以需要讨论在什么条件下,在适合方程 的点的某个邻域内由方程可以确定唯一一个函数 ,并且它具有我们所需要的性质,例如连续性、可微性. 我们有如下的定理, 它告诉我们, 如何从二元函数 的性质来断定由方程 所确定的函数 是存在的,并且这个函数还将具有某些特性.这个定理连

同下面的几个定理,统称为隐函数存在定理. 定理1 设 满足下面条件: 在区域 : 上 连续; 则有以下结果: 在点 的某一邻域内, 唯一确定一个函数 ,且 .换句话说,函数 被定义在点 的某个邻域 内,它满足方程 且 在 内连续;

在 内具有连续偏导数,且 注意:条件 只是保证存在 的某一邻域,使得对此邻域中任意固定的 关于 是严格增加的.因而,如果只要求结论 的话,那么条件 可适当减弱, 例如改为“对 中任意固定的 ,函数 关 于 是严格单调的”. 定理1有着明显的几何直观解释:方程 可以看作下述联立方程 从几何上看, 是空间的一块曲面, 是坐标平面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦

即在什么条件下,曲面 与平面相交,其交线是唯一的并且又是光滑的曲线. 定理的条件 表明曲面 是光滑曲面, 定理的条件 又表明曲面在 平面上有一个交点 定理的条件 告诉我们,曲面在交点 处沿 轴方向看,曲面是单调的(若 则它是单调增加的,若 则它是单调减少的),再由曲面是连续的,从而在交点 的附近曲面也是单调的. 在这样的条件下,显然在点 的附近,曲面 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的曲线 (在 平面上). 例 考察方程

二、多变量情形 上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 满足以下条件: 在区域 上具有对一切变量的连续偏导数; 则有以下结果:

在点 的某一邻域 内，方程 唯一地确定一个函数 且 在 内连续； 在 内对各个变量有连续偏导数,且 三、方程组情形 下面,我们再讨论方程组的隐函数存在问题.例

如方程组 是否可以确定其中某两个变元为其他变元的函数呢?如果可以的话,这两个函数又将具有什么性质呢? 设方程组 关于变元 有连续偏导数,其雅可比行列式为

雅可比行列式有一些重要性质将在下节给出. 为简单起见,我们先给出方程组 的隐函数存在定理. 定理3 若 和 都满足: 在点 的某一邻域 内,函数 和 分别具有对各个变量的连续偏导数; 在 点, 则 在点 的某一邻域 内,方程组 确定唯

一的一组函 ,它们被定义在 的某个邻域 内,且 及 在 内连续; 及 在 内有关于 和 的连续偏导数,且 对于更一般的方程组,我们也有同样的定理,它可以用数学归纳法来证明,这里我们只叙述其结果: 定理4 若有 个函数

满足 在点 的某邻域 内 具有对一切变元的连续偏导数; 在 点 则 在 点的某邻域内,由方程组 能唯一确定一组函数 ,它们定义在 点某邻域 内,满足

并且有 这一组函数 在 内连续; 这一组函数 在 内具有对各个变元的连续偏导数，且其对 的偏导数可以从方程组 解得.

The Class is over. Goodbye!