静电场的Laplace方程和Poisson方程

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一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业 §6.2 一阶线性微分方程.
第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结. 例如 所以是全微分方程. 定义 : 则 若有全微分形式 一、全微分方程及其求法.
第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结.
第二章 导数与微分 习题课 主要内容 典型例题 测验题. 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 高阶导数 高阶微分 一、主要内容.
第 14 章 常微分方程的 MATLAB 求 解 编者. Outline 14.1 微分方程的基本概念 14.2 几种常用微分方程类型 14.3 高阶线性微分方程 14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 14.6 边值问题的数值解.
第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个方程所确定的隐函数 及其导数 隐函数的微分法.
常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性方程组. 常系数线性微分方程组 一阶常系数线性微分方程组 : 本节主要讨论 (5.33) 的基解矩阵的求法.
第三节 二阶线形微分方程 二阶线形齐次微分方程4.3.1 二阶线形齐次微分方程 二阶线形非齐次微分方程4.3.2 二阶线形非齐次微分方程.
积 分 的 应 用 不定积分的应用 定积分的应用 第四章 微分方程 不定积分的应用 第 一 节第 一 节 学习重点 微分方程的概念 一阶微分方程的求解.
一、会求多元复合函数一阶偏导数 多元复合函数的求导公式 学习要求: 二、了解全微分形式的不变性.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
第十二章 第二节 一元函数 y = f (x) 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对二元函数的全增量是否也有类似这样的性质? 全微分.
一、可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 §2 一阶常微分方程.
第二章 导数与微分 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
第二章 导数与微分. 二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分.
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
2.3 函数的微分. 四川财经职业学院 课前复习 高阶导数的定义和计算方法。 作业解析:
高等数学 重庆交通学院 (下册总复习) 冯春 第八章 多元函数微分学 第九章 重 积 分 第十 章 曲线与曲面积分 第十一章 无穷级数 第七章 空间解析几何 第十二章 微分方程 目 录.
§3.4 空间直线的方程.
3.4 空间直线的方程.
1.非线性振动和线性振动的根本区别 §4-2 一维非线性振动及其微分方程的近似解法 方程
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一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组. 一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组.
5.3 二阶微分方程 主要内容 1.可降阶的二阶微分方程 2.二阶常系数线性微分方程.
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第六章 微分方程 — 积分问题 推广 — 微分方程问题.
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复习 齐次方程 齐次方程的解法 化为可分离变量的方程然后求解. 可化为齐次方程的方程 其它情况, 令 化为齐次方程;
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恰当方程(全微分方程) 一、概念 二、全微分方程的解法.
高等数学电子教案 第五章 定积分 第三节 微积分基本定理.
第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.
第二节 微积分基本公式 1、问题的提出 2、积分上限函数及其导数 3、牛顿—莱布尼茨公式 4、小结.
第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.
第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分
第二章 热传导动方程 第一节 热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出: 模型: 问题:
第七章 数学物理方程及其定解问题 数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题.
第四节 一阶线性微分方程 线性微分方程 伯努利方程 小结、作业 1/17.
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高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(一) —— 一元微积分学 第三十五讲 二阶常系数线性微分方程.
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§4.3 常系数线性方程组.
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第三章 导数与微分 习 题 课 主要内容 典型例题.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
全国高校数学微课程教学设计竞赛 知识点名称: 导数的定义.
第九章 微分方程与差分方程简介 §9.1 微分方程的基本概念 §9.2 一阶微分方程 §9.3 高阶常系数线性微分方程
计算机数学基础 主讲老师: 邓辉文.
第四模块 微积分学的应用 第十三节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例.
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第4章 非线性规划 4.5 约束最优化方法 2019/4/6 山东大学 软件学院.
Partial Differential Equations §2 Separation of variables
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
定解条件---初始条件 PDE 一般具有无穷多解,为选出一个满足实际物理过程的解,需要从物理过程提出定解条件
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法.
学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.
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第二章 函 数 插 值 — 三次样条插值.
2019/5/20 第三节 高阶导数 1.
第二节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题.
第四节 第七章 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程.
第三节 函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.
φ=c1cosωt+c2sinωt=Asin(ωt+θ).
5.2.1 变量可分离的微分方程 形如 的微分方程成为变量可 分离的微分方程. 解法 分离变量法 5.2 一阶微分方程(80)
《偏微分方程》第一章 绪论 第一章 绪论 1.1.
第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结、作业 1/22.
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静电场的Laplace方程和Poisson方程 弦的微小横振动方程和杆的纵振动方程 扩散和热传导方程 Schrödinger方程 定解问题和定解条件

初始条件 初始条件用于确定体系的历史状况,当所考察的物理现象 是随时间变化的时候,需要确定体系的初始条件来唯一确定地 描述该现象。(稳定问题不需要初始条件) 如对于传导或扩散过程,需要初始条件确定体系的初始状态: 对于振动过程,所需初始条件则需要包含速度的信息:

边界条件 体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界 条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况. 常见的边界条件可以分为三类 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件

第一类边界条件 (Dirichlet条件) 第一类边界条件给出未知函数在边界上的取值,即

第二类边界条件 (Neumann条件) 第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值,即

第三类边界条件 (混合边界条件) 第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数的线性组合在边界上的取值,即

第一、二、三类边界条件可以统一地写成 其中 是边界上的变点; 表示物理量 沿边界外法线方向的方向导数; 为常数,它们不同时为零.

(P159) 除了初始条件和边界条件,有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。 (定解问题所需边界条件的数目?)

三类定解问题 定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类: 只有初始条件,没有边界条件 初值(Cauchy)问题 只有边界条件,没有初始条件 边值问题 既有初始条件,又有边界条件 混合问题

定解问题的适定性 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性,统称为 定解问题的适定性。 存在性:定解问题是否有解 唯一性:定解问题的解是否唯一 稳定性:定解问题的解是否稳定 只要对实际物理问题的抽象是合理的,初始条件 完全地、确定地描写了初始时刻体系内部和边界上的 状况;边界条件完全而确定地描写了边界上任意一点 的状况,那么这样构成的定解问题就一定是适定的, 也就是说,解一定是存在的、唯一的和稳定的。

二阶线性偏微分方程

(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶. (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数. (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 (组合)偏导数的幂次数都是一次的,就称为线性方程,高 于一次以上的方程称为非线性方程. (4)准线性方程 一个偏微分方程,如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的,则称方程为准线性方程. (5)自由项 在偏微分方程中,不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项.

线性(偏微分)方程的性质 引入线性算符 L,则线性(偏微分)方程总可以表示为: 其中 u 是未知函数;f 是已知函数,称为方程的非齐次项。

方程的通解和特解 一般地,一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。

数学物理方程的分类 考察二元二次方程: 二次型的主轴定理

类似地,二阶线性偏微分方程 一定可以改写为如下“形式”:

由二次型的性质可知,上述分类方法在区域上任一点 总是可行的;但方程在不同的点可能属于不同的类型。

两个自变量的情形 显然,弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程; 一维扩散和传导方程是抛物型方程;二维静电场方程和定态 Schrödinger方程是椭圆型方程。 (三维波动方程、扩散和传导方程以及三维Poisson方程和Schrödinger方程 是什么类型的方程?)

常系数线性偏微分方程

常系数线性齐次偏微分方程的通解