第十章 能 量 法

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本章要点 （1）莫尔定理的推导和应用 （2）卡氏定理的应用 （3）图乘法原理 重要概念 变形能、莫尔定理、卡氏定理、单位力、虚位移、虚力

目录 §10-1 概 述 §10-2 杆件变形能的计算 §10-3 莫尔定理 §10-4 图形互乘法 §10-5 卡氏定理 §10-1 概 述 §10-2 杆件变形能的计算 §10-3 莫尔定理 §10-4 图形互乘法 §10-5 卡氏定理 §10-6 功的互等定理和位移互等定理

§10-1 概 述 .上册总结： 二.本节课所要学习的主要内容及中心内容： 1.能量法的概念 2.杆件变形能的计算 §10-1 概 述 .上册总结： 二.本节课所要学习的主要内容及中心内容： 1.能量法的概念 2.杆件变形能的计算 3.莫尔定理—— 一种具体的能量方法（本节课的中心内容）

完 三.基本概念： 能量 变形 1. 功能原理——W=U 物理意义：弹性体在变形的过程中，外力所做的功全部 转化为储存于弹性体内部的变形能。 2. 能量法——从能量的角度出发，利用功能原理来求解弹 性体变形的方法，即： 完 目录

(1) 由于本课位于第二册之首，因此在学习之前对上册进 行简单总结，同时，在总结过程中可自然地引出该章内容。 (1) 由于本课位于第二册之首，因此在学习之前对上册进 行简单总结，同时，在总结过程中可自然地引出该章内容。 (2) 在阐述功能原理的过程中，必须强调：在功能的转化 过程中，还会有动能的损失，还会产生热能等其它形式的能量 ，但由于这些能量同变形能相比，是很小的，故在一般情况下 可以忽略不计，而近似地认为W全部地转化成了U。 (3) 在分析了功能原理和能量法的概念之后，应该指出能 量法的实质，并合乎情理的引出下节内容。

§10-2 杆件变形能的计算 .轴向拉压变形能的计算： N=常量（图一） ——复习内容。 轴向拉压变形

微元法 2． （图二） 图二 方法：微元法 ：微量 相对于 的影响。 而言很小，忽略 微段 近似的被看成N=常量的等直杆，从而可用公式 ——计算微段内的变形能

令微段内的变形能为du，则： ——重点学习内容

二.扭转变形能的计算： 图三 扭转变形 图四 1． （图三） ——复习内容 2． （变量）（图四） 方法：微元法。 ——学习内容

三．弯曲变形能的计算： 2． （图六） 方法：微元法 ——学习内容 〈注：其中 的角标可略〉 1. （图五） ——复习内容 图六 图五 受力作用

完 3.在讨论变形能的计算问题之前，应首先强调：杆件的变 形能 可以分为两种情况： 内力=常量 内力=变量 对于内力=常量的情况在第2，3，7三章已经分别研究过。 在本节课上只做简单复习，而着重的讨论内力=变量的情况。 4.由于 变形能的计算方法都是一样的，故在此只需对 三种情况下 的情况做细致的讨论，后面两种情况可一带而过，无须多讲。 完 目录

§10-3 莫尔定理 ——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具 一．定理： 其中： ——计算挠度的莫尔定理 f —— 线位移 ——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。 ——在预加单位载荷P0=1 作用下，X截面的弯矩。 其中：

图七 图八

对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产生影响，剪力也要产生影响，但当 变形都是由于 于弯矩的影响来说是很小的， 的影响而产生的。 时，剪力的影响相对 故可略而不计，而近似地认为梁的 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定理。

二.定理证明： 1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U —— <a> 图八 图七 —— <b>

图七 3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方 式时，梁内的变形能 P0作用下： ——<b> P1、P2、P3……作用下： ——<c>

图七 图八 图九

在产生 f变形过程中，P0做功： ——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁 内最终所储存的总变形能 ——<d> 4. 采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加 载方式时X截面弯矩: ——根据叠加原理

在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质 上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为： 在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情况。 此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用，C点产生的位移 况下梁内的变形能。即<c>式。 应等于f； 产生的变形能也应等于图七情

4.根据变形能与加载方式无关的道理得： ——计算挠度的莫尔定理 5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：

例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为 ——计算转角的莫尔定理 图九 三.总结： 1.莫尔定理——单位力法 2.适用范围——线弹性结构 四.应用举例： 例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为 。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的 挠度 及端面B的转角

解：〈一〉求支反力RA，RB 由对称性： 〈二〉求 及

在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一对称结构。 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其 一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。 如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此 及 可写成左边的形式。

“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。 “-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。 中的 为了区别 及 ，在 改写 的形式。 成 例题总结： 1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。 2． 中的正负号所表示的含义： “+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。 “-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。

上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右，以提高“讲”的效果。 为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号…标明实际位移方向。 注意： 上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右，以提高“讲”的效果。 五.莫尔定理在平面曲杆的应用： 〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似计算公式： （10-12）

