2011年高考数学试卷的特点透视及2012年命题趋势分析 杭州第十四中学 马茂年

高考数学试卷概况 2011年全国各地高考数学试卷共18套，其中新课程试卷有14套，分别是天津卷、辽宁卷、浙江卷、福建卷、安徽卷、江西卷、广东卷、山东卷、江苏卷、上海卷、新课程全国卷(适用于宁夏、河南、山西、新疆、吉林、海南、黑龙江地区)、北京卷、湖南卷和陕西卷.

大纲课程试卷有4套，分别是全国大纲卷(适用于河北、广西、贵州、云南、甘肃、西藏、青海、内蒙古地区)、湖北卷、重庆卷和四川卷 大纲课程试卷有4套，分别是全国大纲卷(适用于河北、广西、贵州、云南、甘肃、西藏、青海、内蒙古地区)、湖北卷、重庆卷和四川卷. 它们之中，江苏卷是文、理科合卷，江西卷系新课程试卷的首次亮相，2011年新课程数学试卷精彩纷呈，目不暇接，大纲课程数学试卷也琳琅满目，美不胜收。

1．新课程卷整体上，结构鲜活，背景新颖，在创新中发展 1.1 选择题和填空题所考查的知识点统计 表1：2011年高考数学新课程试卷（理科）选择题知识考点分布

1.2 选择题、填空题从统计知识点中透视真缔和趋势分析 从统计中可以发现，函数的零点、多面体的三视图、算法初步中的程序运行、含有全称量词和存在量词的命题、几何概型、茎叶图、合情推理、线性回归直线方程等知识，都已成为文、理科考查的热点。复数是文科的新增学习内容，它已经成为文科知识考点的最大热门。

从统计中我们发现，在选择题和填空题中，理科出现频率较高的知识考点为多面体的三视图、算法初步中的程序运行，含有全称量词和存在量词的命题，文科出现频率较高的知识考点为复数运算、多面体的三视图、算法初步中的程序运行。

在选择题和填空题中，集合运算、复数运算、向量运算这三种运算占必考地位，函数的性质、数列的性质、不等式的性质、曲线方程的性质这四大性质成为结构主体，函数方程、数形结合、分类讨论、等价转换、统计分析等思想方法得到了很好的体现。

选择题试题将以集合、复数、简易逻辑、函数、三角、数列、不等式、立体几何、解析几何、平面向量、导数、概率与统计等为基本素材，极具思考性、挑战性和趣味性的小型综合题为多。其中集合中的信息迁移题、复数的基本概念和代数运算题、三角函数的图像和性质题、立体几何与解析几何的交汇题、平面向量与平面几何的融合题等将是高考选择题中最有活力和魅力的优秀创新题。填空题是以简易逻辑、立体几何、线性规划、解析几何、平面向量、导数等为载体，编制新颖别致、小巧玲珑的小型综合题。

1.4 高考数学新课程试卷应用性试题透视和趋势分析 对应用意识的考查前几年就进入了高考命题者的视野，但由于应用题的设计需要符合“贴近生活、背景公平、控制难度”三要素，所以它的迈步有些裹足不前，新课程教学理念如一股强劲的春风，吹生了好多应用性高考题，每卷至少出现一道应用性小题。

2011年高考数学新课程试卷中的应用性问题丰富多彩，涉及社会、生产、生活的方方面面，许多试题别开生面，充分展示了课程改革的累累硕果。以理科为例，新课程全国卷第19题中的“质量指标”、湖南卷第18题中的“商场试销”，安徽卷第20题中的“核电辐射”等，都充分体现了新课程理念。我们可以预见，应用题中的设计方案将成为高考题的一种“时尚”而逐步流行。

