量子统计的建立 1925-1926年产生了两种量子统计法：玻色统计法和费米统计法。

1924-1925年，各自独立的发现了自旋为半整数的微观粒子所服从的统计法则，即费米-狄拉克统计法。其特点是：不能有一个以上的粒子据有同一个量子态。从此量子统计物理学迅速建立起来。

第八章 玻色子统计和费米统计 §8-1 热力学量的统计表达式 §8-2 弱简并理想玻色气体和费米气体 §8-3 玻色—Einstein凝聚 第八章  玻色子统计和费米统计 §8-1 热力学量的统计表达式 §8-2 弱简并理想玻色气体和费米气体 §8-3 玻色—Einstein凝聚 §8-4 光子气体 §8-5 金属中的自由电子气体

小结：

§8-1 The statistical expressions of thermodynamic quantities 1、Bose systems: Define a macrocanonical partition function:

这样我们就可以得到总粒子数：

Now, let’s see the entropy and Lagrange Variable factor

2、熵及Boltzmann关系 由(6.1.4)式及(6.1.5)式得 是 的函数，其全微分为

故有 对于闭系,

是 的积分因子。 比较可知 （7.1.12） 所以 积分得 （8.1.10） 将(8.1.3)式代人(8.1.10)式，与(6.7.4)式比较，得 (6.1.10) 玻耳兹曼关系

对于开系：

Boltzmann relation

玻尔兹曼关系的证明： 其中： 根据：

根据：

根据：

二、费米系统 1、巨配分函数改为 （8.1.12） （8.1.13） 其对数 前面的讨论和有关公式完全适用

back 玻耳兹曼关系

Addition: 巨热力势 It is of great importance for the statistical treatment of thermodynamic problems.The total differential reads The remaining thermodynamic quantities can be calculated by differentiating the grand potential:

Because： 是 的函数

回顾： 1、Bose systems: 2、Fermi systems back 玻耳兹曼关系

§8-2 弱简并理想玻色气体和费米气体 有了分布函数和热力学量的统计表达式，与M-B系统一样，接下来讲应用。 一、概念 这里谈到的简并与我们以前说过的简并度是不同的，以前简并度主要指一个能级上所有可能的量子态数，现在的简并主要指处理方法。

虽小但不可忽略的情形，同时讨论玻色气体和费米气体的差异 一般气体满足非简并条件 玻尔兹曼分布处理 本节讨论弱简并即气体的 或 虽小但不可忽略的情形，同时讨论玻色气体和费米气体的差异 （一）从分布的角度（不考虑配分函数Ξ）求内能和总粒子数 Bose Fermi

其中g =2S+1是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度. 在V内 范围内可能 的微观状态数为: ~ 分子可能的微观状态数为 （8.2.2） 其中g =2S+1是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度.

This equation can be used to determine the Lagrange factor .

So that, we expand the into:

小的情况下， （8.2.5） 保留展开的第一项相当于将费米（玻色）分布近似为玻尔兹曼分布。在弱简并的情形，保留两项。 （8.2.6） （8.2.7） 两式相除，得

Review: 1、Bose systems: 2、费米系统

back 玻耳兹曼关系

§8-2 弱简并理想玻色气体和费米气体 （一）分布函数方法： 讨论玻色气体和费米气体的差异 本节讨论弱简并即气体的 或 虽小但不可忽略的情形 Bose Fermi

第一项是内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。 费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。 可以以为，量子统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。

（二）配分函数方法：

不考虑分子的内部结构，讨论在二维平面内运动的玻色粒子气体的内能，总分子数的变化情况（保留一级近似）。其中 思考题 不考虑分子的内部结构，讨论在二维平面内运动的玻色粒子气体的内能，总分子数的变化情况（保留一级近似）。其中 back

