在工科数学物理方程课程教学中融入数学建模思想的初探与实践 闫桂峰 （北京理工大学数学学院，北京，100081）

摘 要 本文在教学实践基础上, 探讨在工科“数学物理方程” 课程教学过程中中融入数学建模思想的重要性和方法。 摘 要 本文在教学实践基础上, 探讨在工科“数学物理方程” 课程教学过程中中融入数学建模思想的重要性和方法。 通过适当引入数学物理方程模型案例，注重数学理论和 实际应用相结合, 加强计算机软件的应用和实际算法的 实现，强调可视化效果的展示等, 进一步发挥数学物理 方程对提高工科大学生数学思维能力和数学应用能力的 作用。 关键词：数学物理方程；数学建模；可视化教学。

数学物理方程的发展历史 产生于十八世纪 欧拉：弦振动的二阶方程（1746年 ）。 达朗贝尔：《论动力学》，《张紧的弦振动时形 成的曲线的研究》 丹尼尔·贝努利：解弹性系振动问题的一般方法。 拉格朗日：讨论了一阶偏微分方程。 傅立叶：《热的解析理论》，三维热传导方程。

应用领域 力学、物理、生物、机械工程、通讯工程、经济学 适用专业 自动化，电子，信息，通信，光电工程等

课程特点 鲜明的物理背景，与数学、物理、力学三大类基础 课程都有着密切的联系，课程涉及内容繁杂，知识面 宽泛，方法灵活多样，结果表示复杂难懂。 先修课程 微积分、线性代数、大学物理、复变函数、积分变换。

重要地位 数学物理方程是基础学科和工程技术界的一座 桥梁，是理工科学生深入学习专业知识和奠定科学 研究基础的必不可少的工具 . 教学名师李元杰教授说过：“《数理方程与特殊函数》 的教学质量是关系到理工科本科生能否成为创新人才的 重要条件之一，也是各高校提高本科生教学质量的关键 指标。”

基本内容 第一章 数理方程的导出和定解问题 第二章 波行法 第三章 分离变量法 第四章 积分变换法 第五章 格林函数法 第六章 两种特殊函数 第一章 数理方程的导出和定解问题 第二章 波行法 第三章 分离变量法 第四章 积分变换法 第五章 格林函数法 第六章 两种特殊函数 课堂学时 32学时 * 数值试验 4学时

一、 在数学物理课程教学中融入数学建模思想的意义 1.激发学生的学习热情 理解来龙去脉，把握基本思想，掌握应用方法， 亲身体验发现问题、提出问题、解决问题的过程。 2、培养学生的创新能力 从实际问题出发，强调问题背景，提出基本假设，利 用实验资料和物理定律建立数学模型，并进行求解。 分析问题、查找资料、建立模型、求解分析。 3、提高学生的综合素质 如分析问题、解决问题的能力、独立工作能力、 动手实践能力、人际交往能力、组织管理能力。

二、 在数学物理课程教学中融入数学建模思想的实践 1．转变教学思想，树立建模教育理念。 教学方法： “注入式知识教育”——“研究式素质教育” 教学形式： “单一的课堂教学”——“多形式的互动教育” 强调主题： 课内学习与课外学习结合、理论与实践结合、 科研与教学结合。

2．加强教师队伍建设，提高教师教学科研水平 数学建模思想来源于教学经验和科学研究的实践

3．调整教学内容，强化数学建模教学案例作用 （1）按照由浅入深、由具体到抽象、由特殊到一般的 原则组织内容，使学生能循序渐进地逐章掌握该课程内 容，对重点知识注重理论导出、方法的应用，强调其 应用条件 （2）遴选科研和工程应用中最新的、有代表性的、与 课程教学紧密联系的案例，通过数学建模的方法分析归 纳，建立理论与实际、与最新科技前沿的关联。 量子力学

4．改革教学方法，营造建模环境。 根据课程的特点，提出适合学生研究的专题，引导 学生开展数学建模，增加课内讨论和课外建模仿真 探究，引导学生关注数学知识的应用，增强学生发 现问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的 创新思维能力。

