第四节 动能定理

功和能是物理学中两个重要概念，贯穿了整个物理学各章节中，功是力对空间的积累效应。质点的任何运动问题从原则上讲都可以应用牛顿运动定律来研究，然而当问题比较复杂、涉及到物体的相互作用是多方面的，特别当某些物体相互作用不是很明显时，牛顿定律遇到困难，而用功能关系很容易解决。更重要的是在今后研究机械运动与非机械运动之间的相互转化时，必须应用作为各种形态运动普遍量度的能量概念。

一、恒力的功 物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作功。 恒力作功：等于恒力在位移上的投影（分量）与位移大小之乘积。 用矢量点积或标量积表示。 单位：焦耳，J

二、明确几点 1.功是标量，只有大小正负之分。 力对物体做正功； 力对物体不作功； 力对物体做负功。 2.多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。

例如：外力 F 在弹簧拉长过程中弹簧上的各点的位移是不同的，位移应该用力的作用点的位移 x. 证明： 证毕 3.明确位移是力的作用点的位移。 例如：外力 F 在弹簧拉长过程中弹簧上的各点的位移是不同的，位移应该用力的作用点的位移 x. F P P F x

4.一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但这对力作功的总和不一定为0。 例如：子弹穿过木块过程子弹对木块的作用力为f，木块对子弹的反作用力为f ’，木块的位移为s，子弹的位移为（s+l）。 f 对木块作功： f ’ 对子弹作功：

f 对木块作功： f ’ 对子弹作功： 合功为： 子弹减少的能量转变成木块的动能和热能， 摩擦生热，为一对作用力和反作用力作功之和。

5.作功与参照系有关。 例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人看摩擦力作功了，而站在传送带上的人看摩擦力没有作功。

三、变力的功 在实际问题中经常遇到的是变力作功问题。力的大小和方向都随时间发生变化。如何处理变力作功问题？ b 解决方法： 1.无限分割路径； 2.以直线段代替曲线段； 3.以恒力的功代替变力的功； a

4.将各段作功求代数和； a b +） 这样计算出来的功不够精确，如要精确计算

令 取极限， 即力的功定义为：力对位移的线积分。

四、功的图像 在 图中的曲线下面积为功。 图中的曲线下面积为： q cos F 即为功的定义。

五、功的计算方法 1.受力分析； 2.建立坐标系； 3.确定元功 4.由功的定义求解 例1：万有引力的功 质量为 m 的卫星从H 高空自由垂直下落到地面，地球质量为 M、半径R，求万有引力的功。

分析：当卫星下落时万有引力的大小在变化，为变力作功。建立坐标系，将路径无限分割，在dr上做的元功dW为： 的方向相反 则

整个过程所做的功为： 万有引力做正功。

劲度系数为 k 的弹簧，在弹力的作用下，从距原长为 x0 收缩到 x，求此过程中弹力作功。 例2：弹力的功 劲度系数为 k 的弹簧，在弹力的作用下，从距原长为 x0 收缩到 x，求此过程中弹力作功。 原长 解：弹簧在收缩过程中弹力变化，为变力作功，以弹簧原长为原点建立坐标系，在位移dx上的元功为： x0 x

dx x0 x 坐标 的方向相反, 整个过程的功：

六、功率P 描写作功快慢的物理量，即单位时间内外力做的功。 1.平均功率 外力作功与时间之比。 2. 功率 由 和

有 单位：瓦特，W 千瓦，KW 1KW=103W

七、质点的动能定理 在计算变力的功时，必须知道力随位移的函数关系，但在有些情况下力的变化比较复杂，难于找出这种固定的函数关系，使变力功的计算变得复杂。但是力对物体作功，改变了物体的运动状态，那么作功和物体状态变化有什么关系？ 当外力移动物体从a到b过程中，力对物体作功，将外力分解为切向分力和法向分力

由 而

定义动能： 单位：焦耳，J 动能定理：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量(或末态动能减去初态动能)。 八、明确几点： 1.动能是描写物体状态的物理量，物体状态的改变可由作功（和冲量）实现。