§8-3 Bose-Einstein conglomeration 常温下 气体原子其相互作用遵从经典力学定律 低温下 （T~0） kT<<kθ 其相互作用则遵从量子力学定律 费米子 玻色子 　　而费米子具有互相排斥的特性，它们不能占据同一量子态，因此其它的费米子就得占据能量较高的量子态，原子中的电子就是典型的费米子。　 　　玻色子具有整体特性，在低温时集聚到能量最低的同一量子态(基态)；早在1924年玻色和爱因斯坦就从理论上预言存在另外的一种物质状态——玻色爱因斯坦冷凝态。　　

1924年，印度物理学家玻色提出以不可分辨的n个全同粒子的新观念，认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子（如两个氧原子）或者光子有什么不同。同时，提出光子气体的概念。　　 使得每个光子的能量满足爱因斯坦的光量子假设，也满足波尔兹曼的最大机率分布统计假设，这个光子理想气体的观点可以说是彻底解决了普朗克黑体辐射的半经验公式的问题。 图 1996年，利用 C60分子所构造的世界上的“分子算盘”

　　爱因斯坦高度重视，于1924和1925年发表两篇文章，将玻色对光子(粒子数不守恒)的统计方法推广到原子(粒子数守恒)，他将玻色的理论用于原子气体中 　　进而推测，在正常温度下，原子可以处于任何一个能级（能级是指原子的能量像台阶一样从低到高排列），但在非常低的温度下，大部分原子会突然跌落到最低的能级上，就好像一座突然坍塌的大楼一样。 　　后来物理界将物质的这一状态称为玻色-爱因斯坦凝聚态（BEC。 　　此时，物质波之间通过相互作用而达到完全相同的状态，其性质由一个原子的波函数即可描述； 当温度为绝对零度时，热运动现象就消失了，原子处于理想的玻色爱因斯坦冷凝态。 玻色–爱因斯坦凝聚是玻色子原子在冷却到绝对零度附近时所呈现出的一种气态的、超流性的物态。

实现玻爱凝聚态的条件极为苛刻和矛盾：一方面需要达到极低的温度，另一方面还需要原子体系处于气态。 　后来物理学家使用稀薄的金属原子气体，用激光冷却技术，人们可以制造出与绝对零度仅仅相差十亿分之一度的低温。这样的实验系统经过不断改进，终于在玻色—爱因斯坦凝聚理论提出71年之后的1995年6月，两名美国科学家康奈尔、维曼以及德国科学家克特勒分别在铷原子蒸气中第一次直接观测到了玻爱凝聚态。这三位科学家也因此而荣膺2001年度诺贝尔物理学奖。 埃里克·康奈尔(Eric A. Cornell, 1961-) 、沃尔夫冈·克特勒(Wolfgang Ketterle， 1957-)和卡尔·韦曼(Carl E. Wieman, 1951-)

§8-3 Bose-Einstein conglomeration From this section, we can see that when equals or is more than 2.612, the unique Bose-Einstein conglomeration phenomenon will appear. Because the can not be negative, So that

That is ,here is the lowest energy level of Bose particles. If we assume the lowest energy of the Bose particle is 0, then, 单个粒子化学势 什么状态下µ=0， 又有什么性质呢？

化学势 如果确定 From the equation We can see that, the chemical potential is the function of temperature T and the density of particle number n . 化学势 如果确定

(8.3.4) 在足够高的温度下,求和用积分代替. — 在体积V内, 粒子的量子态数为: (8.3.5) 因此,( 8.3.4)式可化为 求和化为积分时忽略了 在足够高的温度下，处在能级 的粒子数与总粒子数相比是一个小量，误差是可以忽略的.

=？ 化学势 (8.3.4) 在n一定的条件下，温度越低，µ值越高。 高温下我们采用了近似: (8.3.5) 化学势既随温度的降低而增加,当温度降到某一临界温度 将趋近于零, 趋近于1。 =？

将趋近于零, 当温度降到某一临界温度 时 临界温度满足 (8.3.6) 令 ,(8.3.6)式可化为 (8.3.7) 而 所以对于给定的粒子数密度n,温度 (8.3.8)

Then, if the temperature keeps on reducing from Tc, what will happen? But, when

< There is a contradiction in it, because n is a constant: Here n0(T) is the density of particle number on the energy level , when temperature is T( ), .