设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。 方程的导出过程中的数学建模 例 弦的微小横振动方程的导出 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。 假设与结论： （1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) x1 x2 T(x1) T(x2) u x （2）微小振动

建立方程： （3）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数； 取微元 ，研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。 第一章 典型方程和定解条件的推导 （3）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向 , 密度 为常数； 建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。 u x T(x) M x+dx

弦振动方程（3）中只含有两个自变量 和 ，其中 表示时间， 表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。 （1） 第一章 典型方程和定解条件的推导 u x T(x) M M’ x+dx 令 ，取极限得 牛顿运动定律： F = m·a 由于 作用在弧段 上的水平方向的力为 于是等式（1）变成 略去重力，可得方程 （2） 倾角很小，即 近似得 由微积分知识可知，在时刻t 有 (3) 垂直方向的力为 其中 。 等式（2）可以写成 弦振动方程（3）中只含有两个自变量 和 ，其中 表示时间， 表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。 （1）

注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则 弦的强迫振动方程为 非其次方程 齐次方程 。 16 16

解释方程解的意义过程中的数模思想 一维波动问题分离变量解的物理意义 特点 ⑴弦上各点的频率 和初位相 都相同，振动波在任一时刻的外形是一正弦曲线. 最大振幅 初位相 频率 ⑵弦上各点振幅 因点而异

u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 3.1 有界弦的自由振动 u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n＝1的驻波称为基波, n>1的驻波叫做n次谐波. 弦乐器演奏原理: u(x,t ) 表示乐器弦上的位移 弦的基音由u1(x,t ) (频率最低的单音 )确定 u1(x,t ) 决定声音的音调. un(x,t ) (泛音) 构成声音的音色.

用拧紧弦线的方法来调整音调，其实这是通过改变弦中张力T, 来促使基音频率变化，张力越大，基音频率越高，声调也就越高。 弦线有粗有细，线密度反映着它们的不同，粗线密度大，细线密度小，因此两根不同粗细的弦在相同的条件下发出的声音是不一样的，细线会发出更高的音调。

5. 积极实现课程的可视化 可视化方法使得在单调的公式推导与定理证明的教 学模式中加入了由色彩亮丽的图形、图象及千变万 化的影像展示的元素，让传统的教学内容充满了新 意，使学生兴趣盎然，并且更能体现数学建模的思 想与方法。 典型案例：达朗贝尔公式的物理意义

—达朗贝尔(D’Alembert)公式.

随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动. 考虑 的物理意义 随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动. u2 x u2 x t=0 t=1/2 u2 x u2 x t=1 t=2 图 1

物理意义: 随着时间 t 的推移, 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动, 也就是说, 它表示一个以速度a 向x 轴正方向行进的波, 称为右行波.

例1 初始位移引起的振动 由达朗贝尔公式

例2 初始速度引起的振动 其中

例2.3.1 求解端点固定的半无界弦振动问题并图示之。 取a=1, 初位移和初速度分别为 § 2. 3 半无限弦的振动 例2.3.1 求解端点固定的半无界弦振动问题并图示之。 取a=1,　初位移和初速度分别为 解为

(b) (a) (c) (d) 图 2.7 ( a ) ~ ( d )表示波开始传播的过程

(e) (f) (h) (g) 图 2.7 ( e ) ~ ( j )表示波传播到固定端点时发生反射

(i) (j) (k) (l) 图2.7 ( k ) ~ ( l )表示反射波的传播

学生论文 共振问题的观察与研究 学 院：宇航学院 姓 名：沈敦亮 学 号：2620110001

问题 分离变量解 其中 取

用Matlab画出由分离变量法得到的级数解的前20 项之和在不同时刻的图像, 给外力频率 赋以不同 的值，观察当 逼近弦振动的固有频率（某个 ） 时, 波的振幅变化规律情况。

同一时刻对不同外力频率图形的比较 n=20, t=5s时刻， =2,3,3.1415是的图形比较

教学改革成果