完 式中：S ——代表曲杆轴线的弧长 ——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 ——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩 （计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，请大家课后将它推导出来） 完 目录

§10-4 图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分： 对于等直杆，EI=const，可以 提到积分号外，故只需计算积分。 §10-4 图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分： 对于等直杆，EI=const，可以 提到积分号外，故只需计算积分。 直杆的M0(x)图必定是直线或折 线。

顶点 顶点 二次抛物线

例10—2：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解：

例10—3：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 解：

例10—4：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 解：

例10—5：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。 解：

例10—6：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解：

例10—7：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。 解：

解： 例10—8：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值；

例9：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。 解：

例10—10：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。

例10—11：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的相对线位移 ΔAB 。 解：

例10—12：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。 完 目录

§10-5卡氏定理 一．定理： 的偏导数， 作用点沿 位移，即： 方向的 对于线弹性结构，变形能对任一外力 等于 式中： U ——弹性体内的变形能（在P2… 作用下） ——作用在弹性体上一组外力P1、P2… 中，作用在n点处的外力. ——对应于 所发生的n点沿 方向的位移。

二.定理证明： 相同。 如图所示： P1、P2… 为作用于弹性体上的一组载荷， 在此称为原始载荷。 为我们为了求解问题的需要， 地施加于弹性体上的一微小增量，其作用方向及作用位置与 而假想 1.在原始载荷作用下（ P1、P2… 作用下）的变形能。令此 两种情况下的变形能为 2.在原始载荷作用的基础上，在n点沿 方向施加 弹性体的变形能，由于 处施加了一增量 能U也应产生一增量 故此时弹性体内的变形能应 <a> 后， ，则变形 为：

原始载荷 弹性体 卡氏定理 增加载荷

始终作用在弹性体上，因此该过程中，弹性体内再次 ，而总的变形能应为： 3.先作用 而后作用 P1、P2… 。由于 的作用， 弹性体内所产生的变形能为： 在 的作用过程中，由 不因先前作用了 而有所改变， 同时由于 在这一过程中 始终作用在弹性体上，因此该过程中，弹性体内再次 产生的变形能应为： 对弹性体的作用效果并 <b> 由<a>=<b>可得：

略去二阶微量： ，求得： ——卡氏定理。 三.卡氏定理的应用 横力弯曲梁： 变形能：

2.平面曲杆（截面高度远小于轴线曲率半径） 变形能： 3.桁架： 变形能：

分别指广义位移和广义力，即： 注：上述公式中， 则为线位移， 为力偶时， 则为一转角。 为集中力时， 和左端截面A的转角 例10—13：如图所示为一外伸梁，其抗弯刚度EI已知，试 求外伸端C的挠度

解：〈一〉求支座反力及内力方程： 1.支反力：由 2.弯矩方程： AB段： BC段：

3．求 和

注：此处 和 力的方向一致。 的结果为正，说明位移方向同各自处外 举例说明卡氏定理的附加力法： 例14：如图所示为一悬臂梁，其抗弯刚度EI为已知，试求自由端截面的垂直位移及截面转角。 解：〈一〉在梁的自由端截面处作用附加力 和 如图：

此时， 〈二〉求 和

完 讨论：当我们所要求其位移的截面处无集中力作用时，或所要 求其转角的截面处无集中力偶作用时，为了能够使用卡 氏定理解 题，我们可以在上述位置处作用上附加力 和附加力偶 然后按照卡氏定理求出结果，并在结果 中令 即可。 ， 完 目录

§10-6 功的互等定理和位移互等定理 .定理： 二.定理证明： 1． ——功的互等定理 ——位移互等定理 和 <c>所示，在线弹性范围之内的情况下，梁内的变形能应为： 缓慢地按相同的比例增加地作用在梁上，如图 ——<1>

图a 图b 图c 图d

—— 作用下，1点沿 方向的位移 作用下，2点沿 2.按照先作用 后作用 证明莫尔定理同样地道理，可得；梁内的变形能应为： 的方式施加载荷，根据 ——<2> 3.由于梁内的变形能与加载方式是无关的，故 即：

——功的互等定理 4.在 时： ——位移互等定理

例10—15：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由 端B的挠度。 解：

例10—16：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的 挠度。 解：

例10—17：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原 理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。 解：

思考题10—1：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中 力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位 移。已知GIp、EI为常量。 思考题10—2：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的 挠度和转角。 L F A B

思考题10—3：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口 的张开量 ΔAB 。EI=常数。 思考题10—4：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用 扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为 d。试求B端的扭转角。已知E、μ。

思考题10—5：求图示简支梁C截面的挠度。 思考题10—6：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移ΔC。

谢 谢 大 家 ! 完 思考题10—7：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用 ，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。 思考题10—8：已知简支梁在均布载荷q作用下，梁的中点挠度为： 求：梁在中点集中力P作用下(见图)，梁的挠曲线与梁变形前的 轴线所围成的面积。 完 目录