2011年高考数学应用题，背景熟悉，创意新颖，贴近考生生活实际，有助于培养学生的创新意识与实践能力。解决问题时所用的具体数学知识并不多，关键是考查学生的观察分析能力、直觉顿悟能力和逆向推演能力，注重于对逻辑思维能力、理性思维能力和解题方法的考查。问题“寓意深厚，淡中见隽”，需要“巧妙思索，出奇制胜”。题目明确地告诉我们，不仅要学会用数学的知识解决问题，更要善于运用数学的思想方法和创新思维方式来解决有关实际问题。

1.6 高考数学新课程试卷（理科）中的数列解答题透视和趋势分析 数列在解答题中长期处于压轴题的地位（尤其是理科），人们对它往往情有独钟，但在新课程下其教学内容已大加削减，教学要求也明显降低，相应地在高考中的地位必然会逐步下降，由于有些试卷最后一个大题安排自选模块内容，而有些试卷干脆只安排五个大题，这样就把数列挤出了解答题，这是不足为怪的。但从上面的统计可以发现，数列在解答题中的压轴地位不可动摇，又回到最主要的地位了。

从思维角度看，考查数列的综合知识还是必要的；从教学情感说，数列解答题跟我们真的难舍难分。因此，从大纲课程高考向新课程高考过渡的时候仍然安排数列解答题是合适的，考查重点将会是等差数列、等比数列的通项与求和以及利用重要不等式、放缩法、分类讨论。从今年的高考数列题分析，难度越来越大，以后我们必需加强数列这部分内容的教学。

数列是高考考查的重点和热点，分析2011年高考试题，从分值来看，数列部分约占总分的10%左右。等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质一直是高考的重点内容。对数列部分的考查一方面以小题形式考查基础知识；另一方面以解答题形式考查数列的概念、通项公式以及前n项求和公式。解答题中有些省份把数列作为压轴题，与不等式、数学归纳法、函数等综合，考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力，以及分析、解决问题的能力。

新课程标准（选修2-1）一再强调“了解实际背景”和“体会数形结合”，这些要求在2011年的高考题中得到了较好的体现。在选择题和填空题中，实际背景屡见不鲜，数形结合俯首皆是，多个省卷都精心设计了有关椭圆与圆的应用解答题，真是匠心独运。解析几何是重头戏，在新课程高考里还是岿然不动，两个“掌握”，奠定了它们在高考中的压轴（至少是准压轴）地位。考试难度常见是较难题，且理科卷中其题序大致在倒数第2题（文科可能在最后一题）。由于新课程试卷都还处在摸索阶段，对解析几何的定位还有不确定性，估计中偏上的难度会是人们今后的共识。

直线与圆锥曲线的位置关系及其解析几何的基本思想方法，历来是高考数学考查的重点乃至每年必考的焦点与久考不衰的热点问题之一。这类问题常常涉及求直线或圆锥曲线的方程、直线被圆锥曲线所截得弦长的计算、直线与有关线段围成的三角形面积及其最值的求解、运用点到直线距离公式求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系这类问题其解法的基本思想方法（可谓“通性通法”）

试题多数以“直线与椭圆”为载体，“题意清晰、题面简洁、题图简明、题问明确”，是一道“常见、常态、常规”之题型，但通过命题者题设条件的巧妙设置，使上述所列的有关知识得以具体而全面的考查。同时通过精心的设问，使相关知识得以较好的交融与交汇，拓展了问题考查的知识面，不失为“一道名不见经传”的好试题。

2.2高考数学大纲课程试卷题型结构稳定，分值配置不变，考查主干知识不变 各卷的选择题和填空题难度都在进行合理和适度的调整。总的来说，适当降低了起点，但也始终保持着最后1个选择题和填空题的难度，各卷的选择题和填空题多数是基础题，选择题和填空题的最后一题以及解答题的末两、三题的后半题，分层、分级适当提高能力要求，从而达到了“区分”和“选拔”的目的。