由于一个量子态所能容纳的玻色子的数目是不受限制的， 在足够低的温度下, 处在能级 的粒子数也将是相当可观而不能忽略的，

When ,Bose particles will accumulate on the energy level rapidly, and the density of particle number reach the same order of magnitude with the total particle number density n .This phenomenon is just the Bose-Einstein conglomeration.

玻色——爱因斯坦凝结. Tc 称为凝结温度。在 的状态,粒子的动量为零。所以玻色——爱因斯坦凝结也常称为 在动量空间中的凝结。 时,理想玻色气体的内能为 令 , 可得 (8.3.12)

定容热容量为 理想玻色气体的 热容量达到极大值 在高温时趋近于经典值

出现凝聚的条件 激光冷却,磁光陷阱和蒸发冷却技术的发展. 金属原子也会出现凝聚87Rb,170nK; 23Na, back

常温下 气体原子其相互作用遵从经典力学定律 低温下 （T~0） kT<<kθ 其相互作用则遵从量子力学定律 费米子 玻色子 　　而费米子具有互相排斥的特性，它们不能占据同一量子态，因此其它的费米子就得占据能量较高的量子态，原子中的电子就是典型的费米子。　 　　玻色子具有整体特性，在低温时集聚到能量最低的同一量子态(基态)；早在1924年玻色和爱因斯坦就从理论上预言存在另外的一种物质状态——玻色爱因斯坦冷凝态。　　

图11－35 1995年，MIT小组所做的玻色－爱因斯坦凝聚的实验图象。图象显示原子从原子陷阱中逸出6 ms之后原子的密度分布。更热的原子运动得更快，所以，在转变温度之上时原子有一个很宽的分布（如左图）。正当达到转变温度时，出现了尖锐的峰（如中图），这是由于原子正在凝聚到陷阱的基态。远低于转变温度时，所有的原子都进入了基态，仅仅留下中央的峰（如右图）。

玻色——爱因斯坦统计证明普朗克公式　　 1924年，印度物理学家玻色提出以不可分辨的n个全同粒子的新观念，认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子（如两个氧原子）或者光子有什么不同。同时，提出光子气体的概念。　　

二 黑体辐射的实验规律 2 维恩位移定律 1.斯特藩定律 可见光区 峰值波长 黑体单色辐出度的实验曲线 总辐出度 1.0 0.5 二 黑体辐射的实验规律 1.斯特藩定律 黑体单色辐出度的实验曲线 总辐出度 可见光区 1.0 6 000 K 2 维恩位移定律 0.5 3 000 K 峰值波长 0 1 000 2 000 常量

三 瑞利 - 金斯公式 普朗克黑体辐射公式 瑞利 - 金斯公式 瑞利 - 金斯公式 6 实验曲线 4 T = 2 000 K 2 * 三 瑞利 - 金斯公式 普朗克黑体辐射公式 0 1 2 3 6 2 4 瑞利 - 金斯公式 瑞利 - 金斯公式 实验曲线 * T = 2 000 K

1普朗克黑体辐射公式 普朗克常数 2 普朗克量子假设 1918诺贝尔物理学奖 2 普朗克量子假设 黑体中的分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子的能量状态是分立的，相应的能量是某一最小能量的整数倍，即 ，2  ，3 ， … n ,  称为能量子，n 为量子数. 普朗克量子假设是量子力学的里程碑.