2. 功是过程量，动能是状态量，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的动能变化，即求出该过程的功。 3. W为合外力的功或所受外力功的代数和，不是合外力中某一个力的功。 4. 如果 Ek >Ek0, W >0 ,外力对物体做正功； 如果 Ek <Ek0, W <0 ,外力对物体做负功, 或物体克服外力(阻力)作功。 5. 功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，但功是过程量，能是状态量。功是能量变化的量度。 6. 动能定理由牛顿第二定律导出， 只适用于惯性参考系，且W和Ek 均与参考系有关。

九、解题思路与举例 1.确定研究对象(隔离物体法）； 2.受力分析，分析作功的力，不作功的力不考虑； 3.分析始末运动状态，确定Ek、Ek0； 4.应用定理列方程求解。 例：第二宇宙速度 第二宇宙速度是物体脱离地球引力进入太阳系的速度，地球半径R=6400km。

第一宇宙速度是物体进入地球轨道的速度 v1=7. 9km/s，第二宇宙速度是物体进入太阳系的速度 v2=11 第一宇宙速度是物体进入地球轨道的速度 v1=7.9km/s，第二宇宙速度是物体进入太阳系的速度 v2=11.2 km/s，第三宇宙速度为物体脱离太阳引力，飞出太阳系的速度 v3=16.4km/s。 解：物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷远处的速度为 0， 初态动能： 末态动能：

发射过程中万有引力作功： 由质点动能定理：

由于在地球表面附近：

第五节 保守力与非保守力 势能

上节我们已经知道，力的功一般来说是与经历路经有关的量。那么所有的功都是过程量吗？如果不是，在什么条件下功与过程无关？由此出发，我们可以建立势能的概念。 一、几个特殊力的功 下面分别讨论重力、弹力和万有引力的作功的特点。

1 重力的功 地 若物体沿另一路径adb，结果相同。重力的功只与运动物体的始末位置有关，与运动物体所经过的路径无关。

如果一块石头放在地面你对它并不关心。

如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它，你可能要离它远些，因为它对你的生命安全造成威胁。

2.弹性力的功 x0 x 由第一节的弹力作功的结论， 可知，弹性力对小球做的功只与小球的始末位置有关，与小球的运动路径无关。

3 万有引力的功 m 在任一位置处所受的万有引力为 万有引力的功为

万有引力的功只与物体的始末位置有关，与物体的运动路径无关。

保守力： 非保守力： 二、保守力与非保守力 保守力—力的功只与物体的始末位置有关，而与经 历的路径无关。 保守力—力的功只与物体的始末位置有关，而与经 历的路径无关。 非保守力—力的功与经历的路径有关—耗散力。 容易证明(P.78)：物体沿闭合路径绕行一周，保守力所做的功恒为零。非保守力没有这种特性的力。 保守力： 重力、弹性力、万有引力、静电力 非保守力： 摩擦力、爆炸力 由于保守力的功只由路径的始、末位置确定，这就说明一定存在状态函数，使得保守力的功可用状态函数的变化表示。

三、势能 势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功有关，是状态函数。 （1）势能差

（2）势能

（2）势能属于物体与系统所共有。 （3）只有保守力场才能引入势能的概念。 （1）势能 为状态量，是状态（位置）的单值函数。其数值还与零势能点的选取有关。 （2）势能属于物体与系统所共有。 （3）只有保守力场才能引入势能的概念。

四、势能曲线 由势能函数求保守力* （二）弹性势能曲线 （1）势能曲线 （一）重力势能曲线 （三）引力势能曲线

（2）由势能函数求保守力 若质点A在保守力的作用下，沿某一给定的 方向有微小的位移 ，由定义，势能增量为

即保守力等于势能梯度的负值

作业 《大学物理习题精选I》P.10 No. 4 1、是选择题: 8、10-12、14、15； 2、填空题: 11、12、13、15、16； 3、计算题: 6、7。