§ 18.4 条件极值 一、极值 二、 条件极值拉格朗日乘数法

一、极值 若函数 在点 的某个邻域内成立不等式 则称 在点 取到极大值 ，点 称为函数 的极大点；

类似地， 若函数 在点 的某个邻域内 成立不等式 则称 在点 取到极小值 ， 点 称为函数 的极小点；

极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。 由定义可见，若 在点 取得极值，则当固定 时，一元函数 必定在 取相同的极值。 同理，一元函数 在 也取相同的极值。于是 由一元函数极值的必要条件，可得

于是得到二元函数取得极值的必要条件如下： 设二元函数 在点 的偏导数存在，若 在 取得极值，则 称满足上式的点 为 的驻点或稳定点。 上述条件不是充分的，例如函数 在原点 （0，0）有 但此函数的图形是一马鞍面， 因而在原点没有极值。

此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如： 这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， 的点都是函数的极小点，但是当 时，偏导数不存在。 综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数 不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使 偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该 点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。

如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式 当点 在 附近变动时是否有恒定的符号。 为此我们考察 的符号。

设 的二阶偏导数连续，且 ，由泰勒公式有

记 由于 的二阶偏导数连续，所以 从而

于是 因为当 时， 都是无穷小量，所以当 时，存在点 的一个邻域，使得 的符号与 的符号相同，而当 ， 的符号便取决于 的符号了。 对于二次型 它的判别式为

实二次型 为正定的必要条件是行列式 实二次型 为正定的充要条件是矩阵 A 的顺序主子式都大于零。 实二次型 为负定的充要条件是矩阵 A 的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。

那末有以下结论： ⑴ 当 时，函数有极值； 若 ，则函数有极大值。 若 ，则函数有极大值。 ⑵ 当 时，函数没有极值； ⑶ 当 时，函数有无极值还需进一步考察判定。

例 1 求 的极值。 解 分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组 解方程组得 的稳定点 再求 的二阶偏导数在 的值： 因为 且 所以 有极小值：

例 2 讨论 是否存在极值。 解 分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组 解方程组得 的稳定点为原点： 再求 的二阶偏导数在 的值： 因为 所以 无极值。

最大值、最小值问题 设函数 在某一有界闭区域 中连续且可导，则 必在 上达到最大值（或最小值）。若这样的点 位于 设函数 在某一有界闭区域 中连续且可导，则 必在 上达到最大值（或最小值）。若这样的点 位于 区域的内部，那末在这点函数显然有极大值（或极小值）。因此在这种情形，函数取到最大值（或最小值）的点必是极值点之一。然而函数的最大值（或最小值）也可能在区域的边界上达到。 因此，为了找出函数在区域 上的最大值 （或最小值），必需要找出所有有极值的内点，算出这些 点的函数值，再与区域边界上的函数极值相比较，这些数值 中的最大者（或最小者）就是函数在闭域 上的最大值（或最小值） 最大值、最小值问题

例 3 有一块薄铁皮，宽 24 厘米，把两边折起，做成一槽，求 和倾角 ，使槽的梯形截面的面积最大。 解 槽的梯形截面面积为

问题归结为求 的最大值，先求稳定点 解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点 由于在这个问题中，最大值必达到，因此当 时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为

二 条件极值拉格朗日乘数法 条件极值：对自变量有附加条件的极值．

求解方程组 解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.

例4 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 下， 求函数 的最大值. 令 则

则 令 即 由(2), (1)及(3), (2)得

由(2), (1)及(3), (2)得 代入条件，得 于是， 解得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知， 最大值一定存在， 所以， 最大值就在此点处取得。 故，最大值

解 则 由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得

将 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值

解 则

解

可得 即

三 小结 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 拉格朗日乘数法 多元函数的最值