实验值与普朗克公式理论曲线比较 瑞利 - 金斯公式 6 普朗克公式的理论曲线 实验值 * 4 2 T = 2 000 K 0 1 2 3

§8-4 光子气体 在热力学部分我们曾经论证，空窖辐射的能量(内能)密度和能量密度按频率的分布只与温度有关，并证明能量密度与绝对温度的四次方成正比。 G=0 本节根据统计物理的理论，研究空窖辐射能量密度按频率的分布

因为 意味着光子气体的化学势为零．这一点也可以从另一个角度来理解。 ①由于窑壁不断发射和吸收光子，在光子气体中，光子数不是恒定的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件．因此我门只引进一个拉氏乘子 。这样光子的分布为 : (8.4.3) 因为 意味着光子气体的化学势为零．这一点也可以从另一个角度来理解。

②本节从粒子的观点研究空窖辐射问题。从粒子的 观点可以把空窖内的辐射场看作光子气体。 （8.4.1） 将(8.4.1)式代人，可以得到光子的能量动量关系 (8.4.2) 光子的自旋量子数为1。自旋在动量方向的投影可取 两个可能值，相当于右，左圆偏振。在体积为V的空窖内，在p到 量范围内，光子的量子态数为: 将 式代人可得，在体积为V的空窖内，在 到 的圆频率范围内，光子 的量子态数为:

（一）分布函数方法求u（ω，T）： 因此,在空窖内，在圆频率 （8.4.6） 范围内的平均光子数为: 在体积为V的空窖内，在圆频率 范围内，辐射场的能量(内能) 为 （8.4.7） 普朗克公式 1900

现在我们讨论在高频和低频的极限情况下辐射场的能量密度。 在 的高频范围，有 。可以将分母中－1这一项加以忽略而有 维恩(Wien) 1896 (8.4.9) 从波动的观点看，这意味着空窖中几乎不存在高频的电磁辐射。

在 的低频范围，有 。上式可以近似为 瑞利.金斯 Rayleigh.Jeans 1900,1905 （8.4.8）

上式对圆频率积分，可以求得空窖辐射的内能 引入变量 ，上式可化为 4

将积分求出,得 (8.4.10) (8.4.10)式表明，空窑辐射的能量密度与绝对温度的四次方成正比。这跟热力学得到的结果是一致的。不过在热力学理论中比例常数要由实验确定，而统计物理理论可以求出这个比例常数。 根据普朗克公式，辐射场的能量密度随 分布有一极大值，以 表示。 可以由下式定出: 由此得 这个方程可以用数值解法解出，其解为

（二）配分函数方法： 由热力学的统计表达式得到光子气体的热力学函数，巨配分函数的对数为: 引入

光子气体的熵为： 满足热力学第三定律 平衡辐射的通量密度与内能密度的关系为: back

练一练： 因此,在空窖内，在圆频率 范围内的平均光子数为: 8.7 计算温度为T时，在体积为V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的辐射数密度。 因此,在空窖内，在圆频率 范围内的平均光子数为: 温度为T时，在体积为V内光子气体的平均总光子数

引入变量 ，上式可化为 在1000K温度下，n≈2×1010/cm3，在3K温度下，n≈5.5×102/cm3

8.12写出二维空间总平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数， 内能和辐射通量密度。

g:

1924-1925年，各自独立的发现了自旋为半整数的微观粒子所服从的统计法则，即费米-狄拉克统计法。其特点是：不能有一个以上的粒子据有同一个量子态。从此量子统计物理学迅速建立起来。

§8-5 金属中的自由电子气体 原子结合成金属后，价电子脱离原子在整个金属中运动，称为公有电子. 在经初步的近似下，可以把公有电子看作封闭在金属体积中的自由粒子，称为自由电子。 自由电子的存在可以解释金属的导电性和导热性. 但如果将能量均分定理用于自由电子，一个自由电子对金属的热容量将有 的贡献。这是与实际不符的。 实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量基本上可以忽略。索末菲(Sommerfeld)根据费米分布对这个问题作了解释。 我们将看到泡里不相容原理在这里起着关键的作用。

根据费米分布，温度为T时，能量为ε的一个量子态上的平均电子数为: 超冷原子气体的凝聚态特性、量子相干特性等进行实验和理论研究。 For Fermi-system: 根据费米分布，温度为T时，能量为ε的一个量子态上的平均电子数为: (8.5.1)