选择题和填空题毕竟不是解答题，小题不必大做：前几道题只要运用基础知识即可一望而解，而后几道题就需要解题机智，需要在深刻理解知识的前提下灵机一动。我们对大纲课程文、理科选择题和填空题最后一题的知识考点进行了统计分析，结果发现“椭圆”、“球”、“新定义（信息题）”排在前三位，究其原因是，它们能较好地考查数学方法的运用、数学知识的综合和数学学习的潜能。大纲课程高考有与新课程高考不同的考试范围和考试要求，现在进行时仍然以大纲课程的考纲作为命题的根本依据，不会受新课程高考的影响和制约。

大纲课程试卷立体几何、解析几何两类几何题的材料背景一清二楚，其中立体几何大题的材料背景中，正方体、非正方体的柱体、台体和非规则几何体烘托着锥体；理科试卷解析几何大题的材料背景中，圆、椭圆、抛物线烘托着双曲线；文科试卷解析几何大题的材料背景中，圆、椭圆、双曲线烘托着抛物线。

3.2011年高考数学卷总体评价及对高中数学教学的启示 3.1 突出重点注重双基，主干内容常考常新，对数学基础知识和基本思想方法的考查达到“横向到边，纵向到底，不留死角，一网打尽”的境地 2011年全国高考数学命题坚持对数学基础知识和基本数学思想方法的考查，既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容和主干知识，占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，对数学基础知识和基本思想方法的考查达到必要的深度，乃至达到“横向到边，纵向到底，不留死角，一网打尽”的境地，这便成为了今年全国高考数学试卷的一大特色和一个亮点。

3.2知识能力素质相融，全面检测综合素养，对数学概念本质和理性思维能力的考查导入“回归源头，得心应手，先思后解，自在悠闲”的境域 2011年全国各地高考数学试题立意鲜明，题目不偏不怪，题干简约，叙述清晰，纯净淡雅，平易近人。“以思维为核心，能力为导向”是2011年高考数学命题坚持不懈的追求，试题进一步深化能力立意思想，同时兼顾了数学知识、方法、思维、能力、素质和综合素养的考查，以有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于培养学生的创新精神和实践能力的命题主旨。

2011年全国各地高考数学命题非常注重对数学概念、数学知识本质的考查，要求考生不但要会灵活地运用数学概念和知识，更重视重要的数学概念和知识的源头；不但要知其然，更要知其所以然；不但要会做题目，更要面对生活，善于思考。命题教师从学科的整体意义出发，立足数学本质创作试题，使文理科不同层次的考生都能发挥出各自的最佳水平。试题从不同角度应用不同思维方法，创设了多种解题思考途径，含有很高的数学思维含量，要求学生在解答前要仔细阅读题意，深刻理解题目内涵，寻找数学概念的内蕴性质，着力考查学生的理性思维能力。

3.3背景公平似曾相识，巧妙变换引爆思考，对自主探究和创新意识考查的命题设计步入“路径宽敞，寓意深厚，淡中见隽，出奇制胜”的境界 2011年各地高考数学试卷避免了刻板、繁难和偏怪的试题，避免了死记硬背的内容、难晦冗长的题目叙述和繁琐的计算，同时注意试题形式的多样性和设计的创新性，在选择题、填空题、解答题中均设计了利用考生熟悉的、常见的背景变化和重新设计的问题，考查数学主体内容，体现数学素质的题目，其情境熟悉，寓意深厚，看似平淡实则新奇，思考路径宽敞，问题的设计努力为“学生自主探究、发挥主观能动性、研究问题的本质、寻找合适的解题方法、优化解题程序、展示其探索探究和创新意识、发挥创造能力”创设并提供了广阔的挥洒空间，这又成为了2011年全国各地高考数学命题的一大特点。

3.4 2011年高考数学卷对高中数学教学的启示，如何上好复习课，如何减轻学生负担，提高课堂教学效益 今年全国高考数学卷的风格决定了“难题不是难在技巧上，而是难在策略上”，在教学中，如何提升学生的策略水平？这是一个很难用一句话来回答的问题，我们可以试探性的作如下讨论： (1) 学生的解题策略水平，离不开数学思想方法的支撑，离不开对数学概念的深入理解； (2) 脱离学生的认知基础，一味强调“核心技能”的复制与模仿，难以提升策略水平； (3) 在学生的认知基础上进行“技能训练”而不进行“技能成因”的合理性、必要性探究，也难以提升学生的策略水平； (4) 学生策略水平的高低与学生包括阅读理解在内的综合能力有关；与学生数学学习的经验水平有关；与学生面对陌生情境，能否进行信息加工，通过现象看本质的心理素质有关；与学生在长期的解题训练中，能否不断反思“技能成因”的合理性、必要性，进而内化为策略原则，即“元认知”水平有关。

基于这样的认识，我们要提高高三数学课堂教学效益，就必须做到如下几点： ① 准确把握学生的思维习惯、认知基础，并以此作为解题策略生成的起点； ② 教学中善于引导学生把他们已有的生活经验适时迁移到解题策略的制定上来； ③ 对于超出学生思维习惯、认知基础的解题策略，教师可以启发式讲授，但要深入挖掘其合理性、必要性，力求自然、和谐、水到渠成。

4.命题将从知识立意转向能力立意 4.1 能力立意的历程 1999年首次提出“能力立意”； 2004年《考试大纲》对“能力立意”给出定义； 2005年《考试大纲》对五种能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力、创新意识）做出进一步界定和解释。

4.2 对“能力立意”的理解 “以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握科学的整体意义，用统一的数学观点组织材料。对知识的考察侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。（《考试大纲》）

5.从“能力立意”中”悟出”命题策略 1 以数学知识为载体，考察一般能力 2 以思想方法为桥梁，注重能力形成 1 以数学知识为载体，考察一般能力 2 以思想方法为桥梁，注重能力形成 3 以思维能力为核心，考察能力层次 4 以数学素养为目标，发展理性思维 5 以“双基”为立足点，着意创新能力

5.1 以知识为载体，考察一般能力 符号学习能力 概念学习能力 规则学习能力

例1 (广东) 设函数 , 其中常数m为整数. (1) 当m为何值时, ; (2) 定理: 若函数g(x)在 上连续,且 g(a)与g(b)异号,则至少存在一点 使g(x0)=0. 试用上述定理证明:当整数 时,方程f(x)=0,在 内有两个实根 学习定理(规则)——理解——应用

5.2 以思想方法为桥梁，注重能力形成 在解题过程中形成能力 背景熟 入口宽 深入难 试题特点 选题启示一

例2(天津) 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. (I) 求椭圆的方程及离心率； (II)若 求直线PQ的方程； (III)设 ，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明

5.3 以思维能力为核心，考察能力层次 广度 深度 一题多解 选题启示二 一题多问

小题难做 直接求半径 小题大做 球心四等份高 小题小做 补成正方体 不同的解题方法体现不同的思维层次 例3(全国) 一个四面体的所有棱长都为 ，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ） A． B． C． D． 小题难做 直接求半径 小题大做 球心四等份高 小题小做 补成正方体

不同的设问体现不同的思维层次 例4 (上海春)（1）求右焦点的坐标是(2,0), 且经过 的椭圆的标准方程。 （2）已知椭圆C的方程是 例4 (上海春)（1）求右焦点的坐标是(2,0), 且经过 的椭圆的标准方程。 （2）已知椭圆C的方程是 设斜率为 的直线，交椭圆于A、B两点，AB的中点为M。证明：当直线平行移动时，动点M在一条过原点的直线上。 （3）利用（2）的所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心。

高考应是思维的较量， 不能变成速度的比赛 5.4 以数学素养为目标，发展理性思维 2011年思维能力上升到理性思维 选题启示三 知识融汇增强 试题趋向 题目数量减少 高考应是思维的较量， 不能变成速度的比赛

空间想像、直觉猜想、归纳抽象、 符号表达、运算推理、演绎证明 例5 (上海春) 已知点的序列 是线段 的中点， 是线段 的中点, 是线段 的中点， 是线段 的中点, 是线段 的中点 （1）写出 之间的关系； （2）设 ，计算 ，并推测 的通项，并证明； （3）求 的极限 空间想像、直觉猜想、归纳抽象、 符号表达、运算推理、演绎证明

类比上海春： 背景相同 方法相同 一维变二维 （3）若记bn=y4n+4y4n,nN*， 证明 {bn}是等比数列． 例6(浙江) 如图，△OBC的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为(xn,yn)， an= yn+yn+1+yn+2． （1）求a1,a2,a3及an； （2）证明: （3）若记bn=y4n+4y4n,nN*， 证明 {bn}是等比数列． 类比上海春： 背景相同 方法相同 一维变二维

5.5 以“双基”为立足点，着意创新能力 横向类比 纵向加深 交错融汇 陈题开放 立足双基 选题启示四

横向类比 例7（北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么的 值为____，这个数列的前n项和 的计算公式为____． 等差、等比数列——“等和数列”

纵向加深 例8(上海) 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第____ 组． (写出所有符合要求的组号) 其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和． ①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an． “知三求二”——“基本量”

交错融汇 复数、向量的内积——新运算符号 例9 (上海春) 对于任意两个复 ， 例9 (上海春) 对于任意两个复 ， 定义运算“⊙”为： ，设非零复数 、 在复平面内对应的点分别为 、 ，点O为坐标原点，如果 ，那么在 中， 的大小为____　　　　　　 复数、向量的内积——新运算符号

陈题开放 例10(江苏) 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c>0的解集是__________ x -3 -2 -1 1 2 3 4 y 6 -4 -6

6.复习选题的几点思考 关注热点 挖掘冷点 研究交汇点 重视常考点

热点搜索 传统的主干内容 函数、不等式、数列、立几、圆锥曲线 2.教材新增内容 平面向量、空间向量、概率统计、导数、随机变量 3.创新热点 函数问题、图表问题、空间轨迹问题、 探索性问题、开放题

冷点搜索 关注： 近5年未考过， 理解、掌握、运用的知识点 举例 圆锥曲线的光学性质 斜二测画法 三角函数图象作为应用题

交汇点搜索 不等式、数列、函数的交汇； 数列、数学归纳法、解几交汇； 向量、三角函数、解析几何交汇； 线线、线面、面面位置关系交汇； 期望、方差、正态分布的交汇

例11 如图，已知点A(0,1),B (1,0) ，点C、D在第一象限，直线l:x=t(0≤t≤2) 将正方形ABCD分成两部分，设左部分（阴影部分）面积为f(t) （2）设f(t)-t≥0，求f(t)+2t的范围 A x=t D C B 分析: 答案: 1、改编于02会考 2、f(t)表达式为分段函数 3、二次函数区间求最值问题 4、会不会遗漏0

例12设异面直线a、b,公垂线段|EF|=m，线段|AB|=n(n>m>0)，两端点A、B分别在a、b上移动，线段AB中点P的轨迹是 （ B ）。 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 A B E F 分析:点P在EF的中垂面内 立体几何与解析几何综合值得关注

数学是高考的主要学科，数学成绩的高低，将会决定考生的高考命运。如何在高三复习教学中，使学生获得最佳的高考数学成绩，一般是有规律可寻的，如下的几条建议也许对你是有启示的：按步思维；程序解答；回归定义；分析转化；数形结合；函数思想；分类讨论；反面入手；特殊突破；重视通法。数学解题，事实上就是经过一系列的连续化归与变形，将复杂的问题弄简单、弄明白。当你的心在与书交流、与数学题对白时，心头就会逐渐升起淡淡的喜悦，浮荡的灵魂就能体验到数学思维里的美妙和美妙思维里的数学。愿我们能在思考中学习数学，在理解中感悟数学，在运用中体验数学。

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