现在讨论T=0K 时电子的分布。我们用µ0表0K时电子气体的化学势。由(8.5.1)式可知，在0K时 (8.5.5) Fermi energy 如图9—5所示.(6.5.5)式说明，在T=0K时,在 的每一个量子态上,平均电子数为1，在 的每一个量子态上，平均电子数为零。

金属中的自由电子气体模型： 考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个可能值，在体积V内，在能量范围 内，电子的量子态数为: (8.5.2) 所以在体积V内,在能量范围 内的平均电子数为: (8.5.3) 在给定粒子数N,温度T和体积V时,化学势由下式确定: （8.5.4)

低温下： 电子从 的状态起，依次填充至 止. 是0K时电子的最大能量,可由下式定出:

将上式积分,可解出为 : (8.5.6) 称为费米能量。令 ,可得: (8.5.7) 是0K时电子的最大动量,称为费米动量.

现在对 的大小作一数值估计. 以Cu为例。Cu的 代入上式，得 。 在300K时，因此 ，可见 的数值是很大的。 如果令 kTF =μ0，TF= 8.2×104 K 一般温度下的化学势 与 具有相同的数量级。 因此 这就是说，金属中的自由电子是高度简并的。

0K时电子气体的总能量是？

考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个可能值，在体积V内，在能量范围dε内，电子的量子态数为: 0K时电子气体的总能量是: (8.5.8) 由(8.5.8)式可知,0K时电子的平均能量是 。

II.现在讨论T＞0时自由电子的分布。由(8.5.1)式知 (8.5.9) 如图9-6所示.(8.5.9)式说明,在T>0时,在 的每一个量子态上，平均电子数大于 ，在 的一个量子态上，平均电子数为 ，

注意到 f 按指数规律随 变化，实际 只在 附近，数量级为 的能量范围内，电子的分布与T=0K时有差异. 这一点可以这样说明 .注意到 f 按指数规律随 变化，实际 只在 附近，数量级为 的能量范围内，电子的分布与T=0K时有差异.这一点可以这样说明.在0K时电子占据了从 0到 的每一个量子态，温度升高时，电子有可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去.但是处在低能态的电子要跃迁到未被占据的状态必须吸取很大的能量，这是极小可能的。所以绝大多数状态的占据情况实际上并不改变。

由此可以想见，只有能量在 附近,数量级为kT的范围内的电子对热容量有贡献。根据这个考虑，可以粗略估计电子的热容量。以 将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为 ，则金属中自由电子对热容量的贡献为 (8.5.10) 前面的数值估计指出,在室温范围 .所以在室温范围金属中自由电子对热容量的贡献小于经典理论的数值.与离子振动的热容量相比,电子的热容量可以忽略不计.

III.下面讨论自由电子热容量的定量计算.电子数N满足: (8.5.11) (8.5.11)式确定自由电子的化学势。电子气体的内能U为: (8.5.12) 以上两个积分都可以写成下述形式: （8.5.13) 其中 分别为 和 , 是一个常数。 作变数变换 ,可将(8.5.13)式表为:

在右方第一项中,令 可得

在上式右方的第二项中，我们把积分上限都取作 ，这是因为 ， 在上式右方的第二项中，我们把积分上限都取作 ，这是因为 ， 而且因为被积函数的分母使对积分的贡献主要来自z小范围。由于后一理由，我们可以将被积函数的分子展开为z的幂级数,只取到z的一次项,而得: 泰勒展开：

(8.5.14)

上式右方第二项很小,可以在第二项中用 代替 .因此得: 讨论： 当 时， 。 上式右方第二项很小,可以在第二项中用 代替 .因此得: 然后泰勒展开： (8.5.17) 一阶导数

代入,并作相应的近似,可得: (8.5.18) (8.5.18)式给出电子气体的内能．由此得电子的热容量为: (8.5.19) 如前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围,离子振动的热容量迅速下降,按 趋于零;而电子热容量与T成正比下降比较缓慢．所以在足够低的温度下，电子热容量就不能忽略。

IV. We can also use another method:

If we integrate the term in the equation above by parts, it follows that: